Fractions : écriture française ou non ?

Et comment écrit-on les résultats d’une division euclidienne quand elle n’est pas posée ?

Je vois souvent : 17 : 7 = 2 reste 3.

Autres écritures ? Et les anglo-saxons ?

Éric devrait préciser le niveau des deux livres qu'il cite. Sauf erreur, l'Arithmétique de Marijon et Pequignot (édition 1938) était en usage dans les écoles primaires supérieures, et l'Arithmétique de A. Millet (édition de 1923), en primaire, cours élémentaire ou cours moyen. Vrai ou faux ?

Des pleureuses se lamentent sur un enseignement prétendument réservé à une « élite » avant l'avènement du merveilleux Collège Unique (dont nous voyons tous les jours les brillants succès (:D). Qu'elles se consolent : l'enseignement primaire supérieur prolongeait le primaire proprement dit, et on y étudiait les fractions. Simplement cet enseignement était plus court, plus adapté à ceux qui n'avaient pas les capacités et/ou la « motivation » pour affronter des études longues. Bis repetita placent.

Moi aussi comme Jelobreuil j'ai des souvenirs de soixante ans et plus, et je ne me souviens pas de cette écriture $7\frac 34$. Je l'ai peut-être vue mais ça ne m'a pas marqué, ni en tant qu'élève, ni ensuite en tant que professeur, car j'ai commencé en collège. Comme Éric j'ai fait des recherches dans de vieux livres de primaire ou de collège, et comme lui j'ai trouvé quelques traces de cette écriture, mais jamais une page entière de tortures comme celle que nous a communiquée Vorobichek.

Mon opinion est qu'il y a assez de difficultés comme ça, et qu'il faut bannir cette écriture, sauf peut-être s'il s'agit d'un « nombre concret » : l'année comporte à peu près $365$ jours $\frac14$.

Je joins par exemple un extrait de : Lebossé, Hémery, Arithmétique et Géométrie, Classe de Cinquième des Lycées et Collèges, programmes du 12 août 1957, Fernand Nathan, 1958.

Bonne journée de lundi de Pentecôte, légitimement férié.
Fr. Ch.

Il y en a d’autres mais pas en ASCII 8 bits, en utf-8 :
U+2150 VULGAR FRACTION ONE SEVENTH jusqu’à U+215E VULGAR FRACTION SEVEN EIGHTHS

@V.: pour suivre ce que dit Eric il m'a toujours semblé que $7\frac{3}{4}$ est l'ancienne notation. Elle est utilisée dans tous les textes que je connais (enfin il me semble) jusqu'au XIXème et j'ai toujours pensé (naïvement) que c'était dû à des soucis d'économie d'impression plus qu'à autre chose.
M.

zeitnot a écrit:

http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,2250446,2250860#msg-2250860

Il faudrait lui demander, mais je pense qu'elle veut dire que personne n'écrit au quotidien $123456 + 0,789$ au lieu de $123456,789$.
Enfin, je vois cette écriture du nombre comme cela : une simple écriture du nombre, sans insister sur l'idée de somme. Si on pense à l'opération d'addition explicite mais sous-entendue, effectivement, ce n'est pas terrible.

Le système métrique ... La France a été un élément moteur très fort dans la généralisation du système métrique. Et c'est récent, c'est il y a moins de 250 ans. C'est très récent.
Avant, c'était impossible de mesurer des distances ou des poids avec les mêmes unités ... Les unités utilisées en Bretagne, ou celles utilisées en Aquitaine, ce n'était pas les mêmes...
Et un méga projet a défini la notion de mètre et de kilogramme, avec des multiples ou des sous-multiples qui étaient le millimètre, le centimètre etc etc le kilomètre. Et en plus, faire adopter cette norme à un niveau mondial ou quasiment.

Révolutionnaire.

Forcément, ces décisions prises tout là haut chez les décideurs mettent des lustres à se propager dans tout le pays. Et comme c'était une initiative fortement portée par la France, ça n'a rien d'étonnant que la mise en place soit plus rapide en France que dans les autres pays.
Et donc rien d'étonnant que les réminiscences des autres systèmes disparaissent plus vite en France que dans d'autres pays.

Pour nous, français, héritiers de Descartes, Condorcet et Laplace, on est imprégné de ce système décimal. On ne jure que par lui. Dans d'autres pays, ce sera différent, et on va trouver des quarts de pouce.

Comme on n'a pas à jongler entre les quarts de pouce et les pieds et tout ça, on est content, c'est plus facile. Mais du coup, le cerveau n'est pas stimulé, il est moins entrainé à ajouter des quarts et des huitièmes.
Pour le petit français, ajouter des fractions, c'est un supplice inventé par les profs de maths.
Pour le petit anglais, ajouter des fractions, c'est un besoin courant. Et donc un calcul qu'il sait faire, sans même l'avoir appris à l'école.

