Énoncé étrange

Bonjour,
"chaque nombre qui l'encadre" = chaque nombre sur le même segment.
la solution est obtenue avec a=2 (par a+a+1= a+3)
Cordialement

Oui l'autre solution est a=1 avec a+a+1=a+2
Cordialement:)o

La question est "Peux-tu...." la réponse est oui ou non. Un énoncé qui vous demande de répondre oui ou non peut être en effet qualifié d'étrange quand on parle de mathématiques. B-)-

Chaque nombre qui l’entoure ? Un carré est entouré de deux ronds.
Bon, bref.

Alors non. Enfin, pour ma part c’est « on doit justifier sauf mention contraire ».
Mais on n’est pas tous pareil et je n’en veux pas aux autres.

Je me bats contre le « on peut » dans les discours mathématiques formels, écrits.
Mais à l’oral, je suis très détendu :-D
Ici, c’est de l’oral car dans une bulle BD.

Remarque : la fin est bizarre car on parle de trois lettres non évoquées précédemment.
Il suffisait de dire « tu rangeras ces entiers dans l’ordre croissant ».

D'accord avec Foys, en précisant qu'après la ligne "il existe x"... x n'est pas défini tant qu'on n'a pas écrit "considérons donc un tel x" ou quelque chose approchant.

En quoi ?
Y a une vraie démarche.

a est le plus petit élément.
a+5 est le plus grand élément c'est le carré entre b et c

2 possibilités :
b = a+1 et c = a+4
b = a+2 et c = a+3

Puis on déroule

Je ne vois pas le problème avec ce défi plutôt sympa.

Tu as raison.
On ne peut pas parler d’énoncé mathématique.
Mais cela ne me gêne pas. On est dans l’énigme de jeu de plage.
Cela contient sans scrupule beaucoup d’implicites.
L’important est de regarder les réponses données et d’en entendre les justifications.
Des réponses justes peuvent d’ailleurs venir de « faux » raisonnements.
Des réponses fausses non attendues peuvent venir de bons raisonnements.

La bulle permet ça.
Sans le dessin et la bulle on peut aussi proposer des exercices du genre :
Bernadette dit à Paul : « patati.... ».
Et ça rejoint selon moi la bulle BD.

Par contre ça ne me gêne pas qu’un manuel procède ainsi. D’ailleurs beaucoup d’énoncés sont non mathématiques alors qu’ils se présentent comme tels dans plein de manuels. J’en suis à me demander s’ils ne devraient pas tous les rééditer avec des bulles BD (:P)

Oui je comprends ton ironie.
Mais imagine que cet énoncé soit écrit avec solennité en noir sur blanc comme dans un manuel des années 50.
Là je crierais au scandale. Ce serait pire, non ?

De là à dire que je valide la manuel, non ce n’est pas le cas :-)
Tous ces manuels où il faut une mascotte et des couleurs pour être attrayants et « intéresser » l’élève me rebutent assez.
Les découpages en « activités », « points méthode » et tout le reste, je n’en suis pas fan.

Mais non Foys.
Tu viens de le rendre mathématique.
Par exemple, tu as présenté les lettres, pour commencer.

Sans dire ce que sont $a$, $b$ et $c$, que ce Foys a pourtant fait.
Je pense même qu’il sera d’accord sur ce point : la nécessité de présenter les lettres.

Ça sent la mauvaise foi. Faut ouvrir les yeux, les gens. Les cases a, b et c sont clairement désignées sur le dessin à remplir.

Plutôt que proposer des "défis" dont la résolution ne sert qu'à mettre en valeur les rois de la bidouille et le bordel généralisé, le rôle d'un prof ne serait-il pas de faire un cours magistral suivi d'exercices en exigeant travail, calme et discipline dans la salle de classe ????

Et si un élève répond "je peux le faire !" ?

Je tente l’exercice de style :

Je garde le dessin mais j’écris dans les ronds rouges les lettres $a$, $b$ et $c$ et dans les carrés bleus $x$, $y$ et $z$.
Je garde la bulle BD. Je garde le label « défi ».
On peut choisir entre « trouve » ou « existe-t-il ?».
Je garde « existe-t-il » pour rester dans l’esprit « peut-on ? ».

