Le concept de "point"
Ajout du 4/01/2021 :
[size=medium]NB[/size] : La version de mon cours en rédaction - voir image ci-jointe - a été largement remaniée depuis. Vous pouvez en voir une partie de sa version plus récente plus bas dans le fil de discussion. Je l'espère plus adaptée au public vers lequel elle s'adresse.
Fin de l'ajout.
Pour un public large (toutes les tranches d'âge à partir du collège) la manière dont j'aborde (images jointes) le point vous semble-t-elle :
Cet essai part d'une étude des Éléments d'Euclide en vue de rendre le Livre 1 (des "Éléments") plus accessible. Il comporte des passages à lire à l'oral.
Il me semble que les "définitions" d'Euclide sont bien trop floues (en tout cas de ce que j'ai pu voir des premières "définitions") pour être comprises par un collégien.
Aborder une notion primitive est déjà dur mais alors avec des enfants le défi est d'autant plus grand. Toute critique constructive sera la bienvenue.
[size=medium]NB[/size] : La version de mon cours en rédaction - voir image ci-jointe - a été largement remaniée depuis. Vous pouvez en voir une partie de sa version plus récente plus bas dans le fil de discussion. Je l'espère plus adaptée au public vers lequel elle s'adresse.
Fin de l'ajout.
***********************************
Message d'origine :
Message d'origine :
Pour un public large (toutes les tranches d'âge à partir du collège) la manière dont j'aborde (images jointes) le point vous semble-t-elle :
$\bullet$ juste
$\bullet$ claire
$\bullet$ précise
$\bullet$ adaptée ?
$\bullet$ claire
$\bullet$ précise
$\bullet$ adaptée ?
Cet essai part d'une étude des Éléments d'Euclide en vue de rendre le Livre 1 (des "Éléments") plus accessible. Il comporte des passages à lire à l'oral.
Il me semble que les "définitions" d'Euclide sont bien trop floues (en tout cas de ce que j'ai pu voir des premières "définitions") pour être comprises par un collégien.
Aborder une notion primitive est déjà dur mais alors avec des enfants le défi est d'autant plus grand. Toute critique constructive sera la bienvenue.
Réponses
-
Je suis d’accord avec cette présentation. Elle me semble claire.
Je trouve ce texte un poil trop long (parler de La Terre, vue de loin...bof même si c’est sûrement pour éclairer les plus sceptiques qui sont bloqués par l’abstraction).
Tout ce discours, en fait, je le vois bien à l’oral. Je le verrais bien en citation de quelqu’un (entre guillemets).
C’est un de mes défauts, je l’admets.
Édit : la définition qui est donnée au tout début, je pense que je m’en passerais. Elle n’aide en rien et ne dit rien finalement. Mais ce n’est que mon point de vue. Même si c’est historique. Ou alors ce serait tout à la fin, pour dire qu’on a essayé de donner une définition et qu’on peut proposer celle-là.
Par contre la dernière phrase n’est pas juste pour moi : dire « cette représentation est fausse » me dérange car toute représentation n’est par définition qu'une représentation. Éventuellement je pourrais adhérer à quelque chose du genre « cette représentation a ses défauts surtout lorsque l’on utilise un stylo très épais ».
Je n’ai pas trouvé mieux par rapport à ce que je veux dire (« une représentation ne peut pas être fausse »). -
Il me semble que ce texte sert plus à rassurer un mathématicien qu'il n'est utile pour l'enfant.
Enfin utile de pousser le truc jusque là.
Il me semble qu'il sera toujours temps plus tard de repréciser plus finement.
le point est un lieu, il n'a pas de dimension signifie ok pas de largeur pas de longueur ni épaisseur
déjà épaisseur est marrant (c'est pas une longueur?)
il me semble qu'on peut faire des maths sans avoir des trucs super rigoureux si bien définis.
Et que la rigueur doit se construire au fur et à mesure... -
Bonjour,
Le point est ce qui n'a aucune partie : Qu'est-ce qu'une partie dans ta définition ? Le verbe être (purement copulatif) a-t-il un sens en Mathématique ?
Point de vue linguistique : un élève de Collège saura-t-il lire ton texte dont chaque phrase ne se limite pas forcément à la structure SUJET/VERBE/COMPLEMENT ?
Mon époque : il me semble que j'ai toujours appris qu'un point en géométrie classique ne se définit pas.
L'intention est bonne, mais le bénéfice pour l'élève risque d'être nul.
PS : si tu envisages de définir ce qu'est un point (sic), alors qu'est-ce qu'une droite ?
Cordialement,
ThierryLe chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême). -
Thierry Poma a écrit:il me semble que j'ai toujours appris qu'un point en géométrie classique ne se définit pas.
En tant que principe premier ça ne se définit mathématiquement pas non. Mais il ne faut pas pour autant se passer d'expliquer quelle est l'intuition qui se cache derrière le concept mathématique d'ensemble, de point et autre. Ce n'est pas pour rien qu'on utilise les mots du langage courant "point" et "droite" pour désigner ces concepts mathématiques et pas "chaise" et "table". Donc l'intention de Cantor Bernstein me semble aussi bonne voir même nécessaire.
