Le théorème de Lévy-Desplanques
Soit $n\in \mathbb{N}$, $n\geq 2$, une matrice $A=(a_{ij})_{1\leq i\leq n,1\leq j\leq n}\in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{C})$.est dite à stricte dominance diagonale par lignes si pour tout $i\in \{1,2,...,n\}$ on a : $\left\vert a_{ii}\right\vert >\underset{1\leq j\leq n,j\neq i}{\sum }\left\vert a_{ij}\right\vert $. Une telle matrice est nécessairement inversible.
Tout le monde connaît ce théorème, qui est certainement vu en exercice dans toutes les prépas de première année. On m'avait dit que ce théorème était attribué à Jacques Hadamard, mais je l'ai vu sous le nom de « théorème de Lévy-Desplanques », par exemple ici : https://planetmath.org/levydesplanquestheorem.
J'ai cherché un peu et j'ai constaté que ce théorème très simple a été énoncé et démontré plusieurs fois : Lévy (1881), Desplanques (1887), Minkowski (1900), Hadamard (1903), et autres.
Pour Lévy, j'ai d'abord pensé qu'il s'agissait de Paul Lévy, mais celui-ci est né en 1886. C'est en fait Lucien Lévy, dans une note à l'Académie des Sciences, une note de physique mathématique « Sur la possibilité de l'équilibre électrique ». Si je ne me trompe, Lucien Lévy était le père de Paul Lévy. Cette note commence par une référence à Maurice Lévy, et je me suis demandé si ce dernier avait un lien de parenté avec Lucien, mais je n'ai pas trouvé la réponse.
Pour Desplanques, il s'agit de : J. Desplanques, Théorème d'Algèbre, Journal de Mathématiques Spéciales, 9, 1887 (article que je n'ai pas trouvé sur Internet). Il m'a été impossible d'en savoir plus sur ce mathématicien, pas même son prénom au complet.
Auriez-vous des réponses à ces questions ?
Bonne journée.
Fr. Ch.
Tout le monde connaît ce théorème, qui est certainement vu en exercice dans toutes les prépas de première année. On m'avait dit que ce théorème était attribué à Jacques Hadamard, mais je l'ai vu sous le nom de « théorème de Lévy-Desplanques », par exemple ici : https://planetmath.org/levydesplanquestheorem.
J'ai cherché un peu et j'ai constaté que ce théorème très simple a été énoncé et démontré plusieurs fois : Lévy (1881), Desplanques (1887), Minkowski (1900), Hadamard (1903), et autres.
Pour Lévy, j'ai d'abord pensé qu'il s'agissait de Paul Lévy, mais celui-ci est né en 1886. C'est en fait Lucien Lévy, dans une note à l'Académie des Sciences, une note de physique mathématique « Sur la possibilité de l'équilibre électrique ». Si je ne me trompe, Lucien Lévy était le père de Paul Lévy. Cette note commence par une référence à Maurice Lévy, et je me suis demandé si ce dernier avait un lien de parenté avec Lucien, mais je n'ai pas trouvé la réponse.
Pour Desplanques, il s'agit de : J. Desplanques, Théorème d'Algèbre, Journal de Mathématiques Spéciales, 9, 1887 (article que je n'ai pas trouvé sur Internet). Il m'a été impossible d'en savoir plus sur ce mathématicien, pas même son prénom au complet.
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Bonne journée.
Fr. Ch.
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Réponses
Bonne journée.
Fr. Ch.
[C'est fait. :-) AD]
edit : voilà, je ne sais pas comment ça va apparaître. Premier tome de la 3e série.
edit2 : en fait le M. est plutôt pour "Monsieur" je pense
Moi j'ai juste trouvé sa référence en bibliographie avec l'initiale J.
Il se pourrait que le M. de l'article soit le M. de Monsieur et que le J. apparaisse dans le sommaire de l'année de la revue.
Bonne journée.
Fr. Ch.
mais j'ai dû me faire passer pour un américain...
Par contre, le "tome 1 de la 3e série" n'est pas le même ici, bizarrement.
edit : je suis bête, les spéciales viennent après. Tu l'as donc ici
[À ton service. :-) AD]
1. On a
$$\left| a_{nn} \right | \prod_{i=1}^{n-1} \left( \left|a_{ii}\right| - \sum_{j > i} \left| a_{ij} \right| \right) \leqslant \left| \det A \right| \leqslant \left| a_{nn} \right | \prod_{i=1}^{n-1} \left( \left|a_{ii}\right| + \sum_{j > i} \left| a_{ij} \right| \right)$$
qui est une version effective du résultat indiqué par Chaurien.
Réf. P. Tauvel, Mathématiques pour l'Agrégation Tome 2, Masson, 1994.
2. Si $a_{ii} > 0$, alors $\textrm{Re} \left( \lambda_i \right) > 0$, un résultat dû à Taussky.
On peut conjecturer que notre Jules Desplanques, à vingt ans, élève à l'école préparatoire de Sainte-Barbe, a le premier énoncé et démontré ce joli petit théorème qui généralisait le résultat partiel démontré précédemment par Lucien Lévy, et que c'est la seule découverte de sa vie, ce qui n'est pas rien.
La dénomination « théorème de Lévy-Desplanques », en usage chez les Anglo-Saxons, me semble alors tout à fait opportune, car Jacques Hadamard a suffisamment d'inventions mathématiques à son actif par ailleurs et ce théorème n'ajoute rien à sa gloire.
Qu'en pensez-vous ?
Bonne journée.
Fr. Ch.
Cette note comporte de très précieuses réflexions sur le concours d'entrée à Polytechnique, citant un article que Lucien Lévy a consacré à ce sujet en 1906 : je présume qu'on le lirait avec intérêt, mais pour l'instant je ne vois pas comment me le procurer. Bien qu'anciennes, ces réflexions pourraient être mises à profit par ceux qui dans un autre fil s'évertuent à calomnier ce concours.
Maurice Lévy (1838-1910) semble plus célèbre puisqu'il a droit à une notice Wikipedia, mais je me demande toujours s'il a un lien de parenté avec Lucien. En fait ceci n'a pas une grande importance, mais c'est juste par curiosité.
Bonne soirée.
Fr. Ch.