Théorème des valeurs intermédiaires

Héhéhé a écrit:

Je répète ce que j'ai dit dans un autre message sur un autre post: "C'est quand même fou que des gens, Ramon en tête, reproche aux profs de suivre les directives de leur employeur... C'est à se demander s'ils ont déjà travaillé dans leur vie..."

L'employeur des professeurs est la société française (c'est-à-dire les parents d'élèves). Oui oui. Les parents et non les inspecteurs, recteurs, Blanquer etc. Je trouve dommage que les professeurs français ne joue pas la carte "soutien des familles" alors que c'est la carte gagnante... Oui je sais, il y a actuellement pas mal de méfiance chez certains français envers les professeurs ou pire. Mais quel parent refusera de vous soutenir si vous militer pour le bien de son enfant? Remonter le niveau en math de tous les élèves, rendre les programmes cohérents pour tous les élèves, demander les bons manuels en maths pour tous les élèves. C'est le bien absolu qu'aucun parent ne refusera.
P.S. je souligne bien pour tous. Bref, il faut remonter le niveau à l'école primaire et collège. Le gouvernement essaye à sa façon d'améliorer les choses à l'école primaire. Par contre presque personne ne parle du désastre au collège. Nous, utilisateurs de ce forum, on ne compte pas parce que nous sommes déjà des gens engagés.

vorobichek : certains parents sont ravis de cette réforme qui permet à leur chérubin d'enfin arrêter les maths... Sans parler de ce qu'ils peuvent raconter au collège ou en primaire (sur les maths, mais également sur le français, les langues, l'histoire, l'EPS.....).
Eh non, ce ne sont pas les familles qui nous payent (sauf privé hors contrat, mais c'est bien loin d'y être mieux...).

"L'employeur des professeurs est la société française (c'est-à-dire les parents d'élèves)."

Faut arrêter la fumette...

vorobichek : certains parents sont ravis de cette réforme qui permet à leur chérubin d'enfin arrêter les maths...

Et? C'est la reforme du lycée. A cet étape, c'est trop tard pour remonter le niveau des élèves.

Sans parler de ce qu'ils peuvent raconter au collège ou en primaire (sur les maths...

Nous sommes tous d'accord que le niveau est catastrophique en maths. Sauf des petites bêtises par ci par là, les parents ont raison d'être mécontents, méfiants et donneur de conseil.

@Héhéhé désolé mais oui l' employeur des professeurs est bien la société française. Sans les impôts des parents d'élèves vous n'existez plus...et si comme semble le dire kioups ces impôts servent majoritairement à payer des moutons qui servent à fabriquer des moutons on peut sérieusement se poser la question sur l'utilité de l'éducation nationale. Si c'est pour faire de la garderie ou de "preparer" à un diplôme totalement bidon à quoi bon dépenser autant de milliards? La médiocrité appelle la médiocrité et l'on rentre dans un cercle infernal qui ravit nos gouvernants car un zombi sera toujours plus malléable...vous allez me répondre que le gouvernement est élu par la société française et je m'incline devant cet argument...

Si "l' employeur des professeurs est bien la société française", alors tout va bien, même si certains membres de cette même société n'aiment pas ce qu'ils ont fait en tant qu'employeurs : sabrer la formation mathématique.

Il y a quand même un sacré parti-pris anti-profs chez certains !!

Je veux bien croire que beaucoup de parents d'élèves affirment que le théorème de Pythagore ne leur servira à rien dans la vie (et encore c'est un mauvais exemple je trouve) mais de mon point de vue les mathématiques sont surtout utiles pour apprendre à raisonner et à être rigoureux, deux éléments qui peuvent être très utiles dans la vie d'un citoyen. Beaucoup de parents d'élèves qui ont eu un enseignement scientifique ne se rendaient pas compte de la déliquescence de cette matière car d'une part ils ont souvent lâché l'affaire depuis longtemps et que surtout on leur vendait durant des années des "mais noonnn le niveau n'a pas baissé, on ne peut pas comparer les époques, les programmes sont différents. ...et puis regardez, on a Cedric Villani, c'est bien la preuve que le niveau est bon...". Finalement c'est seulement à partir de la publication de certains tests mondiaux où le rang de la France se situait au niveau de l’Égypte que l'on a commencé à se poser des questions...