Dire qu'un point est indivisible, qu'il n'a pas de longueur/largeur me semble approprié, par contre la discussion complète de Cantor-Bernstein me semble trop longue personnellement.
Mais le plus important là dedans c'est peut-être d'expliquer aux élèves que les points et droites font partie du domaine des idées et pas du monde réel. Ça se fait peut-être plus simplement avec les droites : on n'a jamais vu une droite infinie dans le monde réel. Dire que les points et droites n'existent pas dans le monde réel permet aussi de justifier qu'un dessin n'est pas une preuve.
Bon tout ce que je raconte est à prendre avec de grosses pincettes hein puisque l'enseignement des mathématiques à des collégiens est pour moi un objet purement théorique. J'ai enseigné à autant de collégien que j'ai vu de droites parallèles dans ma vie 8-)
Quitte à chipoter, tu ne confondrait pas $a$ et $\{a\}$ par hasard ?Amathoué a écrit:Par ailleurs, le singleton admet quand même deux parties distinctes, c'est déjà pas mal.. -
Ben dire avec les mots pas de longeur largeur pour signifier de dimension nulle, ok
Dire que c'est du domaine des idées et que cela n'existe pas me perturbe personnellement.
Un lieu existe.
Lle point A dans le rectangle de ma feuille A4, il existe plus que l'idée du point B défini nulle part... -
Calli, non pas du tout. Ma deuxième phrase commence par « par ailleurs ». Alors pourquoi? Parce l’auteur du fil parle de « partie », et je ne sais pas ce qu’est une partie d’autre chose qu’un ensemble.
-
On peut voir parfois des programmes qui ressemblent à celui-ci (style scratch ou autre...):
Vous êtes ici et le ’’ici’’ est représenté par un point.
Allez à droite durant 10 pas puis tournez de 45° dans le sens des aiguilles d’une montre et continuez tout droit 20 pas etc.
Dans scratch le ’’point’’ est plutôt un chat mais il faut bien faire comprendre que l’exercice a un sens si on ne résume pas le chat uniquement à un point et pourtant quand on trace la figure à la main on part bien d'un point. -
Pour l'histoire de Partie, c'est la définition d'Euclide. Il faudrait donc demander à ce dernier ce qu'il entendait par là.
-
Les théories formelles ne définissent pas leurs objets premiers, elles fournissent leurs règles d'emploi explicites (axiomes qui parlent de ces objets).
Donc par exemple une théorie géométrique prenant pour objets premiers points, droites etc, ne le définit pas.
De même, la théorie des ensembles ne définit pas les ensembles (mais donne des règles pour dire quand un ensemble appartient à un autre dans un certain nombre de cas).Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$. -
Bonjour Cantor-Bernstein.
Pour ma part, je ne comprends pas que tu commences par une définition (en plus marqué en gras). Une définition (en maths) est un moyen de raccourcir l'expression en utilisant un seul mot à la place d'une périphrase (voire de plusieurs phrases). Par exemple la définition de parallélogramme où le mot remplace "quadrilatère dont les côtés opposés sont parallèles". Et bien entendu, la définition s'appuie sur des mots déjà connus (pour éviter le paradoxe du dictionnaire). Or ici, ta phrase ne rapporte à rien de connu en géométrie. Normal, tu veux définir un des objets de base de la géométrie. Donc tu n'as rien défini ! En plus, dans le réel je ne connais rien qui n'ait pas de parties (quitte à le casser).
La suite pose le même genre de problème : Que veut dire "infiniment petit" ? Pourquoi le point est-il fixe ? D'autant qu'on va ensuite utiliser des points mobiles !!
J'ai bien peur que quoi que tu fasses, tu écrives des choses critiquables, puisqu'il s'agit d'expliciter comment la géométrie est un modèle pour le dessin et ensuite plein d'autres techniques et sciences. Pour ma part, je partirais du trait (dessiné) pour avoir comme idée mathématique la notion (intuitive) de courbe, et parmi les courbes, certaines qu'on appelle "droites" (l'occasion de marquer que le vocabulaire des maths se distingue fortement du vocabulaire courant, où ce qui est courbe n'est jamais droit). Et on note points à la fois les extrémités d'un morceau de courbes (d'un segment) et les choses communes à deux droites qui "se coupent". On peut alors introduire la notion intuitive de largeur d'une droite (idéalement un trait sans épaisseur) et donc d'épaisseur du point. Ce qui permet de distinguer le modèle géométrique (idéal, invisible) de sa représentation à la règle et au crayon.
Cordialement. -
Tout dépend de la façon qu'on a de présenter la géométrie Euclidienne. Si on le fait de manière historique il faut expliquer qu'Euclide partait de monde physique, et à partir de là il construisit ce que pour lui constituait un modèle du monde physique. Dans ce modèle on parle de points , de droites et de plans par analogie avec les objets points, droites et plans de monde physique. Certe il ne définit jamais ce que c'est qu'est un point ou une droite, mais on comprends intuitivement que ces concepts ont une origine dans dans objets bien concrets.
