QDM'13: Pour terminer 2010

Norbert Verdier · December 2010

Et pour teminer l'année comme nous avions commencé avec la QDM, quelques exercices proposant la présence de $2010$ dans l'énoncé.

1) $2010$ points sont disposés à l'intérieur d'un cube de côté égal à $9$.
Montrer qu'il existe deux points dont la distance est inférieure à $1$.

2) Combien de nombres inférieurs à $2010$ ne sont pas divisibles par $2, 3$ ou $5$ ?

3) Quelle est la probabilité qu'une permutation des $2010$ premiers nombres entiers positifs ait les nombres $1$ et $2$ figurant dans un même cycle ?

Bernard p/o Le Comité Du Mercredi.

Richard André-Jeannin · December 2010

Pour la 2) je propose 536 nombres.

Cidrolin · December 2010

Oui 536 pour la 2). Il y a une liste ---->http://oeis.org/A007775/b007775.txt

Richard André-Jeannin · December 2010

En notant A les multiples de 2, B les multiples de 3 et C les multiples de 5, on calcule Card(A ou B ou C) par la formule de Poincaré. On obtient 1475 et le résultat cherché.

JLT · December 2010

1) Supposons le contraire. Les boules centrees en ces points de rayon 1/2 couvrent un volume total de $2010*4/3*\pi*(1/2)^3\simeq 1052 > 10^3$. Or, ces boules sont contenues dans un cube de cote 10. Impossible.

JLT · December 2010

3) Soit n=2010. Il y a n! permutations au total. Pour determiner une permutation telle que 2 n'est pas dans le cycle contenant 1, on choisit d'abord le cycle $(1,a_1,\ldots,a_k)$ contenant 1 et une permutation des $n-k-1$ autres elements, ce qui fait
$$\sum_{k=0}^{n-2} (n-2)\cdots (n-k-1) (n-k-1)!=(n-2)!\sum_{k=0}^{n-2}(n-k-1)=n!/2$$
possibilites, donc la probabilite est 1/2.

bs · December 2010

Bonsoir,

Les références (d'accord ce n'est pas avec 2010) :
--> exercice 1: Revista Matematica din Timisoara - T.Andreescu.
--> exercices 2 et 3: Problems in Combinatorics - I.Tomescu - Wiley (1985)

(tu) Bon, maintenant, vous n'êtes pas très rigolos. Le stock va fondre à vue d'oeil à ce rythme là (tu)

4) Soit $f$ une fonction définie sur $\R$ et vérifiant:
--> $f(1)=1$ et,
pour tout $x \in \R$:
--> $f(x+6) \geq f(x)+6$ et
--> $f(x+1) \leq f(x)+1$
Si $h(x)= f(x)+1-x$, alors $h(2010) = ??$

5) Pour JLT

et les autres...
Soit $S= \{1, 2, 3,..., 2010\}$. S'il existe au moins un nombre premier dans tout sous-ensemble de $S$ constitué de $n$ nombres premiers entre eux [deux à deux], trouver alors la valeur minimum de $n$.

Amicalement.

[Edit: ajouté "deux à deux" suite remarque pertinente du Juge Ti ci-dessous, merci].

Juge Ti · December 2010

Pour la 5), si "premiers entre eux" signifie premiers entre eux dans leur ensemble, je dirais 1707. Si ça signifie premiers entre eux deux à deux je dirais 15.

Juge Ti · December 2010

Ou plutôt 16.

bs · December 2010

Bonjour les champions,

Pardon, il s'agit de "premiers entre eux deux à deux", le texte en anglais dit effectivement "pairwise coprime numbers", et la réponse est 16 (tu)

Amicalement.

bs · December 2010

Bonjour,

Référence de l'exercice 5 ce cette dernière QDM' de l'année 2010:
China Western Mathematical Olympiad -2005 - Exercice 3 de la première journée.

Amicalement.

Juge Ti · December 2010

Bon ben puisque personne ne répond à la 4) je le fais :

Je montre qu'en fait on a $f(x+1)=f(x)+1$ pour tout $x\in\mathbb{R}$. En effet, s'il existait un $x$ tel que $f(x)<f(x)+1$, alors on aurait $f(x+6)\leq f(x+5)+1\leq f(x+4)+2\leq f(x+3)+3\leq f(x+2)+4\leq f(x+1)+5<f(x)+6$, ce qui contredit nos hypothèses.

Par conséquent $h(2010)=f(2010)-2010+1=f(0)+1=f(1)=1$.

JLT · December 2010

Autre solution (analogue) pour le 4) : $h(x+6)\ge h(x)$ et $h(x+1)\le h(x)$, donc $h(x+6k-l)\ge h(x)$ pour tous $k,l\in\N$. En particulier, $h(2010)=h(1+6\times 335 -1)\ge h(1)=1$. On montre de même $h(2010)\le 1$. Cela dit, l'énoncé de l'exercice est un peu bizarre, d'abord car on y considère $x\in\R$ alors que seuls les $x\in\N$ interviennent. D'autre part, on se demande pourquoi la question n'est pas de déterminer $f(2010)$.

P.S. L'exercice 5) sera périmé en 2419 2209.

Juge Ti · December 2010

Salut JLT,

Pourquoi 2419 ? Plutôt 2209, non ?

bs · December 2010

Bonjour,

(tu) merci pour l'exercice 4 proposé à Jilin (Chine) en 2002 par "Popularization Committee of CMS and Jilin Mathematical Society", la traduction anglais-français de cet énoncé est correcte malgré les "bizzaritudes" rencontrées ici.

Concernant l'exercice 5, en 2209, l'énoncé ne sera pas vraiment périmé, seule la réponse sera différente.

Le Comité du Mercredi vous remercie pour votre participation fidèle et pour l'ensemble de vos réponses proposées tout au long de l'année 2010, après de joyeuses fêtes de fin d'année, nous nous retrouverons en 2011 pour de nouvelles aventures.

Amitiés.