Troisième théorème de Mertens

Réponses

• Poirot

  August 2019

  Cela semble être annoncé dès la page 1 sous la forme $$\prod \frac{1}{1 - \frac{1}{q}} = C' l G,$$ peut-être comme annoncé par Legendre dans sa Théorie des nombres, et où mes bribes d'allemand me permettent de comprendre que le produit porte sur les premiers $q$ inférieurs à $G$, $l x$ désigne le logarithme népérien de $x$, l'égalité ayant l'air d'être un équivalent au sens moderne. La conclusion de la démonstration de la formule qui t'intéresse se trouve page 9 (ou page 53 du document), on lit
  

  Mertens a écrit:

  $$
  (15.) \prod_2^G \frac{1}{1 - \frac{1}{q}} = e^{\mathfrak C + \delta'} l G
  $$ $$
  \delta' < \frac{4}{l(G+1)} + \frac{2}{G l G} + \frac{1}{2 G}.$$

  
  Je n'ai pas l'impression que la constante $\mathfrak C$ soit déterminée exactement, on trouve juste une valeur numérique de $H$ et de $\mathfrak C - H$, qui est la constante apparaissant page 8 dans
  

  Mertens a écrit:

  $$
  (13.) \sum_2^G \frac{1}{q} = llG + \mathfrak C - H + \delta
  $$ $$
  
  \delta < \frac{4}{l(G+1)} + \frac{2}{G l G}$$

  
  Il se trouve que la constante $\mathfrak C - H$ est la constante de Meissel-Mertens, pour laquelle il ne semble pas exister de formule simple.
• Aline Delves

  August 2019

  Bonjour,
  Merci énormément Poirot pour ce travail linguistique.
  Mais le produit du Théorème de Mertens dans wikipedia est sur les $1-\frac{1}{p}$ alors que celui de l'article semble être le produit de leurs inverses. L'un se déduit-il de l'autre ? (désolée de n'avoir pas les compétences pour me dépatouiller seule de cela).
  Enfin, petite question, pourquoi le Rosser et Schoenfeld joint ne fait-il pas référence au théorème de Mertens, dans le cas où il s'agirait du même produit (corollaire 3.27 du théorème 7 p.70) ?
  Je vais me déconnecter quelques temps, désolée pour le temps de réponse.
  Cordialement,
  Aline

  Rosser-Schoenfeld.pdf 2.4M
• Poirot

  August 2019

  L'inverse d'un produit étant le produit des inverses, on retrouve le théorème de Mertens comme énoncé sur Wikipedia ;-)
  
  Pour Rosser et Schoenfeld, il s'agit effectivement du même produit, mais le résultat donné est légèrement plus précis que le théorème de Mertens, le reste est en $\frac{1}{\log^2x}$ au lieu de $\frac{1}{\log x}$, et la constante est explicite !
• Aline Delves

  August 2019

  Merci, c'est très sympathique d'avoir répondu si vite. J'aurais dû réfléchir seule ; en tous cas, je "comprends" mieux le produit des $1-\displaystyle\frac{1}{p}$ (éliminer une classe de congruence sur $p$ dans chaque corps premier) que son inverse.
  Bonne journée.
  Aline
• noix de totos

  August 2019

  Concernant l'article-phare de Rosser & Schoenfeld, c'est le premier article à fournir des estimations explicites obtenues grâce à la découverte de suffisamment de zéros non triviaux de la fonction $\zeta$ de Riemann sur la droite critique.
  
  Ils ont ainsi trouvé des encadrements de très bonnes qualités de toutes les fonctions de nombres premiers usuelles.
  
  Quelques progrès ont été accomplis depuis les années 60, notamment par Pierre Dusart, essentiellement grâce à l'amélioration des performances des ordinateurs qui ont permis de pousser encore plus loin la découverte de plus en plus de zéros de $\zeta$ sur la droite $\sigma = \frac{1}{2}$.
  
  Ces résultats ont été également généralisés aux fonctions de nombres premiers en progressions arithmétiques, notamment par McCurley, Ramaré et Dusart.
  
  La recherche d'estimations explicites en théorie multiplicative des nombres est aujourd'hui très active, avec de nouveaux talents comme Trudgian ou Platt, et j'invite tout lecteur curieux à consulter l'excellent site de Ramaré suivant : http://iml.univ-mrs.fr/~ramare/TME-EMT/accueil.html