On peut sauter 2000 ans et préférer l'approche axiomatique de Hilbert. Dans ce cas point, droite et plan sont des termes indéfinis. On ne peut pas dire dans cette approche qu'un point est ce qui n'a pas de dimension. Un point c'est un terme indéfini. Les termes droites, points et plans prennent leurs sens dans un modèle donné, c'est-à-dire dans une structure mathématique concrète. Par exemple R^2 fournit un modèle de la géométrie euclidienne. Dans ce modèle un point c'est un couple (x,y) de nombres réels. Une droite c'est l'ensemble des points solutions d'une équation polynomiale de premier degré. Un plan c'est par definition R^2. Comme le système axiomatique euclidien est catégorique tous les modèles sont équivalents. Autrement dit pour faire de la géométrie euclidienne il suffit de choisir le modèle le plus simple possible.
Si on néglige l'axiome des parallèles on peut construire plein de modèles de cette nouvelle géométrie. Par exemple R^2, mais aussi le modèle où le plan est la sphère S2, les points sont des couples de points antipodaux sur S2, et les droites sont des grands cercles. Ces deux exemples sont des modèles d'une géométrie axiomatique euclidienne (géométrie absolue) privée de l'axiome des parallèles.
Par exemple il est très facile de verifier que la proposition : "par un couple de points d'un plan passe une droite unique" est vraie aussi bien dans R^2 que dans le modèle sphérique de la géométrie absolue. -
Salutations à tous ! Merci pour vos retours.
Je vais essayer de vous répondre dans l'ordre et secondairement de répondre aux réponses de mes réponses (de "1er ordre") et ainsi de suite jusqu'à avoir fait le tour raisonnable de ce point. J'espère qu'on ne tournera pas en rond !
Rectification 8-) : je vais déjà répondre aux réponses auxquelles il me semble le plus simple de répondre ! Il y a vraiment un travail monstre ! -
Bonsoir,
Je n'aime pas beaucoup ta première phrase : pourquoi un lieu bien défini serait-il obligatoirement fixe ? (ton DONC me heurte).
Tu utilises ensuite le verbe représenter de façon contradictoire. Un point est-il oui ou non impossible à représenter ? J'ai bien peur qu'on s'y perde. Je verrais plutôt un verbe comme suggérer, quelque chose dans ce genre.
Maintenant j'aime bien l'intention. C'est le genre de choses où à mon avis chaque phrase doit être travaillée, au mot près. Un texte de 10 lignes pas plus. Faut écrémer, reformuler. Fais comme Balzac (c'était bien lui ?) : lis à voix haute ton texte, pour le purifier. -
Merci Mathurin, Flaubert bien sûr !
Et dans ton lieu on peut lire : Chaque phrase est patiemment construite, articulée pour faire passer un message clair et riche de sens sans trébucher sur des mots qui briseraient le rythme de la phrase et du récit.
Voilà ! C'est exactement ça ! Le bénéfice est si important en procédant ainsi qu'on devrait rédiger tous nos cours ainsi, systématiquement. -
@Dom :Dom a écrit:Je trouve ce texte un poil trop long.
Tout ce discours, en fait, je le vois bien à l’oral. Je le verrais bien en citation de quelqu’un (entre guillemets).
C'est en effet un passage que je souhaite oral, c'est pour cela qu'il paraît long. Je devrais sûrement le signaler.Dom a écrit:parler de La Terre, vue de loin...bof
S'il peut y avoir un meilleur exemple à ma réflexion qui le précède ce serait super d'en avoir un pour les plus jeunes. En effet, je souhaite maximiser la compréhension par un public dont la tranche d'âge est assez large. Cet exemple est-il le mieux approprié ? Sûrement pas, j'ai conscience qu'on puisse faire mieux.Dom a écrit:c’est sûrement pour éclairer les plus sceptiques qui sont bloqués par l’abstraction
Je pense que des exemples concrets sur ce sujet élémentaire mais (un peu) abstrait sont importants. Il me semble normal qu'un enfant soit sceptique face à cette notion et qu'il ait besoin de supports concrets pour faire germer son abstraction, pour que peu à peu les barrières qui peuvent faire front à sa réflexion s'effacent.Dom a écrit:Ou alors ce serait tout à la fin, pour dire qu’on a essayé de donner une définition et qu’on peut proposer celle-là.
C'est exactement ce que j'ai fait dans ma vidéo de cours (encore en travaux). Ça reste plus digeste.Dom a écrit:Par contre la dernière phrase n’est pas juste pour moi : dire « cette représentation est fausse » me dérange car toute représentation n’est par définition qu'une représentation. Éventuellement je pourrais adhérer à quelque chose du genre « cette représentation a ses défauts surtout lorsque l’on utilise un stylo très épais ».
Je n’ai pas trouvé mieux par rapport à ce que je veux dire (« une représentation ne peut pas être fausse »).