@biely c'est ma première année de poste en tant que certifié, et la préparation de ce chapitre de secondes de probabilités relève du casse tête pour moi.

Normalement, ta fille verra en première les probabilités conditionnelles et l'indépendance car ceci passe dans le programme de la spécialité de première.
Personnellement j'interprète l'intention du programme de seconde comme comprendre qu'il y a 2 manières de modéliser une expérience aléatoire, la seconde étant de le faire à partir de fréquences d'observations "espérées" des issues à l'aide des fréquence. L'objectif étant d'illustrer le règles d'additivité des probabilités dans les expériences aléatoires à 2 épreuves, à apprendre à faire un arbre de probas, un tableau à 2 entrées, et des diagrammes à patates. Et cela en commençant par des situations de 2 épreuves indépendants pour passer aux non-indépendantes.

Je ne sais pas comment m'y prendre pour être efficace mais je ne pense pas qu'un chapitre sur l'indépendance rentre dans l'année de seconde. Certainement pas quand toutes les heures d'ap sont consommées par l'orientation. Aussi je crains que faire une approche trop formelle avec mes élèves leur fera abandonner. C'est plus sûr d'introduire les probabilités conditionnelles l'année suivante, une fois qu'on est certain que l'élève jongle avec les arbres des issues ou probabilités, les diagrammes de manière satisfaisante.

En théorie je pense que le programme est ok. même si je n'arrive pas à trouver cette expérience aléatoire (pas complètement artificielle du genre Pile Face) pour démarrer les probabilités niveau seconde) et qui me mettrait dans une bonne position, avec un cours bref, limpide et clair. qui se boucle en 1 semaine et demi. J'ai bien peur de m'enliser comme avec le chapitres des inéquations et des vecteurs, et comme maintenant avec les équations de droites. Je sens que je suis en train de perdre ma classe, et que certains sont déjà en mode "les maths c'est fini !"

@zenxbear, regarde le manuel IB maths niveau avancé. Je trouve qu'ils expliquent super bien les probas et n'oublient pas de faire attention aux petits détails. Par exemple: lancer une punaise est un événement à deux états... qui ne sont pas équiprobables. Donc on ne peut pas faire comme avec la pièce de monnaie $P(pile)=P(face)=0.5$.

"on", "on", "on"... c'est qui ce "on" ?

Ca me rappelle une discussion avec un surveillant pénitencier. Il me disait qu'il prenait mal les propos de tout le monde en mode: "si c'était moi qui gérait la surveillance, ça serait la discipline de fer et il n'y aurait pas de trafic, de prosélytisme, etc." par des gens qui n'ont qu'une vision ultra partielle de la situation et méconnaissent la réalité du terrain et de la loi. Bref des adeptes du y'a qu'à faut qu'on. biely fait la même chose ici.

Je n'enseigne pas à ce niveau, mais est-ce que "on multiplie les probabilités le long du chemin" ne peut pas être rendu compréhensible en voyant les choses en termes de proportions ?

Beaucoup de mes élèves ont déjà fait des arbres pondérés au collège. Du coup, on le fait pour tous les secondes.

