Les nombres complexes à leurs débuts

Pas compréhensible par des élèves de terminale mais le développement de l'analyse complexe a permis de faire des bonds de géants en théorie des nombres, théorie des opérateurs et analyse fonctionnelle, géométrie différentielle (devrait-on dire analytique ici ?) et même géométrie algébrique !

Pour tes terminales, tu peux peut-être leur parler un peu de théorie des nombres avec le théorème des deux carrés. On montre très facilement grâce aux nombres complexes que le produit de deux bicarrés est un bicarré, ce qui n'est nullement évident au premier abord ! C'est le premier ingrédient pour démontrer ce joli théorème : il suffit de regarder quels nombres premiers sont effectivement des bicarrés. Et comme l'a dit Seirios, il y a de très nombreuses applications en géométrie du plan, tu devrais sûrement trouver un problème qui se résout facilement avec les complexes.

Dès le premier rabord, on a: $$(a^2+b^2)\times (c^2+d^2)=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2$$

Quant à une application compréhensible par un élève de Terminale: tout ce qui concerne les courants alternatifs (rappel: ce sont ceux qui se transforment avec peu de pertes).

Cordialement, Pierre.

Bonjour,

à leurs débuts tout le monde se méfiait des nombres complexes. Ce n'est pas pour rien qu'on les qualifia d' "imaginaires".
Au début du dix-neuvième siècle, les mathématiciens se sentent plus à l'aise. En 1800, (avec Argand et Gauss) on en donne une interprétation géométrique.
On les additionne, on les soustrait comme les vecteurs. En 1835, un Irlandais, W. R. Hamilton, les assimile à des paires ordonnées de nombres réels.
En marge de ces découvertes, les discussions philosophiques autour du nombre $i$ contribuent au développement "axiomatique" de l'algèbre.

Alors qu'ils commençaient tout juste à être "acceptés" en algèbre, les complexes firent leur apparition dans le domaine des fonctions transcendantes.
Là encore, les contemporains d'Euler regardèrent avec perplexité des "trucs" comme les logarithmes de nombres complexes.
Euler commença à manipuler des puissances imaginaires.

Il considéra l'identité $\displaystyle b^z = e^{z\ln b}$. Il l'appliqua à $i^i$ et obtint:

\begin{equation}
i^i = e^{i\ln i} = e^{i.i(\pi /2 + 2k\pi)} = e^{-(\pi /2 + 2k \pi)}, \quad k= 0 \pm 1, \pm 2, ...
\end{equation}

Une infinité de valeurs: toutes réelles... ! Par exemple, $e^{+7 \pi /2} \approx 59609,742$.

Selon l'expression consacrée, Euler rendit réel l'imaginaire.
Il enchaîna avec l'étude des fonctions trigonométriques pour n'importe quel nombre complexe et ça ne s'arrêterait plus !
...

bonjour

les applications des nombres complexes à la géométrie plane sont intéressantes
mais parfois abusives (un simple raisonnement de géométrie élémentaire suffit souvent)
en classe de terminale on montre avantageusement l'intérêt des complexes
pour la résolution générale de l'équation du second degré

mais c'est bien dans le domaine des fonctions que la présence des complexes a été la plus fructueuse
avec les célèbres relations (découvertes par Euler) entre les fonctions circulaires et l'exponentielle
leur utilisation permet de résoudre facilement des équations différentielles simples ainsi que des équations récurrentes

l'intervention des physiciens (début 19ème siècle) en faveur de ces nombres "imaginaires"
(que Gauss a eu tord de qualifier de complexes)
a été décisive pour l'intégration définitive de cet ensemble numérique dans les mathématiques
après une période de 3 siècles pendant laquelle les matheux les qualifièrent de suspects

cordialement