Trapèze

J'ai personnellement toujours été embêté par la définition du trapèze au collège , on voudrait que ce soit tout quadrilatère convexe avec deux côtés parallèles mais on a le problème du parallélogramme . On peut dire que c'est aussi un trapèze mais alors est-il isocèle ? On peut éviter les embrouilles en définissant un trapèze isocèle comme un trapèze avec un axe de symétrie mais ce n'est pas naturel au niveau 6ème . On pourrait aussi définir un trapèze comme un quadrilatère ayant seulement deux côtés parallèles mais alors on rentre dans des complications pénibles quand il faut expliquer qu'une figure est un trapèze : il faudrait monter que le quadrilatère n'a que deux côtés parallèles . J'ai fini par laisser tomber les détails car en 6ème on ne démontre pas vraiment . Un trapèze isocèle est un trapèze avec deux côtés égaux et il a un axe de symétrie ( on oublie volontairement le parallélogramme pour ne pas apporter de confusion ) .

Domi

@Domi, le parallélogramme a deux paires des côtés opposés parallèles, alors qu’un trapèze a une paire des côtés opposés parallèles et deux autres qui ne le sont pas. Aucune ambiguïté ;-)

@Dom, je viens de lire le wiki russe et anglais. Il semblerait qu’il y a deux définitions. Une qui exclut les parallélogrammes (ce que j’ai appris) et l’autre où les parallélogrammes sont des trapèzes particuliers. Je ne savais pas... A mon avis, la première facilite la vie au collège.

Il y a eu une époque ( que je ne regrette pas vraiment ) où l'on donnait des définitions très précises au mépris de l'intuition des élèves : un parallélogramme est un quadrilatère dont les diagonales se coupent en leur milieu , un rectangle est un parallélogramme à diagonales égales ...
Tout ça nous donne un confort mathématique mais les élèves y perdent leurs bases . Il faut rester le plus proche possible des idées élémentaires que les élèves se font des choses ne serait-ce que pour pouvoir en démolir certaines : un carré n'est pas un losange car le losange n'a pas d'angle droit .

Mais je vais quitter la barque sans avoir vraiment aucune certitude sur la meilleure façon de présenter les choses .

Domi

Avec les triangles égaux. JIC et JID. Deux parallèles, donc la perpendiculaire à (CD) est perpendiculaire à (AB). D’où l’égalité des triangles JCB et JDA. On en déduit que JA = JB.

Les cas d’égalité des triangles sont de base chez Euclide, pour démontrer les autres propositions. Si on supprime les démonstrations du collège, il est inutile de consacrer à ces triangles égaux le temps nécessaire en classe (beaucoup d’heures). Dans ce cas, il faut supprimer totalement la géométrie et ne plus parler de segment, de cercle et surtout pas de symétrie parce que ça n’a plus aucun sens.

On parle ici d'élèves de 6ème pour qui l'observation tient lieu de preuve : ici il n'y a rien à démonter car tout est visuellement évident . Au collège je réserve les quelques démonstrations que je propose aux élèves à des propriétés qui ne sont pas visuellement évidentes : somme des angles d'un polygone , Pythagore , cercle circonscrit ... D'ailleurs dans les programmes on propose de plus en plus de démonstrations dans le domaine numérique ce qui ne me semble pas forcément une bonne idée .

Domi

Oui Domi mais justement, les maths ne se démontrent pas à coups de « on voit que ».
L’école a fait ça et je ne la blâme pas puis au collège on bannit la démonstration par « ça se voit » en pratiquant avec des raisonnements.

Oui, Sato, quand je dis de la triche il faut nuancer.
Les axiomes des triangles égaux, j’aurais envie de n’en parler qu’en 5e après avoir fait des maths en 6e et il y a de la matière (les côtes opposés d’un rectangle sont parallèles, un quadrilatère avec trois angles droits est un rectangle, toutes les choses qui relèves de la symétrie axiale, etc.).

C’est ça, les glissements vagues, ça ne m’intéresse que pour « l’idée de la preuve » mais pas en tant que preuve.
En effet on a vite fait d’avoir un gamin qui saura user de ce genre d’arguments « oui mais là, non, on ne peut pas ».

Je suis d’accord pour faire des choix.
Par contre je trouve que « 3 angles droits => rectangle » est pertinent à démontrer.

@Eric : comment tu définis un trapèze isocèle en 6ème ?

Domi

@ Domi : je ne parle pas de trapèze isocèle ou pas en 6eme puisque je n'ai pas de 6emes (réponse facile j'en conviens).

Pour le coup, je suivrais ce qui est dit sur Wikipedia : deux angles adjacents à une même base sont égaux.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Trapèze

Non , je parlais de trapèze, pas de triangle. J'avais tapé triangle par réflexe mais j'ai corrigé immédiatement.