Enfin on commence à comprendre le bazar...les arbres "dessinés " de troisième ne me posent aucun problème, pas besoin d'introduire la notation P (B/A) . En seconde c'est déjà beaucoup plus flou, un coup on utilise le "buisson" , un coup on balance un arbre pondéré où en plus il n'y pas toujours indépendance et la j'estime que l'on devrait définir dès ce stade ce nombre qui est noté sur cette branche et introduire la notation P (B/A) (et donc d'expliquer que si A n' "influence" pas B alors dans ce cas il y a indépendance et on peut remplacer P (B/A) par P (B).
Expliquer que P (A inter B )=P (A)×P (B/A) n'est vraiment pas compliqué. Soit comme le dit skilveg on part sur les proportions ( du style le tiers du quart c'est (1÷3)×(1÷4) , exercice de collège )soit on explique avec un tableau à double entrée (l'idéal à mon avis), d'abord par un exemple concret puis en passant à l'abstrait. Dans un tableau à double entrées A,B on voit bien que les valeurs données dans le tableau sont Card (A inter etc, Card(A) et Card (univers). (L'utilisation de la notation Card est bien pratique quand même ). Il n'est pas sorcier de voir que ,parmi A,(ou sachant A etc) la probabilité d'avoir B est Card (A inter ÷Card(A)=P (B/A) (les élèves le comprennent instinctivement si on insiste sur la condition ). En divisant le numérateur et dénominateur par Card (univers) on obtient la relation P (A inter ÷P (A)=P (B/A) et là du coup on comprend ce qu'est le nombre au dessus d'une branche et pourquoi il faut multiplier P (A) et P (B/A) pour calculer P (A inter

Je fais une petite note technique au sujet du conditionnement (peut-être que plus tard je dirai ce qui ne va pas avec ce concept tel qu'il est introduit dans l'enseignement- ce qui n'est d'ailleurs pour le coup pas lié aux évolutions récentes des programmes mais plutôt à de vieux atavismes à mon avis)

Soient $E$ un ensemble. NB: la partie I) ci-dessous ne fait aucune référence à la notion de probabilité, qui sera abordée à la partie II).

[large]I)[/large] Tout d'abord considérons une partie $Y$ de $E$. Dans la suite du texte, on désigne par $\mathbf 1_Y: E \to \R$ la fonction caractéristique de $E$ l'application qui à $t\in E$ fait correspondre $1$ si $t\in Y$ et $0$ sinon.

Soit $x := (x_n)_{n \in \N}$ une suite de $E$.
Dans la suite on désigne par $\mathcal M(x)$ l'ensemble des parties $Z$ de $E$ telles que la quantité $\displaystyle{\frac {\sum_{k=0}^n \mathbf 1 _Z (x_k) }{n+1} }$ possède une limite quand $n\to +\infty$ (suite des proportions des premiers termes de la suite appartenant à $Z$). On désignera dans la suite du texte par $\ell(x,Z)$ cette limite, si elle existe(*).

Soient $t$ une suite de $E$ et $A,B$ des parties de $E$. On suppose que $B$ et $A \cap B$ appatiennent à $\mathcal M(t)$, et on suppose aussi que $\ell(t,B)>0$.
Il existe donc une unique application strictement croissante $\beta: \N \to \N$ telle que pour tout $n \in \N$, $t_n \in B$ si et seulement s'il existe $k\in \N$ tel que $\beta(k) = n$. On notera $s:= \left (s_n \right )_{n \in \N} := \left ( t_{\beta(n)}\right )_{n \in \N}$ la suite extraite obtenue à l'aide de $\beta$ (c'est la sous-suite des termes de $t$ appartenant à $B$).

Pour tout entier $n$ on a les égalités
(i) $\sum_{k=0}^n \mathbf 1_{A \cap B} (s_k) = \sum_{k=0}^n \mathbf 1_{A \cap B} (t_{\beta(k)}) =\sum_{k=0}^{\beta(n)} \mathbf 1_{A \cap B} (t_k) $ (les membres de cette égalité sont tous égaux au nombre d'indices $i$ entre $0$ et $\beta_n$ tels que $t_i$ appartient à $A \cap B$ -remarquer qu'un $j$ tel que $t_j\in A \cap B$ est forcément de la forme $\beta(k)$ pour un certain $k$).
(ii) $\sum_{k=0}^n \mathbf 1_{ B} (s_k) = \sum_{k=0}^n \mathbf 1_{ B} (t_{\beta(k)}) = n+1$ (voir la définition de $\beta$; $\mathbf 1_B (t_{\beta(j)}) = 1$ pour tout entier $j$).