Tu as raison. Je vais changer ça en : "Cette représentation a donc au moins un défaut celui de l'existence de la largeur, longueur et épaisseur de la marque laissée par tout instrument nécessaire à son écriture. On aura qu'à s'imaginer qu'il est possible de la rapetisser beaucoup beaucoup plus pour gommer ce défaut." -
@beagle :beagle a écrit:Il me semble que ce texte sert plus à rassurer un mathématicien
Il y a du vrai. Il souhaiterai simplement dresser dans ses premiers chapitres un état des connaissances de base en géométrie. Il ne veut pas servir plus à une personne qu'à une autre. Il veut servir à un large ensemble, apporter à chaque niveau un peu d'utilité. Sans plus.
Mais c'est une difficulté.beagle a écrit:qu'il n'est utile pour l'enfant.
Enfin utile de pousser le truc jusque là.
Il me semble qu'il sera toujours temps plus tard de repréciser plus finement.
Ne peut-on pas être très précis et faire de longs "discours" sans être ennuyant et risquer de perdre, de semer la confusion chez un lecteur?
Si oui c'est qu'on capte l'attention et c'est un bon point pour retenir l'information non?
Si je détaille le contenu qui semble maintenant lourd et dense, c'est bien sûr pour bénéficier (à tête plus reposée qu'actuellement :-() de votre aide précieuse pour le rendre plus fluide et qu'il soit plus léger .
Je ne pense pas que ce soit irréalisable. De longs discours on peut espérer voire naître de grands discours. Tout se travaille et s'améliore.
Mais cette réponse n'est pas sans aller dans le sens qu'on ne puisse pas plus tard repréciser plus finement la notion. Je te rejoins en ce sens @beagle et dans celui-ci :beagle a écrit:il me semble qu'on peut faire des maths sans avoir des trucs super rigoureux si bien définis.
C'est pour ça que je propose que le contenu soit divisé en plusieurs niveaux de lecture, le vert, le bleu, le rouge ... comme au ski (bon là c'est un peu mort pour le ski(:P))beagle a écrit:le point est un lieu, il n'a pas de dimension signifie ok pas de largeur pas de longueur ni épaisseur
déjà épaisseur est marrant (c'est pas une longueur?)
Tout comme Euclide (ou le groupe de personnes qui se cache sous ce nom), pour l'instant, je tiens ces notions comme primitives sinon avant même d'avoir pu donner un cours, je renoncerai face à la difficulté vaine de vouloir tout définir. Dans la vie même si ça peut paraître contradictoire face à mon amour pour la précision, il faut savoir renoncer pour mieux bâtir.
[size=medium]Longueur, largeur, hauteur seront des notions abordées simplement par le sens visuel.[/size] Des photos, vidéos suffiront je pense.
Après tu peux essayer d'ouvrir une discussion de ton côté pour en donner des définitions ni circulaires, ni régressives (même si toute définition l'est: tente de définir définir, ou une chose, un élément) qui tout en étant abordables par un collégien restera rigoureuse sans causer le moindre souci. La perfection c'est peut être pour ceux qui ont l'infini devant eux. En tout cas courage ! ;-)
Dans ton 2e message:Beagle a écrit:Dire que c'est du domaine des idées et que cela n'existe pas me perturbe personnellement.
Un lieu existe.
Lle point A dans le rectangle de ma feuille A4, il existe plus que l'idée du point B défini nulle part...
Je comprends mais ce que tu désigne comme un point dans le coin de ta feuille n'est qu'une partie, une zone de ta feuille que qui prend "une place". Le réel donnera toujours une position approximative. Un point est l'idée de "la marque qu'aurait laissée une pointe (ou pique) infiniment fine (son diamètre tend vers zéro) dans le coin de cette feuille" (dans tous les cas la manière dont je tente d'imager ce concept sera jamais vraiment exacte).
Le point existe sans les défauts des dimensions par le moyen de la pensée, mais ces défauts ressortiront immédiatement au stade de sa représentation sur ta feuille (mais je suis d'accord c'est suffisant pour apprendre la géométrie).
Peut-on dire d'une chose qu'elle est positionnée ici si quelque soit le niveau de zoom elle reste invisible ? Les symboles servent-ils donc à dire c'est par là que se trouve "ici" ? -
@Thierry Poma :Thierry Poma a écrit:Le point est ce qui n'a aucune partie : Qu'est-ce qu'une partie dans ta définition ? Le verbe être (purement copulatif) a-t-il un sens en Mathématique ?
La pseudo-définition d'Euclide ne sert que de repère (et sera déplacée à la fin de tout ce qui suit la définition (remaniée de Wikipédia) que j'ai donné et que j'espère intuitive). Ce qui est important c'est de créer des "images mentales" d'un concept à partir de la représentation symbolique qu'on en fait quand bien même elle a des défauts.
Tout comme j'ai répondu à @beagle je ferais le choix de poser la limite du détail de certaines notions à de simples images ou vidéos. Pour partie on peut faire un parallèle avec la théorie des ensembles mais je trouve cette définition totalement hors propos pour parler de géométrie à un enfant.
Si tu veux discuter du verbe être, le rapport de l'homme à ce qui est, tu peux aller voir sur Wikipédia les articles sur la vérité ou le réel mais on sort très largement du cadre de la géométrie on est plus dans celui de la philosophie ...
