Trapèze
Bonjour,
Je voudrais justifier, que le trapèze isocèle (strict) ci-dessous possède un axe de symétrie : la médiatrice des bases (qui sont confondues).
Ca semble facile mais je veux me limiter à utiliser que des outils de Sixième.
Les prérequis sont les suivants :
- Propriétés des droites parallèles, perpendiculaires ;
- Médiatrices, axe de symétrie d'un angle ;
- Symétrie axiale ;
- Axes de symétrie des triangles isocèles et conséquence (sans les réciproques) ;
- J'accepte les conditions CCC, CAC et ACA s'il le fallait vraiment.
J'ai effectué des constructions (voir le dessin plus haut).
Je voudrais justifier, que le trapèze isocèle (strict) ci-dessous possède un axe de symétrie : la médiatrice des bases (qui sont confondues).
Ca semble facile mais je veux me limiter à utiliser que des outils de Sixième.
Les prérequis sont les suivants :
- Propriétés des droites parallèles, perpendiculaires ;
- Médiatrices, axe de symétrie d'un angle ;
- Symétrie axiale ;
- Axes de symétrie des triangles isocèles et conséquence (sans les réciproques) ;
- J'accepte les conditions CCC, CAC et ACA s'il le fallait vraiment.
J'ai effectué des constructions (voir le dessin plus haut).
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Réponses
La figure propose les choses connues.
Attention d’ailleurs, on ne sait pas a priori que les trois droites sont concourantes en O.
Sauf à avoir une définition de trapèze isocèle particulière (un triangle isocèle qu’on coupe par une droite parallèle à sa base).
Ici je pars du principe que c’est « au moins deux côtés parallèles et les deux autres côtés de même longueur ».
Une piste est de démontrer que J est au milieu de [AB].
Enfin mieux : que A est symétrique de B par rapport à (IJ).
L’image de D est C, ça c’est par définition.
Sait-on que les angles du trapèze sont égaux, en D et C ?
Pour les trois droites tu as raison mon dessin est trompeur.
Pour l'histoire des angles en D et en C c'est un résultat que je veux établir comme conséquence de celui-ci.
A mon humble avis, ces contraintes ne permettent pas d'apporter une preuve.
Dans la collection "série rouge" une preuve est donnée mais avec des outils de Cinquième. X:-(
Un stratégie consiste à montrer que les angles en D et C ont la même mesure d'abord, la suite un jeu d'enfant...
Merci @FLEURISTIN
Par exemple (c’est le seul je pense) un parallélogramme non rectangle est un trapèze isocèle et n’a pas d’axe de symétrie.
Il faut donc ajouter quelque chose.
Au choix :
- les deux côtés parallèles de longueurs distinctes
- les deux autres côtés (ceux qui sont de même longueur) non parallèles
On s’embarque dans du moche...
Domi
J’aime bien l’idée qu’un trapèze soit un triangle coupé par un droite parallèle à un côté.
Ça évite le parallélogramme.
Mais en maths on n’aime pas trop exclure avec les définitions, d’habitude.
Ça encourage à dire que le rectangle n’a pas les quatre côtés de même longueur.
Il faut se méfier...
En fait je ne me souviens pas de ce que j’ai appris.
Mais dans mon esprit, longtemps c’était comme tu le dis.
Ensuite j’ai deux pistes :
- celle qui me semble la moins excluante donnée par wiki français.
- celle qui serait un triangle tronqué (qui revient à celle que tu considères comme plus pratique
Notamment pour le trapèze rectangle, on imagine bien un triangle rectangle tronqué.
Cependant : même avec ça, la question originale du fil me semble bien difficile à résoudre.
Tout ça nous donne un confort mathématique mais les élèves y perdent leurs bases . Il faut rester le plus proche possible des idées élémentaires que les élèves se font des choses ne serait-ce que pour pouvoir en démolir certaines : un carré n'est pas un losange car le losange n'a pas d'angle droit .
Mais je vais quitter la barque sans avoir vraiment aucune certitude sur la meilleure façon de présenter les choses .