Compte tenu de (i) et (ii), on voit qu'on a pour tout $n\in \N$, les égalités $$
\begin{align}
\frac {\sum_{k=0}^n \mathbf 1 _{A \cap B} (s_k) }{n+1} & = \frac {\sum_{k=0}^n \mathbf 1 _{A \cap B} (s_k) }{\beta(n)+1} \frac{\beta(n) + 1}{n+1} \\
& = \frac {\sum_{k=0}^{n} \mathbf 1 _{A \cap B} (t_{\beta(k)}) }{\beta(n)+1} \frac{\beta(n) + 1}{\sum_{j=0}^{\beta(n)} \mathbf 1_{B} (t_j)} \\
& = \frac {\sum_{j=0}^{\beta(n)} \mathbf 1 _{A \cap B} (t_{j}) }{\beta(n)+1} \frac{\beta(n) + 1}{\sum_{j=0}^{\beta(n)} \mathbf 1_{B} (t_j)} \tag{$\dagger$}
\end{align}$$

En faisant tendre $n$ vers l'infini dans $(\dagger)$ on voit donc que $A \cap B\in M(s)$ et que $$
\ell(s,A \cap = \frac{\ell(t,A\cap }{\ell(t,B)} \tag{$\dagger \dagger$}$$
Ce dernier rapport est intuitivement la proportion, parmi les termes de $t$ appartenant à $B$ de ceux qui appartiennent aussi à $A$.

[large]II)[/large] (cette partie est de niveau M2?) Ci-dessous on explique pourquoi un quotient de deux nombres réels tel que celui envisagé dans l'égalité $(\dagger \dagger)$ plus haut, mérite à bon droit d'être appelé probabilité conditionnelle dans un certain contexte précis.

Soit désormais $\mathcal G$ une tribu sur $E$.
Soient $(\Omega, \mathcal F, P)$ un espace probabilisé. Soit $(X_n)_{n \in \N}$ une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées de $(\Omega,\mathcal F,P)$ dans $(E,\mathcal G)$.
Soit $B\in \mathcal G$ tel que $P(X_1 \in >0$.
Soit $\omega \in \Omega$. On pose $\tau(0)(\omega):=\inf \{m \in \N \mid X_m \in B\}$;
puis on définit $n \mapsto \tau_n$ par récurrence en posant pour tout $n\in \N$, $\tau(n+1)(\omega):= \inf \left \{ k \in \N \mid \tau(n) < k \wedge X_k \in B \right \}$. On vérifie immédiatement que pour tout $n$, $P(\tau_n < +\infty)=1$, que la suite $\left ( \tau(n) \right )_{n \in \N}$ est une suite de temps d'arrêts adaptée à la suite de tribus $n \mapsto \sigma(X_0,X_1,...,X_n)$.

Soit $\Omega':=\{\omega \in \Omega \mid \tau(n)< +\infty\}$. On a $P(\Omega')=1$ par ce qui précède. On munit $\Omega'$ des $P$, $\mathcal F$ traces. Enfin, on pose pour tout $\omega \in \Omega'$, $Y_n(\omega):= X_{\tau(n) (\omega)}$. Avec ces conventions on a le théorème suivant:

1°) $(Y_n)_{n \in \N}$ est une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées, à valeurs dans $E$ (en fait dans $B$).
2°) Pour tout $A\in \mathcal G$, $$P(Y_0\in A)=\frac{P(X_0 \in A \cap }{P(X_0 \in } \tag {$\dagger \dagger \dagger $}$$

-2°) ci-dessus est à relier à I) $(\dagger \dagger)$ vi la loi des grands nombres appliquée à $n \mapsto Y_n$.