Dans les mesures des durées (là on est resté dans un système de base 60) , les demi-heures et les quarts d'heures restent complètement présents.
C'est le seul cas où le petit français va manipuler des fractions. Et le petit footeux sait que 2 mi-temps de 3/4 d'heures, ça fait un match d'une heure et demie.

Un demi de mêlée et un demi d'ouverture, ça fait toujours plus qu'un 3/4.

La division euclidienne, enseignée très tôt, appréciée des élèves car c'est un algorithme amusant dans lequel ils sont en situation de réussite, est je pense un excellent point d'entrée pour introduire les nombres fractionnaires. En effet, cela répond à un réel besoin d'écrire une conclusion synthétique et porteuse de sens comme par exemple,

60 : 23 = 2 [small]14/23[/small]

Le quotient en grand, qui est l'essentiel de la réponse, et le reste, qui est petit, en petit.

Un demi et un galopin, ça fait combien de formidables ?

Nicolas, voyons, ce n'est pas sérieux !

Philou22
Tu dis que la division euclidienne est appréciée des élèves car c’est un algorithme amusant dans lequel ils sont en situation de réussite. Pour ceux qui maîtrisent parfaitement les tables de multiplication et le calcul en général peut-être mais pour les autres c’est plus un moment de torture qu’autre chose et dans ce cas la réussite est loin d’être au rendez-vous. Je suppose bien entendu que la calculatrice est interdite.

Sinon, ma modeste contribution.
Les chiffres (nombres ?) romains sous-entendent une addition : 16 = XVI, et on n'écrit pas X+V+I.
Il est vrai que l'on ne fait pas de calcul avec les chiffres romains, alors qu'on peut être tenté d'en faire avec les "nombres fractionnaires".
Alain

Dom: quand on veut signifier que $du$ est un nombre entier à deux chiffres dont $d$ est le chiffre des dizaines et $u$ celui des unités on le note, pour lever l'ambiguïté, plutôt comme : $\overline{ud}^{10}$. $10$ n'est pas toujours utilisé, il indique qu'on travaille en base $10$

@biely Ce que je peux dire c'est que dans mon établissement (qui va du primaire à la CPGE), dans mes classes de 5e il y a, maximum un ou deux élèves par classe, qui ne savent pas poser les divisions euclidiennes en arrivant, et que les autres se "battent" pour aller les poser au tableau. Par contre, en 3e le niveau de maîtrise des fractions est incroyablement bas, voir inférieur à celui du bon sens de l'enfant, d'après ce que j'ai pu lire précédemment.

@Dom,
Je pense qu'il faut juste chercher à comprendre pourquoi cette notation est utilisée ici ou là, pourquoi elle a du succès... Et je viens de lire un autre article (Wikipédia.. pas la peine d'aller chercher des thèses pointues) qui illustre ça.

On y parle de mètres et de pouces/pieds Et soudain apparaît cette écriture $8\frac{1}{2}$x$11$ in pour les dimensions de la feuille classique A4.

Pour le gamin 'non français', l'utilisation de cette notation est courante (de moins en moins probablement).
Quand le gamin demande à ses parents combien ça donne $8\frac{1}{2} - 7\frac{3}{4}$, les parents savent répondre, parce qu'ils font cette soustraction quand ils comparent des prix, ou quand ils comparent les tailles de leurs enfants. Ces calculs sont des calculs normaux, de la vraie vie.
Avec le système décimal, avec des longueurs mesurées en mètres / centimètres, le français moyen n'a plus l'occasion d'utiliser des fractions dans la vraie vie. Les fractions disparaissent de la vraie vie. Quand le gamin demande à ses parents combien font $8\frac{1}{2} - 7\frac{3}{4}$ ou $8+\frac{1}{2} - (7+\frac{3}{4})$ , ou $\frac{17}{2} - \frac{31}{4}$, ses parents ne savent plus l'aider, parce qu'ils n'ont jamais l'occasion de faire ces calculs.

Sauf le fils de prof, ou le fils d'ingénieur, bien sûr.

Si les enfants étrangers sont plus à l'aise avec les fractions que les enfants français, ce n'est pas parce qu'ils écrivent $8\frac{1}{2}$ plutôt que $\frac{17}{2}$, c'est parce que les fractions sont utilisées dans tel ou tel domaine de la vie courante. Et il se trouve qu'elles sont écrites $8\frac{1}{2}$ plutôt que $\frac{17}{2}$, mais c'est secondaire.

Mais les gamins sont à l'aise, si dans les cours et dans la vraie vie, les fractions sont notées de la même façon. Donc $8\frac{1}{2}$ plutôt que $\frac{17}{2}$.