Domi
Les cas d’égalité des triangles sont de base chez Euclide, pour démontrer les autres propositions. Si on supprime les démonstrations du collège, il est inutile de consacrer à ces triangles égaux le temps nécessaire en classe (beaucoup d’heures). Dans ce cas, il faut supprimer totalement la géométrie et ne plus parler de segment, de cercle et surtout pas de symétrie parce que ça n’a plus aucun sens.
Ça contient tout, surtout les angles et c’est ce que l’on veut démontrer.
Mais en effet on ne semble pas avoir le choix.
Dans une moindre mesure j’aurais envie d’accepter les résultats sur les translations (ici c’est un triangle isocèle dont on a écarté un côté pour former le trapèze). Mais en 6e, non, pas de translation.
Domi
L’école a fait ça et je ne la blâme pas puis au collège on bannit la démonstration par « ça se voit » en pratiquant avec des raisonnements.
Oui, Sato, quand je dis de la triche il faut nuancer.
Les axiomes des triangles égaux, j’aurais envie de n’en parler qu’en 5e après avoir fait des maths en 6e et il y a de la matière (les côtes opposés d’un rectangle sont parallèles, un quadrilatère avec trois angles droits est un rectangle, toutes les choses qui relèves de la symétrie axiale, etc.).
C’est ça, les glissements vagues, ça ne m’intéresse que pour « l’idée de la preuve » mais pas en tant que preuve.
En effet on a vite fait d’avoir un gamin qui saura user de ce genre d’arguments « oui mais là, non, on ne peut pas ».
Domi
Par contre je trouve que « 3 angles droits => rectangle » est pertinent à démontrer.
Mais chacun a un public et une sensibilité différente .
Domi
Domi
Le cercle circonscrit était au programme de 5e il y a bien longtemps. Les « droites remarquables » sont parties assez rapidement.
En fait, je remarque que c’est la classe de 6e qui a le moins changé en terme de programme avec les dernières réformes.
Édit : je réponds plus tard pour « isocèle » car la question est posée à Éric.
Pour le coup, je suivrais ce qui est dit sur Wikipedia : deux angles adjacents à une même base sont égaux.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Trapèze
Édit : ok, hors sujet après correction de Domi.
Domi
-- Schnoebelen, Philippe
Je ferais bien la même chose avec d'autres figures comme le triangle isocèle mais cette figure a été trop souvent abordée en primaire par une autre définition.
Avec le trapèze isocèle cela pourrait peut-être passer, même si je n'ai pas réfléchi à une définition faisant appel à un axe de symétrie et qui ne soit pas une usine à gaz pour des 6ème.
Je trouve que c’est contourner les difficultés.
Idem avec « quadrilatère avec diagonales de même milieu ».
C’est théoriquement très malin mais je n’aime pas du tout.
Bien entendu que c’est difficile ensuite.
Enfin, dès que la symétrie centrale transforme une droite en une droite parallèle (démontrable en 6e), on a le centre de symétrie assez vite.
Les plus difficiles sont les réciproques du genre « si côtés opposés égaux alors parallélogramme » et cela quelle que soit la définition.
Tu peux toujours dire que ça n'existe pas, mais pour la translation, il va falloir en parler.
Si tu prends les diagonales qui se croisent en leur milieu, plus de problème avec le cas dégénéré.
Domi
Dis-moi Éric, on pourrait dire la même chose pour un simple rectangle : ABBA en est-il un ?
Faut-il alors définir un rectangle avec "quadrilatère avec les diagonales de même longueur et de même milieu" au lieu de "quadrilatère avec quatre angles droits" ?
[small]D'ailleurs, avec certains cas dégénérés, on perd parfois les côtés opposés parallèles, qui doit bien être une propriété, quelque part, non ?[/small]
De même, AAAA est-il un carré ?
"Oui" est une bonne réponse et "non" en est-une aussi, enfin, on s'est compris...
Je préfère utiliser l'étymologie/la sémantique des mots pour définir les objets, au collège.
Au lycée, expliquer qu'on change de définition pour englober les cas dégénérés me semble très pertinent d'autant plus qu'ils connaissent (...c'est vite dit, c'est la théorie...) les caractérisations.
Ma définition du parallélogramme n'est pas si contre intuitive pourvu qu'on s'y prenne bien, c'est permis car qui a déjà vu un parallélogramme ailleurs que dans son imagination à cet âge ?