[size=medium]D'ailleurs que devrait on enseigner en premier la théorie des ensembles ou la géométrie euclidienne ?[/size]Thierry Poma a écrit:Point de vue linguistique : un élève de Collège saura-t-il lire ton texte dont chaque phrase ne se limite pas forcément à la structure SUJET/VERBE/COMPLEMENT ?
Je ne suis pas sûr de bien comprendre cette partie ((:P)). Pourrais-tu développer le "dont chaque phrase ne se limite pas forcément à la structure SUJET/VERBE/COMPLEMENT". Je sais que j'écris sur ce premier jet un peu comme je pense (phrases à rallonge, ponctuation hasardeuse..et sûrement beaucoup de fautes d'orthographe) mais je m'occuperai de ces retouches plus tard. Les conseils sur ces derniers points sont néanmoins les bienvenus.Thierry Poma a écrit:Mon époque : il me semble que j'ai toujours appris qu'un point en géométrie classique ne se définit pas.
Pourquoi on ne le définirait pas ? Y a-t-il si peu de choses qu'on puisse dire dessus au même titre que le rôle d'un élément vis à vis d'un ensemble ?
Tu vas pas dire : "Eh Jacquie tu vois la petite tâche là sur le tableau bééé c'est un point "
Mais on pourrait encore me dire mais qu'en est-il de la largeur, longueur, hauteur?
Ce a quoi j'ai répondu qu'il était possible de s'en tenir à une seule représentation imagée qui suffit pour leur compréhension. Le point au contraire en plus de son symbole nécessite je pense (peut être tort) d'une "image mentale", pour être en accord avec la définition que j'en donne. Du coup pour des "débutants" il est important de conjuguer plusieurs approches pour cerner ce concept qu'on jugerai trop évident pour être digne d'être traité avec prudence.Thierry Poma a écrit:le bénéfice pour l'élève risque d'être nul.
Pourquoi? Quelle approche suggères-tu?Thierry Poma a écrit:si tu envisages de définir ce qu'est un point (sic), alors qu'est-ce qu'une droite ?
Tu verras. -
gerard0 a écrit:Et bien entendu, la définition s'appuie sur des mots déjà connus (pour éviter le paradoxe du dictionnaire). Or ici, ta phrase ne rapporte à rien de connu en géométrie. Normal, tu veux définir un des objets de base de la géométrie. Donc tu n'as rien défini ! En plus, dans le réel je ne connais rien qui n'ait pas de parties (quitte à le casser).
La suite pose le même genre de problème : Que veut dire "infiniment petit" ? Pourquoi le point est-il fixe ? D'autant qu'on va ensuite utiliser des points mobiles !!
Et oui. J'ai fait un flop ! Je l'admet.gerard0 a écrit:J'ai bien peur que quoi que tu fasses, tu écrives des choses critiquables, puisqu'il s'agit d'expliciter comment la géométrie est un modèle pour le dessin et ensuite plein d'autres techniques et sciences. Pour ma part, je partirais du trait (dessiné) pour avoir comme idée mathématique la notion (intuitive) de courbe, et parmi les courbes, certaines qu'on appelle "droites" (l'occasion de marquer que le vocabulaire des maths se distingue fortement du vocabulaire courant, où ce qui est courbe n'est jamais droit). Et on note points à la fois les extrémités d'un morceau de courbes (d'un segment) et les choses communes à deux droites qui "se coupent". On peut alors introduire la notion intuitive de largeur d'une droite (idéalement un trait sans épaisseur) et donc d'épaisseur du point. Ce qui permet de distinguer le modèle géométrique (idéal, invisible) de sa représentation à la règle et au crayon.On peut alors introduire la notion intuitive de largeur d'une droite (idéalement un trait sans épaisseur) et donc d'épaisseur du point.
Tu veux dire par là que tu introduirais la largeur comme étant l'épaisseur de la marque laissée par la craie ?Le plan intervient dans quel ordre ? -
@gerard0 :gerard0 a écrit:Pour ma part, je partirais du trait (dessiné) pour avoir comme idée mathématique la notion (intuitive) de courbe, et parmi les courbes, certaines qu'on appelle "droites
Et donc je vais simplement tracer un trait au tableau et dire à mes élèves : ça c'est une ligne (sans aucune définition d'une ligne)!?
--> voir un exemple de cours trouvé au hasard sur le net (joint au message) -
Pourquoi vouloir à tout prix donner une "définition", quand justement la géométrie euclidienne classique ne définit pas ce qu'est un point ?
Il vaut mieux être honnête et dire que c'est une notion première qu'on ne définit pas, ensuite donner une explication intuitive de ce que ça représente. -
@Héhéhé :[size=medium]il faut toujours se réserver le droit de rire le lendemain de ses idées de la veille : Napoléon[/size]
--> Hahaha
Donc la définition d'Euclide est pas vraiment utile ? -
-
Bonjour,
Je suis très sceptique quant au développement dans le livre de Philippe Collard (page 11). Pour se faire une idée de ce qu'est un point il demande d'imaginer le rétrécissement d'un avion modèle réduit jusqu'à ce que celui-ci implose et "rentre en lui-même" (?). Il est alors devenu un objet "plus petit que petit" (?!), et maintenant on a notre objet ponctuel, conclut l'auteur.