La question devient :
« Existe-t-il six nombres entiers consécutifs $a$, $b$, $c$, $x$, $y$ et $z$ disposés comme sur le schéma tels que la somme des nombres écrits dans deux ronds rouges soit le nombre écrit dans le carré bleu placé entre ces deux ronds rouges ? ».

Je me passe de la contrainte sur l’ordre. C’est préférable car ça donne plusieurs solutions et il est pertinent dans le secondaire de proposer des problèmes avec plusieurs solutions. Ça oblige aussi celui qui trouve une solution à en accepter une autre. Ça lui montre notamment qu’il a peut-être raisonné avec des « il suffit » à la place des « il faut ».
Plus généralement, dans le domaine des équations, au début, les élèves ont le réflexe de chercher des solutions intuitivement.

On peut regretter l’absence du « quels que soient les deux ronds rouges » mais c’est là que la BD intervient. Comme une consigne orale.

Remarque : plus tard on a l’effet inverse, ils appliquent de l’artillerie lourde pour trouver des solutions « évidentes ».

La phrase est longue, donc effectivement, il peut y avoir des élèves qui ne comprennent pas la question. Mais même cette partie là (reformuler la question) est une partie très utile.
On demande quoi ? On demande 6 nombres entiers positifs consécutifs --> incidente n°1 : ça veut dire quoi nombres entiers positifs consécutifs ?
Ecrire les nombres dans les cases , c'est clair
De telle sorte que ... expliquer cette tournure de phrase

etc etc Aider l'élève à réécrire la question sous une forme qu'il comprend, c'est essentiel. C'est du raisonnement, de la compréhension. Peu importe si c'est plus du ressort du prof de français ou du prof de maths, c'est de toutes façons un exercice très utile.
Après, si des petits insolents s'amusent à répondre ; non, je ne peux pas, sans faire d'effort de recherche, c'est de la bêtise. Ca se gère.

Voici comment j'ai raisonné. Les six nombres sont $a,b,c,a+b,b+c,c+a$.

On a $a<b<a+b<a+c<b+c$, et le nombre $c$ est situé entre $b$ et $a+c$, mais on ne sait pas si $c$ est plus grand ou plus petit que $a+b$.

Premier cas : $c<a+b$. Alors $(a,a+1,a+2,a+3,a+4,a+5)=(a,b,c,a+b,a+c,b+c)$. Comme $a+3=a+b=a+(a+1)$, on a $a=2$ donc $(a,b,c)=(2,3,4)$.

Deuxième cas : $c>a+b$. Alors $(a,a+1,a+2,a+3,a+4,a+5)=(a,b,a+b,c,a+c,b+c)$. Comme $a+2=a+b$, on a $b=2$ donc $a=1$ et $c=4$.

Bonjour,

a = 1, b = 2, c = 4.
a = 2, b = 3, c = 4

Bien cordialement.

kolotoko

Merci à JLT d'avoir proposé une solution et pour ma part je ne vois pas mieux que celle de JLT. Pour des élèves doués ou en bonus, cet exercice peut être intéressant mais pour le collégien ’’moyen’’ je ne vois pas vraiment l’intérêt de ce genre d’exercice pour ma part.
Dom, je te trouve assez contradictoire car d’un côté tu exigeais une justification et d’un autre tu acceptes la solution par ’’tâtonnements’’. On peut très bien ’’tâtonner’’ sans faire de raisonnements et trouver juste par un coup de bol surtout que dans ce cas les deux solutions utilisent des entiers assez ’’basiques’’. La stratégie du ’’tâtonnement’’ je ne sais pas trop bien la définir personnellement, je tâtonne sur ce coup.:-D

Mais non biely !

À la question « existe-t-il ?», il suffit de trouver un truc qui marche et de justifier que ça marche.
Par exemple, sur une copie, la réponse de kolotoko n’est pas suffisante (ce n’est pas un jugement, bien entendu c’est pour illustrer mon propos).

Par contre, si on veut déclarer « je les ai trouvées toutes », là ça oblige à un raisonnement par conditions nécessaires.

J’ai parlé de justifier la réponse que l’on propose.
Ici on a le droit de ne pas dire comment on l’a trouvée.