1°) et 2°) résultent d'un calcul (où on exploite le caractère i.i.d de $n\mapsto X_n$)
considérons $d\in \N$, $C_0,..,C_d\in \mathcal G$; $$\begin{align}P(Y_0 \in C_0,Y_1 \in C_1,...,Y_d \in C_d) & = \sum_{\vec{k} \in \N^{d+1}\mid k_0 <k_1 < ... <k_d} P(\forall i\leq d, \tau(i)= k_i \wedge X_{k_i} \in C_i \cap \\
& = \sum_{\vec{k} \in \N^{d+1}\mid k_0 <k_1 < ... <k_d} P\left ( \forall i\leq d, X_{k_i} \in C_i \cap B; \forall j \in \{0,1,2,...,k_d-1,k_d \} \backslash \{k_0,...,k_d\}, X_j \notin B \right) \\
& = \sum_{k_d =0}^{+\infty} \sum_{k_0< k_1< ... <k_{d-1}} P(X_0 \notin ^{k_d - d} \prod_{i=0}^{d} P(X_0 \in C_i \cap \\
& = \left (\sum_{m =0}^{+\infty} \binom{m}{d}P(X_0 \notin ^{m - d} \right) \prod_{i=0}^{d} P(X_0 \in C_i \cap \\
& = \frac{1}{\left ( 1 - P(X_0 \notin \right )^{d+1} }\prod_{i=0}^{d} P(X_0 \in C_i \cap \\
& = \prod_{i=0}^{d} \frac{P(X_0 \in C_i \cap }{P(X_0 \in }
\end{align}$$
D'où le résultat et la loi des $(Y_n)_{n\geq 0}$

(NB: comme $P(X_0\in >0, 0 \leq P(X_0 \notin <1$ et on exploite l'égalité $(1-x)^{-p-1}= \sum_{p=0}^{+\infty} \binom{m}{p} x^m$ valable pour tout $x\in [0,1[$ et tout $p\in \N$- pour démontrer ça, noter que les deux membres de l'égalité sont égaux en 0 et satisfont la même équation différentielle).

[small](*)Une telle limite peut très bien ne pas exister (songer au cas particulier où $E$ a deux éléments $a,b$ et $x_n=a$ si le premier chiffre en base $10$ de $n$ vaut $1$ et $b$ sinon et poser $Z:=\{b\}$). Les programmes usuels de probas introduisent de telles suites -inspirées de phénomènes naturels- dans leur discours sans jamais justifier pourquoi elles convergent, ce fait étant considéré implicitement comme un acquis. On pourrait au moins expliciter cet implicite (pour le coup une justification complète dépasse largement le niveau du lycée).[/small]

Voire en 3ème ! La formule est vue en Seconde (vous l'avez tant ressassée, on multiplie en suivant le chemin...), c'est simplement l'écriture $P_A(B)$ qui n'est vue qu'en terminale.

"Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires" ? . Et pourquoi pas "théorème de la bijection", c'est plus court à écrire, plus clair.

En effet, pourquoi pas ?
Peut-être parce qu'il aurait fallu définir le mot "bijection" et que ce n'était pas forcément nécessaire ou utile ?
Peut-être parce que c'est un cas particulier du théorème des valeurs intermédiaires (donc corollaire du théorème des valeurs intermédiaires est complétement justifié) ?
Il faudrait demander aux têtes pensantes... (que je ne suis pas X:-( )

P.S : Quant à la concision, on lit souvent dans les copies "d'après le cor. du TVI"

1) Peux-tu mettre la question de l'énoncé ? Parce que, au risque de me répéter, les questions peuvent être parfois imprécises (voir l'exemple que j'ai donné). Et c'est là le problème... Je dis à mes élèves "Qui peut le plus peut le moins." :
- S'il y a une unique solution sur $]0;+\infty[$ et $f(2)f(3)<0$, alors il y a une unique solution sur $[2;3]$.
- S'il y a une unique solution sur $[2;3]$ et $f(2)f(3)<0$, alors il n'y a pas nécessairement une unique solution sur $]0;+\infty[$.
2) Donc, quelle que soit la formulation de la question, je trouve que le choix de l'élève d'utiliser le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires sur $]0;+\infty[$ est parfaitement cohérent (à condition d'avoir les limites mais en général, c'est le cas) pour ensuite réduire l'intervalle à $[2;3]$ à l'aide des images (et je ne vois pas ce qu'il devrait ajouter puisqu'il a déjà dit que la fonction est continue...). Personnellement, j'aurais mis tous les points.