Problème de vitesse moyenne

Evgueny
Evgueny
dans Pédagogie, enseignement, orientation
Bonjour,
j'ai posé un dm de maths à mes 2ndes fraichement arrivés du collège:

Sur une zone de contrôle de 9 km, la vitesse est limitée à 90 km/h. Pour contrôler la vitesse des véhicules, il existe un nouveau type de radar : les radars tronçons.
Ce type de radar permet de mesurer la vitesse moyenne d’un automobiliste sur un tronçon de plusieurs kilomètres.
Un automobiliste a parcouru les cinq premiers kilomètres à la vitesse moyenne de 110 km/h. S’apercevant soudain qu’il est dans une zone contrôlée par un « radar tronçon », il décide d’abaisser sa vitesse à 60 km/h sur les quatre derniers kilomètres. On peut se poser au moins deux questions :
Sera-t-il verbalisé ?

Et là... ils m'ont en majorité écrit: (110*5+60*4)/9 = 87 km/h .... (le résultat à trouver est proche de 80,3km/h)
Comment leur expliquer simplement que celà ne fonctionne pas?
Un élève m'a soutenu que sa prof de collège lui avait montré comme ça sur un exercice de même style, et un autre m'a dit que son prof particulier lui avait fait de cette manière!!!!

Merci pour vos réponses.
Ev

Réponses

  • et si demain
    et si demain
    Bonjour

    Quelle est VOTRE solution qui donne un résultat de 80.3 km/h ?
  • Evgueny
    Evgueny
    Bonjour,
    En calculant (à moins que mon cerveau déconnecte!!), je trouve:
    sur les 5 premiers km, il met 1/22 h , puis 1/15 h sur les quatre derniers. Soit 37/330 h au total.
    Puis Vmoyenne = 9km / (37/330h) environ égal à 80,3km/h .
    Vous ne trouvez pas ce résultat vous non plus?
    Merci
  • et si demain
    et si demain
    et plus exactement :

    80,27027027 Km/h..................si le radar est assez précis........


    pour répondre à votre question :

    Quand on fait le calcul "110*5" on obtient un résultat qui correspond à quoi ?

    Réponse : ...............après un long moment :................à rien

    D'où la solution est fausse
  • Chalk
    Chalk
    C'est franchement honteux qu'un prof particulier encaisse pour se planter à ce point ...

    Tes élèves ont fait un calcul, pas une démonstration. S'ils avaient trouvé $-3533689$, ils auraient compris que leur calcul ne correspond à rien. Manque de bol le résultat a un ordre de grandeur plausible, ça ne le rend pas juste pour autant. On peut faire plein d'opérations qui donneraient aussi un tel ordre de grandeur tout en ne correspondant à rien.

    En gros tes élèves n'ont pas raisonné, ils ont bidouillé avec les chiffres. Explique leur le raisonnement et bien sûr assure-toi que le concept de vitesse moyenne est bien compris (cette définition est la clef).
  • Evgueny
    Evgueny
    Vous me rassurez sur mon résultat... après avoir corrigé 25 copies à 87km/h!!!(:P)
    Blague à part, je suis certain que certains vont me chercher des noises... Je vais partir de votre argument, car effectivement 110*5 ne correspond à rien, on peut même utiliser les unités pour les en persuader. Ils font ça en sc. physique non??
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Puisque leur relation ne prend en compte la distance sur laquelle la vitesse s'applique, leur expliquer simplement pourrait consister à prendre un cas extrême de distance.

    La voiture parcourt une distance de 1 000 km à 100 km/h et une distance de 100 m à 50 km/h, quelle est sa vitesse moyenne ? Ceux qui répondrent (100+50)/2 ont besoin de tout notre amour.
  • zeitnot
    zeitnot
    C'est une erreur extrêmement classique. La moyenne arithmétique des vitesses ne fonctionne pas. Ils l'ont certainement vu au collège, mais ont oublié.

    Tu peux leur faire déjà le classique :
    100 km/h à l'aller et 50 km/h au retour pour leur faire comprendre que le naïf 75km/h ça ne fonctionne pas du tout :)

    Ensuite, tu les fais raisonner !!! Combien temps mis pour les 5 premiers km.... etc. Ne lâche rien, et ne te laisse pas impressionner par le pseudo prof particulier, et le fameux : "l'année dernière on faisait pas comme ça" ou "on a jamais fait ça".

    Bon courage, mais il n'y a rien d'insurmontable.
    Karl Tremblay 1976-2023, je t'appréciais tellement.
  • zeitnot
    zeitnot
    J'ai posté en même temps Yves. On a la même idée.
    Karl Tremblay 1976-2023, je t'appréciais tellement.
  • Evgueny
    Evgueny
    Et oui, des parents ont payé pour que leurs gamins m'écrivent ces c......... sur leurs copies de DM!!(td)
  • Chalk
    Chalk
    À mon époque oui, aujourd'hui je ne suis plus sûr de rien :-D

    Attention, vérifier les unités est un très bon réflexe. Mais ça ne constitue pas une preuve à proprement parler.

    Edit : 5 messages en une minute, je répondais sur l'utilisation des unités.
  • Evgueny
    Evgueny
    Merci beaucoup, je vais passer une heure sympa lundi lol(:P)!!
    Je vais bien insister en tout cas, car j'imaginais pas avoir autant d'erreurs sur cette question...
  • Dom
    Dom
    Après cela tu poses l'exercice sur une augmentation de 35% puis une diminution de 25%.
    ;-)
  • Chalk
    Chalk
    La vitesse moyenne c'est la vitesse à laquelle si on parcourait le même trajet on mettrait le même temps, par définition.