Aïe, ça pique les yeux. De quoi s'agit-il ? Une topologie révolutionnaire ? Utiliser des images pourquoi pas, mais là c'est poussé un peu loin le bouchon non ? -
C-B,
j'introduis bien évidemment l'idée intuitive de la largeur d'un trait. Tout le monde sait bien la différence entre tracer avec une pointe fine ou tracer avec un gros pinceau. Elle ne sert qu'à passer à la limite pour avoir la courbe idéale (sans largeur, mais une longueur finie voire infinie) et le point (pas de largeur et pas de longueur).
"Et donc je vais simplement tracer un trait au tableau et dire à mes élèves : ça c'est une ligne (sans aucune définition d'une ligne)!?" Ben ... oui ! Comment as-tu appris ce que c'est qu'un chat ? En voyant des chats. Tu connais la définition d'un chat (*) ? C'est du concret, et d'ailleurs, tu n'as pas besoin de le dire, la plupart des élèves savent ce que c'est qu'une ligne, voire même un trait.
"c'est curieux, chez les mathématiciens, cette manie de faire des phrases de définition".
Cordialement.
(*) je ne parle pas de la classification (Felis silvestris catus) de l'espèce. -
-
L'idée intuitive du point ne peut pas se construire sur le point seul : Il faut le lier aux segments et aux intersections de droites, puis voir qu'entre deux points, il y a toujours un autre point, que dans un segment il y en a une infinité (ça suffit pour le collège), puis voir, quand on affine, que même couper en n segments un segment n'épuise pas la réalité des points (lien avec les irrationnels, apparus en géométrie il y a 2000 ans) et qu'il y a une notion de continu, modélisée depuis peu par l'ensemble des nombres réels, plus manipulable que les méthodes géométriques des anciens grecs.
Mais dès le départ, c'est le lien entre points et droites (les axiomes, leurs conséquences) qui importe, pas de passer du temps sur une intuition personnelle à partager : Cette intuition, les élèves se la feront bien eux-mêmes, avec les corrections et réévaluations nécessaires.
Parler de " celui-ci implose et "rentre en lui-même" " ne fait que rendre très compliqué l'idée simple qu'on veut transmettre. Les maths, ce n'est pas de la magie !
Cordialement. -
@ mateo : marquer les esprits avec des images pourquoi pas, mais encore faudrait-il que ces images correspondent un tant soit peu à la réalité de l'objet dont on veut parler. Or le processus de rétrécissement évoqué se déroule en un nombre fini d'étapes (le "une fois de trop" est très drôle), la dernière relevant de la pure magie. Mais il n'y a rien de magique dans les maths..
On gagnerait je pense à utiliser l'idée de l'infini (en sixième voire avant les enfants ont déjà cette idée en eux). Par exemple on leur fait construire un carré, puis celui obtenu en joignant les milieux de ses côtés. Et on recommence l'opération. Question ? Que se passe-t-il si on continue cette opération, indéfiniment ? Vous verrez, il n'y a pas de problème, on peut leur dire quelque chose du genre "au final le carré se réduit à un point". -
Bonjour
"Que se passe-t-il si on continue cette opération, indéfiniment ?"
Ben, on va manquer d'encre. Et tu vas te faire traiter de dangereux professeur pas écolo gaspilleur de ressources fossiles en quantités finies.
"au final le carré se réduit à un point".
Le carré a un côté. Et le côté a une longueur. Donc le carré ne se réduira jamais a un point qui n'en a pas, d'après les définitions choisies. On veut transmettre aux enfants des notions que même les grands n'appréhendent pas forcément. Je suis d'accord avec ceux qui militent dans cette discussion pour faire simple.Ce site est fatigant. Les gens modifient sans cesse leurs messages passés, et on ne comprend plus rien à la discussion. Je suis nostalgique du temps où, si on postait une bêtise, on devait l'assumer. Et si on cite le passage pour l'ancrer, l'administrateur supprime en disant qu'on n'a pas besoin de recopier le message passé. -
Pour faire simple ? Ben non, car ce n'est pas simple ! Prétendre le contraire aux élèves c'est les mettre sur un bien mauvais chemin.
Alors que les mettre en activité autour de ce point, c'est certainement la meilleure chose qu'on peut faire. Pour leur faire sentir le concept. Avec un passage à la limite, en sixième, c'est faisable. Et on marque certainement plus les esprits en procédant ainsi.
Et oui même les grands ne maîtrisent pas ces notions, donc un peu d'humilité ça fait pas de mal. -
-
Si l'on me posait ces questions que dois-je répondre ? :
Comme un segment (a une longueur sans largeur) est coupé par une infinité de droites (idem dim=1) qui lui sont perpendiculaires et non confondues entre-elles cela signifie qu'un segment est composé uniquement d'une infinité de points ?
Mais alors comme la longueur d'un point est nulle celle d'un segment l'est tout aussi?