Chapitre 1 : la symétrie axiale et les figures qu'elle engendre.
Et on peut tout de suite avoir
Chapitre 2 : les parallélogrammes.
Bonne journée et bon retour prochain aux élèves, juste à temps pour des parties de baccalauréat (le jeu évidemment) endiablées... Enfin pas chez moi !
Elles n’ont pas à être dégénérées, a priori.
Puis la théorie venant, on souhaite englober tous les cas ce qui suggère, pour des raisons de preuves plus courtes, qu’il en redonne des définitions plus « stables » et « généralisantes ».
En effet, je me fiche que l’on se dise au collège qu'on ne sait pas décider si AAAA est un rectangle ou pas.
PS :
Tu as raison, « polygone » signifie « plusieurs angles ».
Comme au collège il n’y a pas « les vecteurs » et que les translations sont du « on voit bien que, en glissant », les intérêts du lycée n’existent pas (encore) au collège.
On ne peut pas constamment se plaindre que l'on ne fait plus de math au collège et inviter à ne pas en faire à la moindre difficulté (à moins d'être un inspecteur intellectuellement malhonnête).
Sinon je suis d'accord, il faut faire dégénérer systématiquement toutes les figures, peu importe le nom donné, sinon une droite est un cercle.
Je préconise de définir les translations sans « on voit bien que ».
Pour ça, ça ne me dérange pas de définir en distinguant les cas dégénérés et les cas plus consistants.
Si on veut être cohérent, j’attends toujours de voir la définition de ce qu’est un rectangle qui englobe les cas dégénérés.
J’affirme que personne ne le fait.
Je me trompe nécessairement, qui peut dire « j’en connais au moins un qui le fait » ?
Remarque : idem pour les homothéties d’ailleurs, sortir des programmes ne me dérange pas.
On définit facilement le cas « positif » puis le cas « négatif » avec des notions de 6e (et c’est en 3e qu’il le fait).
Je crois que c’est bien de le faire.
Dans le genre "on voit bien que", un où il est difficile de détecter l'escroquerie est la "transitivité du parallélogramme". Si $ABCD$ et $CEFD$ sont des parallélogrammes, alors $ABEF$ est un parallélogramme (et je ne parle même pas des cas dégénérés ...).
Cette question de l’intérêt pour celui qui démontre ne m’interpelle pas davantage.
C’est comme si on voulait juste gagner de l’encre.
Bien entendu, ce n’est pas que ça, je le sais.
La transitivité me semble aisé en 6e même s’il faut distinguer les cas dégénérés.
Sauf si quelque chose m’échappe.
En effet on n’a pas ça en 6e. En 6e on parvient facilement à montrer que deux côtés opposés sont parallèles mais pas simple pour les deux autres.
Comment justifier le "non-croisé" pour la "transitivité du parallélogramme", bien sûr en évitant "on voit bien que" (ce que j'appelais une escroquerie dans un message précédent) ?
J’avais construit des choses avec des demi-droites jadis (ça revient à voir des vecteurs sans le dire, on parle ainsi des « sens »). ABCD parallélogramme dit notamment que [AB) et [CD) sont parallèles et de sens opposés.
ATTENTION : je ne dis pas qu’il faut s’interdire la caractérisation par les diagonales de même milieu, je parle d’une définition d’un objet appelé « parallélogramme ».
D’ailleurs même avec la définition que tu donnes, j’espère qu’on a bien un théorème qui dit « si côtés opposés parallèles, alors parallélogramme ». À moins de cacher ça sous le tapis (?).
On a un problème similaire pour les caractérisations avec les longueurs (« si côtés opposés de même longueur alors parallélogramme... »). Cas « non croisés » encore.
Dans ce fil d’ailleurs, une démonstration que j’ai tentée coince à cause d’une histoire de longueur (on trouve deux points possibles et il faut justifier que « c’est le bon qu’on obtient »).
On est en train de dévier complètement du fil de départ. Je vais ouvrir un nouveau fil.
Ça me va bien comme ça cela dit. Je crois qu’on a un peu fait le tour.
En fait, dès que ça discute « lycée » il y a consensus il me semble.
Édit : ha ok je viens de voir le nouveau fil.
Tu as eu raison c’est plus général que « parallélogramme ».