Et bien pas forcément de mon point de vue.

Ici ça parle de « défi ».
La question de « comment as-tu trouvé ? » est secondaire selon moi.

biely, savoir justifier que ça marche est très important. On ne compte plus les « j’ai trouvé » qui ne fonctionnent pas...

J’ajoute :
Le collège est l’initiation à « comment trouver ».
Tout un tas de gamins trouvent ce genre d’énigme mais ne savent pas comment ils ont trouvé.
Soyons clair : les méthodes académiques fonctionnent et ici permettent de trouver toutes les solutions.
Mais il y a une part de « bah je ne sais pourquoi j’ai choisi ça » qui existe toujours en maths. J’ose dire d’ailleurs que cette partie « ça m’est venu comme ça » n’est pas mathématique. L’enseignement des mathématiques n’est pas d’apprendre à trouver des astuces d’esprit. Gauss avait trouvé, selon la légende, que pour calculer 1+2+...+1000, il suffisait de récrire cette somme en inversant l’ordre des termes, etc. Personne ne lui a enseigné ça.

Exemple très simple dans une classe de 6e (zone défavorisée, REP) :
Soient $a$ et $b$ deux nombres tels que : $3\times a+b=7$.
Écrire $18\times a+6\times b$ en écriture décimale.
J’ai encore vu récemment un gamin réussir, et trouver $42$.
1) d’abord, « pourquoi tu trouves 42 ? »
Là il déroule bah j’ai vu que $18$ c’est trois fois plus.
Il déroule. « Et ça fait $42$ ». Sa méthode était d’écrire $a+a+a...$. En gros de ne plus écrire les fois mais qu’avec des $+$.

Remarque : j’ai déjà parlé de cet exercice.
Il se trouve que je l’ai vu, là.


2) ensuite les questions des autres après la justification et la certitude que la réponse est bien $42$ : « mais comment on fait pour trouver que c’est six ? ».
Le gamin répond « bah c’est dans ma tête ». Et quand on essaye de creuser : « je ne sais pas ».
Ce n’était pas un exercice « spoilé », il ne l’avait pas vu.
Il a pris l’initiative de traduire ce $\times$ « tout seul », a priori.

Je ne sais toujours pas répondre à cette question.
Je ne sais toujours pas comment on apprendra à trouver ce $six$ ici.
Bien entendu, les tables connues par cœur doivent aider.

Mouai. Bof. C'est tout le but du collège. Apprendre la proportionnalité. On prend, en 6ème, des enfants qui connaissent les nombres. Et on les relâche, en 3ème, comme étant des pros de la proportionnalité, des fonctions linéaires et des fonctions affines.
Que des enfants ne l'aient pas verbalisé avant, n'est pas un problème. À trop pré-supposer la proportionnalité, on oublie la possibilité d'existence de relations quadratiques, logarithmiques ou exponentielles, etc.
Si j'ai plus de clients, cela me donne-t-il plus de travail ?
C'est toute la question de la complexité algorithmique. Et la proportionnalité pré-supposée n'est pas la bienvenue.

Bonjour,

la somme des nombres dans les carrés S est le double de la somme s des nombres dans les cercles .

Si les 6 nombres sont x, x + 1, x + 2, x + 3, x + 4, x + 5 leur somme vaut T = 6x + 15 et donc s = T/3 = 2x + 5 et S = 2s = 4x + 10.

Le plus petit nombre dans un cercle est le nombre x = a, et la somme des nombres en b et c vaut donc 2x + 5 - x = x + 5.

Cette somme est supérieure ou égale à la somme des deux plus petits nombres restants c'est à dire x + 1+ x + 2 = 2x +3.

x + 5 >= 2x + 3 soit x <= 2 .

premier cas : x = 1 donc x + 5 = 6 et la seule façon d'avoir deux nombres différents plus grands que 1 et totalisant 6 est b = 2 , c = 4.
deuxième cas : x = 2 donc x + 5 = 7 et la seule façon d'avoir deux nombres différents plus grands que 2 et totalisant 7 est b = 3 c = 4.

En supposant b < c.

Bien cordialement.

kolotoko