Domi

Pour le parallélogramme en 5ème, je prends la liberté de me détacher de 95% de la littérature mathématiques de 5ème à propos de la définition en posant que c'est un quadrilatère non croisé qui admet un centre de symétrie. Toutes les propriétés en découlent.
Je ferais bien la même chose avec d'autres figures comme le triangle isocèle mais cette figure a été trop souvent abordée en primaire par une autre définition.
Avec le trapèze isocèle cela pourrait peut-être passer, même si je n'ai pas réfléchi à une définition faisant appel à un axe de symétrie et qui ne soit pas une usine à gaz pour des 6ème.

D'un point de vue théorique, on peut envisager que ce sont les symétries qui font les figures et non l'inverse. En tout cas j'ai pleinement conscience de ce que tu écris, Dom. C'est ce que j'ai trouvé de mieux pour démontrer tout de même quelques petites choses et avoir le temps de scratcher...

C'est un peu ce que je disais au début du fil , si on ne veut pas être embêté avec les démonstrations on choisit une définition savante mais contre-intuitive pour les élèves . On va produire une belle construction mais que va-t-il rester dans la tête des élèves ?

Domi

Dom si tu veux utiliser l'étymologie pour donner tes définitions, il faut presque tout baser sur les angles (cf par exemple l'étymologie de polygone) et AAA ne définit pas un angle. Ou j'ai mal compris.

Ma définition du parallélogramme n'est pas si contre intuitive pourvu qu'on s'y prenne bien, c'est permis car qui a déjà vu un parallélogramme ailleurs que dans son imagination à cet âge ?

Chapitre 1 : la symétrie axiale et les figures qu'elle engendre.

Et on peut tout de suite avoir

Chapitre 2 : les parallélogrammes.

Bonne journée et bon retour prochain aux élèves, juste à temps pour des parties de baccalauréat (le jeu évidemment) endiablées... Enfin pas chez moi !

@Dom : l'intérêt des cas dégénérés est de pouvoir parler de vecteurs égaux dans tous les cas et de définir l'image d'un point par une translation dans tous les cas (si tu définis les translations à partir des parallélogrammes et les vecteurs à partir des translations). Tu as donc besoin de cas dégénérés de parallélogrammes, mais tu te moques d'appeler ce cas dégénéré un rectangle ou pas, ça n'a pas d'intérêt.

Les translations sont du "on voit bien que" si tu choisis de faire du "on voit bien que". Rien n'interdit de ne pas faire du "on voit bien que".

On ne peut pas constamment se plaindre que l'on ne fait plus de math au collège et inviter à ne pas en faire à la moindre difficulté (à moins d'être un inspecteur intellectuellement malhonnête).

Ok.
Je préconise de définir les translations sans « on voit bien que ».
Pour ça, ça ne me dérange pas de définir en distinguant les cas dégénérés et les cas plus consistants.

Si on veut être cohérent, j’attends toujours de voir la définition de ce qu’est un rectangle qui englobe les cas dégénérés.
J’affirme que personne ne le fait.
Je me trompe nécessairement, qui peut dire « j’en connais au moins un qui le fait » ?

Remarque : idem pour les homothéties d’ailleurs, sortir des programmes ne me dérange pas.
On définit facilement le cas « positif » puis le cas « négatif » avec des notions de 6e (et c’est en 3e qu’il le fait).
Je crois que c’est bien de le faire.

Ok Éric,

Cette question de l’intérêt pour celui qui démontre ne m’interpelle pas davantage.
C’est comme si on voulait juste gagner de l’encre.
Bien entendu, ce n’est pas que ça, je le sais.

La transitivité me semble aisé en 6e même s’il faut distinguer les cas dégénérés.
Sauf si quelque chose m’échappe.

En 5e on a « si le quadrilatère a deux côtés opposés parallèles et de même longueur alors c’est un parallélogramme ».
En effet on n’a pas ça en 6e. En 6e on parvient facilement à montrer que deux côtés opposés sont parallèles mais pas simple pour les deux autres.

Certes « convexes » ou « non croisés ».

Oui, oui, je suis d’accord.
J’avais construit des choses avec des demi-droites jadis (ça revient à voir des vecteurs sans le dire, on parle ainsi des « sens »). ABCD parallélogramme dit notamment que [AB) et [CD) sont parallèles et de sens opposés.

ATTENTION : je ne dis pas qu’il faut s’interdire la caractérisation par les diagonales de même milieu, je parle d’une définition d’un objet appelé « parallélogramme ».
D’ailleurs même avec la définition que tu donnes, j’espère qu’on a bien un théorème qui dit « si côtés opposés parallèles, alors parallélogramme ». À moins de cacher ça sous le tapis (?).

On a un problème similaire pour les caractérisations avec les longueurs (« si côtés opposés de même longueur alors parallélogramme... »). Cas « non croisés » encore.

Dans ce fil d’ailleurs, une démonstration que j’ai tentée coince à cause d’une histoire de longueur (on trouve deux points possibles et il faut justifier que « c’est le bon qu’on obtient »).

Ok.
Ça me va bien comme ça cela dit. Je crois qu’on a un peu fait le tour.
En fait, dès que ça discute « lycée » il y a consensus il me semble.

Édit : ha ok je viens de voir le nouveau fil.
Tu as eu raison c’est plus général que « parallélogramme ».