::o -
En géométrie, un segment, comme toute courbe, contient une infinité de points (ou un seul pour [AA]), et même une infinité non dénombrable. L'infinité est évidente, à cause de l'existence du milieu. La notion de longueur concerne les segments, pas les points.
Encore une fois, dès qu'il y a de l'infini, il faut éviter les raccourcis de pensée basés sur les situations finies. Les anciens grecs ont développé toute une théorie des proportions pour éviter de penser l'infini. On fait autrement maintenant, mais on ne peut pas manipuler l'infini comme un simple nombre.
Cordialement. -
Il me semblerait comme il a été signalé plusieurs fois dans la discussion qu'il soit essentiel d'introduire de façon claire et simple les notions de longueur et largeur. Mais quand ?Gerard0 a écrit:Et on note points à la fois les extrémités d'un morceau de courbes (d'un segment) et les choses communes à deux droites qui "se coupent". On peut alors introduire la notion intuitive de largeur d'une droite (idéalement un trait sans épaisseur) et donc d'épaisseur du point. Ce qui permet de distinguer le modèle géométrique (idéal, invisible) de sa représentation à la règle et au crayon.
(dans un second message
Gerard0 a écrit:j'introduis bien évidemment l'idée intuitive de la largeur d'un trait. Tout le monde sait bien la différence entre tracer avec une pointe fine ou tracer avec un gros pinceau. Elle ne sert qu'à passer à la limite pour avoir la courbe idéale (sans largeur, mais une longueur finie voire infinie) et le point (pas de largeur et pas de longueur).
En ce qui concerne la longueur et la largeur d'un segment "non idéal" (tracé avec un gros pinceau) qui comme tu le dis est un morceau de courbe, ce "gros" segment (trait?) s'assimile donc à une surface rectangle.
N'est-il pas mieux alors en terme d'ordre d'introduire la longueur et la largeur du segment après avoir introduit les polygones de base ?
Il me semble qu'on puisse donner un meilleur ordre d'apparition des définitions dans "Les Éléments d'Euclide" pour faciliter l'apprentissage.**************
Après quand introduire la longueur d'une ligne finie quelconque ? Bien plus tard? Je voudrai revenir plus tard sur la définition du segment et préciser l'intuition de "chemin le plus court"
J'ai bien conscience que la longueur d'un segment n'est pas une "longueur généralisée" et que le théorème de Pythagore n'est qu'un pas sur ce chemin assez long -
Vu ton pseudo, tu connais la différence entre un ensemble dénombrable et un ensemble qui ne l'est pas. Il y a de bonnes raisons pour limiter la propriété d'additivité de la longueur (de la mesure) à des familles indexées par des ensembles dénombrables (une somme non dénombrable de réels non nuls est nécessairement infinie). Le segment n'est pas dénombrable, sa longueur n'est pas la somme des longueurs de ses points.Cantor-Bernstein a écrit:Mais alors comme la longueur d'un point est nulle celle d'un segment l'est tout aussi?
Si on veut dire la même chose sans parler de dénombrabilité à quelqu'un qui ne connaît pas les séries, il est facile d'arguer que le paradoxe apparent repose sur une règle implicite : la longueur d'une courbe est la somme des longueurs de ses parties. Eh bien, cette règle est fausse. Pourquoi serait-elle vraie au fait ? Si tu veux l'utiliser, il faut la justifier. Tu sais ajouter deux nombres, trois nombres, dix-sept nombres, un milliards de nombres, autant de nombres que tu veux pourvu qu'il y en ait un nombre fini, mais qu'est-ce que voudrait dire une somme infinie de nombres ? -
-
Bonjour.
Tu as 200 ans de retard !! Même Legendre, dans ses "Éléments de géométrie" ne suit plus la présentation d'Euclide. Il définit bien d'ailleurs le point comme intersection de deux lignes.C-B a écrit:mais comme je pars des "éléments d'Euclide"
"ce "gros" segment (trait?) s'assimile donc à une surface rectangle. " Oui, mais ce n'est pas notre idée de la courbe ou du segment. Passer du temps sur ce qui va donner une idée de la notion de droite en insistant sur ce qui n'existe plus dans l'objet idéal est nuisible à la compréhension.
Relis donc le début du cours de Legendre, tu verras qu'il va à l'essentiel pour des gens pas formés aux mathématiques (il ne prétend pas fonder la géométrie, seulement la faire apprendre).
Cordialement. -
[size=medium] [/size]
Génial, merci. Je vais me documenter.
Je ferai donc des allers-retours d'un passé à un autre en éclairant les travaux d'Euclide sous la lanterne de Legendre.
Est-il utile que je me plonge après dans les travaux d'Hilbert pour parfaire ma vision de la géométrie d'Euclide ?
