Extremum local : pourquoi ?

Gon · October 2019

Bonjour, je me demande bien pourquoi les mathématiciens se sont intéressés à une plus grand valeur ou plus petite valeur d'une fonction dans un voisinage d'un point $x_{0}$ d'une fonction.
Sur Wikipédia, on me met juste la définition de cette notion et non la motivation de celle-ci.
J'aimerais une explication dans le cas possible.
Merci pour votre aide.

Foys · October 2019

Parce que les extremums locaux existent.
La fonction réelle $x\mapsto \frac{x^3}{3} -x$, de dérivée $x\mapsto x^2-1 = (x-1)(x+1)$, possède un minimum local en $1$ (cf étude de variation) mais non un minimum global (puisque cette fonction est surjective).
De façon générale, en calcul différentiel, la plupart des notions importantes sont locales (le global relève plutôt d'autres disciplines comme la topologie algébrique, la (co)homologie etc).

gerard0 · October 2019

Bonjour Attien.

Les extrémums locaux d'une fonction dérivable ont une caractéristique qui permet facilement de les trouver.
Ils ont aussi un gros inconvénient, quand ce n'est pas un extrémum global : Les recherches de maximum global s'y arrêtent très souvent, ce qui fait qu'on a un blocage. C'est ce qui se passe dans la méthode du gradient.
Et j'espère que tu sais pourquoi on cherche les extrémums : Le maximum de satisfaction pour le minimum de difficulté.

Cordialement.

NB : Les coqs se perchent toujours sur un maximum local de l'altitude.

Gon · October 2019

Merci pour vos réponses.

Extremum local : pourquoi ?

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