    Prends cette définition et montre leur que leur vitesse moyenne ne met pas le même temps, la tienne si, démontre pourquoi. Utilise les exemples extrêmes proposés par les autres intervenants, pour faire capter l'intuition. Montre que les unités ne collent pas, ne calcul le correspondant à rien.

    Et dis à ton élève de changer de prof particulier :-P (ou même d'arrêter les profs particuliers, j'ai un doute sur leur utilité mais c'est un autre débat)
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    La voiture parcourt une distance de 1 000 km à 100 km/h et une distance de 100 m à 50 km/h, quelle est sa vitesse moyenne ? Ceux qui répondrent (100+50)/2 ont besoin de tout notre amour.

    Ben non, suivant la méthode qui donne la réponse 87km/h, on répond
    $$\frac{1000\times 100+0,1\times 50}{1000,1}\;,$$
    ce qui est très très peu différent de la bonne réponse.

    Il vaut mieux faire 100 km à 100 km/h et 100 km à 100m/h pour s'apercevoir que la vitesse moyenne sur un trajet de 200 km en 1001 heures n'est pas 50,05 km/h.
  • Evgueny
    Evgueny
    C'est vrai que ton exemple GaBuZoMeu est très parlant. Si là ils ne voient pas que leur méthode ne fonctionne pas:-?!!!
  • pldx1
    pldx1
    Ce sont les lenteurs que l'on compose par barycentre (avec les distances comme coefficients).
    $$ \frac { 5 \times \frac 1 {110} +4 \times \frac 1 {60} }{5+4} =\frac{37}{2970}> \frac{37}{3330} =\frac 1 {90} $$
    $\phantom{x}$

    Edit: énoncé trop elliptique. Bien entendu, lorsque l'on prend les durées comme coefficients, ce sont les vitesses que l'on compose par barycentre
  • bisam
    bisam
    Pour une fois que la moyenne harmonique (pondérée) peut servir à quelque chose...
  • zeitnot
    zeitnot
    Oui, on peut tout à fait l'évoquer. Comme la moyenne géométrique pour les pourcentages. Il m'arrive d'en parler en A.P. C'est bien que les élèves comprennent qu'il n'y a pas que la moyenne arithmétique dans la vie. Ils sont très surpris au départ.
    Karl Tremblay 1976-2023, je t'appréciais tellement.
  • Mathurin
    Mathurin
    Bonjour.
    Je remet une couche :

    Il est tentant que considérer que la vitesse moyenne c'est la moyenne des vitesses.
    Bien sur pas (V1+V2)/2 qui est trop visiblement faux.
    Mais une moyenne pondérée.
    Le problème est que vu les dimensions du problème deux pondérations sont possibles, celle par les distances et celle par les durées.
    Soit (V1L1+V2L2)/(L1+L2)
    et (V1T1+V2T2)/(T1+T2)
    Comment choisir ?
    Tes élèves ont utilisé "l'implicite du contrat didactique" et ont pris les valeurs données dans l'énoncé.
    Manque de chance c'était la mauvaise réponse !
    Comment faire alors ?
    Deux mots : vérifier et réfléchir.
    Vérifier c'est regarder ce que l'on additionne : dans le premier cas il s'agit de km2/h, ce qui n'a aucun sens physique.
    Dans le second cas il s'agit de km ce qui fait plus de sens.
    Mais cela ne suffit pas. c'est bien d'avoir de l'intuition, mais il faut une preuve directe.
    Pour cela partir de ce que l'on sait de certain.
    A savoir : Vm= (L1+L2)/(T1+T2)
    Cela redonne la moyenne des vitesses pondérée par les temps, c'est donc la bonne solution.

    Le reste c'est de l'algèbre, qui tient compte des données de l'énoncé.
    Mais je crois qu'il est bon de dire au élèves que l'intuition est bonne en soi, mais qu'elle ne suffit pas.
    Et que dans un problème concret, il faut utiliser le sens physique.
    Cordialement.
  • zeitnot
    zeitnot
    l'implicite du contrat didactique

    Ça cause riche....
    Karl Tremblay 1976-2023, je t'appréciais tellement.
  • Mathurin
    Mathurin
    Oui, Zeitnot, je me moque un peu ...
    Ce n'est d'ailleurs pas forcément un emploi approprié du terme.
    Ce que je veux dire c'est qu'ils utilisent les données de l'énoncé de la façon la plus triviale possible, supposant que le problème est "prémâché".

    cdt
  • Chalk
    Chalk
    C'est exactement ce que je disais en écrivant "bidouillé avec les chiffres" :-P
  • Dom
    Dom
    NB : km^2/h représente, par exemple, la vitesse de recouvrement en peinture d'une surface ;-)
  • remark
    remark
    .
  • SchumiSutil
    SchumiSutil
    Bonjour,
    En calculant (à moins que mon cerveau déconnecte!!), je trouve : sur les 5 premiers km, il met 1/22 h , puis 1/15 h sur les quatre derniers. Soit 37/330 h au total. Puis Vmoyenne = 9km / (37/330h) environ égal à 80,3km/h . Vous ne trouvez pas ce résultat vous non plus?
    Merci

    Prochaine étape : leur faire calculer à la main en utilisant le fait que $37 \times 27 = 999$, puis en utilisant le développement périodique d'un nombre rationnel. :-D
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