Il me semble qu'a priori il n'y a pas de lien entre, l'utilisation du système métrique ou d'un autre, et le choix d'une unité préférentielle de fraction de l'unité.

Les enfants sauront pratiquer la division euclidienne si cela est enseigné en classe, comme ce fut le cas pendant un siècle (de la création de l'école de la 3ième république jusqu'à l'ère sociopédagogiste). Pas besoin de mutiler l'appareil intellectuel de tout le monde avec une base 12.

Foys : non. Quand on ne pratique plus, on oublie. Il faudrait que tu vois les cahiers de mes enfants pour voir si c'est enseigné ou pas...

Comme l'a dit un grand philosophe du XXème siècle :
Ceux qui ne savent rien en savent toujours autant que ceux qui n'en savent pas plus qu'eux.

Quand j'étais petit, j'avais lu ce livre. L'auteur, inspecteur des finances, avait rédigé là un plaidoyer très complet pour l'adoption du système duodécimal. Il proposait le $2$ et le $7$ à l'envers pour les deux chiffres supplémentaires, et prévoyait que les enfants portent un « doigt-à-compter » pour compter sur les doigts. L'humanité augmentée, en quelque sorte, dès 1955.

Kioups
Je ne suis pas certain d’avoir bien compris le sens de ton ’’et on ne parle pas de savoir ses tables ou pas’’. Dans la technique de la division euclidienne il faut bien utiliser les tables.
Par exemple la division euclidienne de 3499 par 6.
Première étape: je prends 34 et je dois trouver l’entier dans ma table de 6 tel que 6×? se rapproche le plus de 34 sans être supérieur à 34. Comment l’élève (ou l’adulte!) fait si il ne connaît pas sa table de 6? (et celui qui connaît ses tables "à l’envers" aura un avantage de vitesse sur celui qui ne connaît que ses tables ’’à l’endroit’’) ou pire il la connaît mal et pense que 6×7=32...
Deuxième étape (après la soustraction): avec 49 je dois trouver l’entier tel que 6×? Se rapproche le plus de 49. Même problème.
Je ne parle même pas des divisions euclidiennes à deux chiffres où l’élève qui ’’sent les nombres’’ aura un avantage énorme sur celui qui va passer son temps à faire des tentatives avec une grosse tartine de multiplications posées sur son brouillon.

biely : je parle de la technique de la division euclidienne. Où placer le dividende, le diviseur, comment on fait ensuite... ça s'oublie vite particulièrement chez certains...
Alors, évident, quand en plus, on ne sait pas les tables de multiplications...

Foys : justement, je dis (et je répète) que la division euclidienne est toujours enseignée. Mes gamins ont des pages de calcul à faire chaque semaine...

Pour les tables ’’à l’envers’’ enseignées par les instits oui j’ai un très gros doute Bintge...(ce n’est pas ce que je constate mais je n’ai peut-être pas de chance)

biely, je n'ai pas dit que les "tables à l'envers" sont enseignées systématiquement. Je dis juste que les enfants doivent savoir leurs tables de multiplication et qu'ils pratiquent aussi (sans vraiment s'en rendre compte) les tables à l'envers. Soit pendant les séances de calcul mental en début de journée, soit précisément quand ils posent des divisions euclidiennes.

C'est en tout cas ce que j'ai constaté pour mes enfants. Peut-être que ce n'est pas le cas partout.

Edit. Pour moi, l'enseignement des maths en primaire tient plus ou moins la route. On pourrait faire plus, c'est sûr. Mais je pense que les élèves ont vu le nécessaire pour pouvoir suivre au collège. En revanche, le niveau en français est très inquiétant, en tout cas dans l'école de mes enfants. Pour beaucoup d'enfants, ce trop faible niveau en français est même ce qui fera que les maths deviendront trop difficiles pour eux au collège.

Jean-Louis, je ne sais pas exactement ce que biely entend par "tables à l'envers". Pour moi, c'est la chose suivante. Je te donne par exemple le nombre 48 et tu dois me donner deux nombres dont le produit vaut 48, voire même toutes les paires $(p,q)$ telles que $pq=48$.

Une autre variante serait la question : Dans quelle(s) table(s) de multiplication apparaît le nombre 36.

En fait, ce problème est un faux problème si, en plus de poser la division euclidienne, l'enfant pose sa table de multiplication du diviseur.

Après, c'est juste de la lecture dans une liste (mais il faut y penser, et que l'exercice demande d'aller plus loin que la division euclidienne, notamment si il doit faire apparaître la partie décimale de manière rapide, il est vrai que pour deux-trois calculs cela ne se justifie pas).

À bientôt.