Évaristette, décembre 2018
Chères amies, chers amis de Galois
Vous connaissez toutes et tous les déboires d’Évariste pour son entrée à l’École polytechnique alors vengez-le en résolvant des questions du concours d'entrée des années trente.
Question a (Posée par Poinsot).
"Prouver que racine de 2 et l2 (écriture de l'époque pour signifier logarithme népérien de 2) sont incommensurables" (Source: Le Géomètre, 1836, pp. 221-223).
À vos plumes vengeresses.
Ce 23 décembre 2018, un ami d’Évariste (non polytechnicien).
Vous connaissez toutes et tous les déboires d’Évariste pour son entrée à l’École polytechnique alors vengez-le en résolvant des questions du concours d'entrée des années trente.
Question a (Posée par Poinsot).
"Prouver que racine de 2 et l2 (écriture de l'époque pour signifier logarithme népérien de 2) sont incommensurables" (Source: Le Géomètre, 1836, pp. 221-223).
À vos plumes vengeresses.
Ce 23 décembre 2018, un ami d’Évariste (non polytechnicien).
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Réponses
On suppose qu'il existe $p,q\in\mathbb{Z}$ tels que $p\sqrt{2}=q\ln2$, d'où $e^{p\sqrt{2}}=2^q$. Puisque $p\sqrt{2}$ est algébrique, $e^{p\sqrt{2}}$ est transcendant (d'après le théorème de Hermite--Lindemann ) et donc $2^q$ est aussi transcendant, absurde.
Sans l'artillerie lourde, je partirais comme ça : on suppose par l'absurde que $2^p = \mathrm{e}^{2q}$ pour des entiers $p$ et $q$ non nuls. On a $$\mathrm{e}^{2q} = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(2q)^n}{n!}.$$ Pour $N \in \mathbb N$, notons $$S_N := \sum_{n=0}^{N} \frac{(2q)^n}{n!}.$$ D'après la formule de Taylor avec reste intégral, on a pour tout $N \geq 0$, $$\mathrm{e}^{2q} = S_N + \frac{(2q)^{N+1}}{N!} \int_0^1 (1-t)^N \mathrm{e}^{2qt} \,dt$$ d'où classiquement $$0 \leq 2^p - S_N \leq \frac{(2q)^{N+1}}{(N+1)!} 2^p.$$ On a donc les inégalités $$1 + \sum_{n=1}^{N} \frac{(2q)^n}{n!} \leq 2^p \leq 1 + \sum_{n=1}^{N} \frac{(2q)^n}{n!} + \frac{(2q)^{N+1}}{(N+1)!} 2^p.$$ Peut-être qu'en raisonnant sur la valuation $2$-adique et en jouant sur la valeur de $N$ et de $q$ on peut tomber sur une contradiction.
https://journals.openedition.org/histoire-education/827
À très vite. N.V.
On la trouve dans Hardy & Wright, ou bien dans : Ivan Niven, Irrational Numbers, The Carus Mathematical Monographs, No 11, The MAA, 1956.
Bonne soirée.
Fr. Ch.
[Corrigé selon tes indications. AD]
Que dire de $r=\ln(2)$ ?
Alain :-S
Bonne soirée.
Fr. Ch.
Oups... lire :
« Si $r$ est un rationnel non nul alors $e^r$ est irrationnel ».
[Bien sûr, j'ai corrigé, mais tu aurais pu le corriger toi-même. :-) AD]