Une parenthèse :
Dans la rédaction de mon "Histoire de l'infini" que j'ai initiée après une très longue pause sur mon activité mathématique (J'ai déjà 29 ans :-(:-)et juste le bac en poche), j'ai remarqué que j'avais bien des lacunes :
J'ai mis malheureusement mon "Histoire de l'infini" de côté (je bloque dans la compréhension de la démonstration traitée sur la discussion "Développement décimal périodique" fil sur lequel tu m'as aidé. J'ai eu et j'ai toujours un peu honte de ne pas comprendre la nécessité de la distinction de cas -- sur le cas non trivial qui caractérise les décimaux -- qui précède la démonstration sur la page Wikipédia). Je souhaite par ce résultat me rapprocher du suivant :$\mathbb{R} \leftrightarrow P(\mathbb{N}) \qquad$ où $\qquad \leftrightarrow$ désigne une bijection
Emprunterai-je le bon chemin? Est-ce un résultat considéré comme simple ?
Fin de parenthèse
Je me suis dit qu'un retour vers les mathématiques des grecs serait une bonne manière de me replonger dans la géométrie, l'arithmétique et ainsi combler ces lacunes.
J'espère bien entendu grâce aux révisions plus contemporaines des travaux des grecs me mettre peu à peu à la page des mathématiques modernes. -
Hilbert a repris les bases de la géométrie synthétique d'Euclide, en choisissant des axiomes plus complets (il y avait des failles dans certaines preuves d'Euclide) et tenant compte de toutes les avancées de la géométrie et de la logique au dix-neuvième siècle. A toi de voir. Mais c'est de la lecture "costaud".
Cordialement. -
Bonjour à tous !
Je bloque toujours dans ma justification (voir partie 8 sur les images ci-jointes) du passage du monde réel au monde de l'abstraction (pour moi cela me semble toujours une explication délicate mais cruciale alors que d'autres considèrent que je me complique la vie car cela ne leur semble pas essentiel pour apprendre la géométrie. Je ne dis cependant pas que ceux-ci ont tort).
Ce passage bien qu'il se fasse peu à peu chez un enfant mérite quand même d'être expliqué. Je le redis, je m'adresse ici à des enfants, je souhaite éclairer par des structures de phrases tout autant simples que le vocabulaire que j'emploie leurs premiers sauts dans l'abstraction géométrique.
Pourquoi est-il nécessaire de raisonner sur des objets idéaux en mathématique ? Quel est l'intérêt de l'absence d'épaisseur pour une ligne ou de toute mesure pour un point ?
Je pense qu'il faut faire comprendre à tout élève qu'il raisonne à partir d'idées qui appartiennent au monde de la pensée.
Voici le début de mon cours. En 8, je cherche à amener élégamment "l'épaisseur nulle" des lignes pour montrer ensuite qu'un point par intersection de 2 lignes n'a ni épaisseur ni longueur.
Il faudrait encore avant cela (:-o soupir ...) que je révise l'ordre de mes parties pour introduire la longueur d'un segment par utilisation de la règle graduée, car :
La longueur de toute ligne matérielle finie (inélastique) est celle de son segment matériel associé issu de sa tension ([size=medium]non ?[/size]) -
Plus simplement il est bon d’avoir des images mentales des objets abstraits.
Pour quoi pas d’épaisseur à une ligne ?
Ça donnerait non pas un point d’intersection mais « un paquet/paté » de points.
Une remarque hors sujet (pas tant que ça...) mais amusante : sur un écran des « droites » sécantes peuvent avoir plusieurs pixels d’intersection et parfois aucun pixel d’intersection. -
Bonjour C-B.
Tu es sûr qu'il faut, à ce niveau, justifier le "passage du monde réel au monde de l'abstraction" ? Après 60 années d'études des maths et presque autant de réflexions philosophiques épistémologiques, je suis toujours incapable de justifier la plupart des notions abstraites autrement que par "c'est pratique et ça fonctionne".
Par contre, à l'époque des zoom automatiques sur les écrans des téléphones/appareils photo/outils de surf/ ... il est facile de voir que le tracé géométrique concret souffre de pas mal de limitations pour savoir si c'est "juste", même approximativement. Et la belle imagination des mathématiciens grecs d'il y a 2300 ans est un outil utile. On fait de la géométrie parce que la représentation géométrique concrète souffre de certaines limitations. Parce qu'on ne peut pas toujours vérifier directement (hauteur de la montagne). Parce que ça crée des outils très pratiques (GPS). Etc.
Cordialement. -
@Dom : cela fausserait toute mesure de périmètre puisqu'il faudrait tenir compte de l'épaisseur
-
Ou même d'aire... dans ce cas.
-
C'est quoi la mesure du périmètre puisque l'Angleterre est de périmètre infini ?Ce site est fatigant. Les gens modifient sans cesse leurs messages passés, et on ne comprend plus rien à la discussion. Je suis nostalgique du temps où, si on postait une bêtise, on devait l'assumer. Et si on cite le passage pour l'ancrer, l'administrateur supprime en disant qu'on n'a pas besoin de recopier le message passé.
-
Des philosophes ont fait bien plus compliqué que ça. Si c'est dit avec des mots simples (par exemple :
imaginez une mine de crayon très pointue pour percer des ouvertures pour observer au travers du papier
alors cela donne une idée d'un objet sans dimension appelé une pointe de compas!Les mathématiques ne sont pas vraies, elles sont commodes.Henri Poincaré
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 7 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 52 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres
In this Discussion
Qui est en ligne 25
+18 Invités