Au-delà de Fermat
Bonjour
• Dans l'équation ci-dessous,
\begin{equation}
y^2+axy+by=x^3+cx^2+dx+e
\end{equation} la méthode de Taylor-Wiles peut-elle être généralisée aux cas de figure suivant :
• les coefficients $a, b, c,...$ de l'équation de la courbe elliptique sont des irrationnels simples ou des nombres complexes et plus seulement des rationnels.
• le degré en $x$ est supérieur ou égal à $4$.
• l'équation contient plus de deux variables.
Ce sont des questions simples que la démonstration-fleuve de Wiles avait presque fait oublier.
Les chercheurs obtiennent des résultats dans le cas où le degré est 4 ou 5 et pratiquement plus rien à partir de $6$.
L'article en lien (paru initialement dans Quanta Magazine) présente quelques $\textbf{pdf}$ de travaux de recherche et des explications pour les amateurs.
https://www.pourlascience.fr/sd/mathematiques/strongprogramme-de-langlands-le-pont-mathematique-du-dernier-theoreme-de-fermat-sagranditstrong-19596.php
Je trouve vertigineux, compte tenu de sa complexité, de se dire que la méthode de Taylor-Wiles n'est certainement qu'une étape vers un édifice théorique bien plus vaste.
• Le deuxième article, datant de Mai dernier, est consacré à la résolution de la conjecture de Schinzel-Zassenhaus par un professeur de l'université de Toronto.
https://www.quantamagazine.org/new-math-measures-the-repulsive-force-within-polynomials-20200514/
...
• Dans l'équation ci-dessous,
\begin{equation}
y^2+axy+by=x^3+cx^2+dx+e
\end{equation} la méthode de Taylor-Wiles peut-elle être généralisée aux cas de figure suivant :
• les coefficients $a, b, c,...$ de l'équation de la courbe elliptique sont des irrationnels simples ou des nombres complexes et plus seulement des rationnels.
• le degré en $x$ est supérieur ou égal à $4$.
• l'équation contient plus de deux variables.
Ce sont des questions simples que la démonstration-fleuve de Wiles avait presque fait oublier.
Les chercheurs obtiennent des résultats dans le cas où le degré est 4 ou 5 et pratiquement plus rien à partir de $6$.
L'article en lien (paru initialement dans Quanta Magazine) présente quelques $\textbf{pdf}$ de travaux de recherche et des explications pour les amateurs.
https://www.pourlascience.fr/sd/mathematiques/strongprogramme-de-langlands-le-pont-mathematique-du-dernier-theoreme-de-fermat-sagranditstrong-19596.php
Je trouve vertigineux, compte tenu de sa complexité, de se dire que la méthode de Taylor-Wiles n'est certainement qu'une étape vers un édifice théorique bien plus vaste.
• Le deuxième article, datant de Mai dernier, est consacré à la résolution de la conjecture de Schinzel-Zassenhaus par un professeur de l'université de Toronto.
https://www.quantamagazine.org/new-math-measures-the-repulsive-force-within-polynomials-20200514/
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Réponses
dans cette équation d'une courbe (qui n'est pas une conique) on peut expliciter $y$ en fonction de $x$, et mettre ainsi en évidence un axe de conjugaison en effet :
$(y + \frac{ax+b}{2})^2 = x^3 +(\frac{a^2}{4}+c)x^2 + (d + \frac{ab}{2})x + \frac{b^2}{4} + c,\ $ soit encore :
$$
y = \frac{-ax - b}{2} \pm \sqrt{x^3 + (\frac{a^2}{4} + c)x^2 + (d + \frac{ab}{2})x + \frac{b^2}{4}+ e}.
$$ L'axe de conjugaison de la courbe est $y = \frac{-ax - b}{2}$ (ce n'est pas un axe de symétrie) et les deux branches de la courbe pour $x$ tendant vers $+\infty$ s'éloignent progressivement de cet axe, l'une des branches vers $+\infty$ étant convexe et l'autre vers $-\infty$ étant concave.
Cordialement.