Al Kashi et produit scalaire
Bonjour tout le monde, un petit topic de discussion historique sur le produit scalaire.
En regardant un peu les différentes démonstrations de notions de 1ère S, je suis retombé sur les relations d'Al Kashi (loi du cosinus), et bien souvent une démonstration rapide se fait avec le produit scalaire.
J'ai regardé également l'histoire du produit scalaire. Date d'une première trace écrite : environ 1850 (cf Wiki)
Al Kashi : 15ème siècle environ.
C'est un peu saugrenu de démontrer Al Kashi avec un outil qui date de 4 siècles plus tard non ?
Mais surtout, si on prend Al Kashi, rapidement b² = a² + c² - 2a.c.cosB. C'est déjà du produit scalaire finalement...
a.c cosB = 1/2(a² + c² - b²) , on remplace tout ça par des vecteurs et on a du produit scalaire. On travaille ça avec des coordonnées de points et on retombe aussi sur l'autre formule du produit scalaire xx' + yy'
En fait, c'est plutôt le produit scalaire qu'il faudrait démontrer avec Al Kashi et non l'inverse... ça me semble douteux comme raisonnement.
Des avis à ce sujet ? D'autres exemples de démonstrations "anachroniques" ?
En regardant un peu les différentes démonstrations de notions de 1ère S, je suis retombé sur les relations d'Al Kashi (loi du cosinus), et bien souvent une démonstration rapide se fait avec le produit scalaire.
J'ai regardé également l'histoire du produit scalaire. Date d'une première trace écrite : environ 1850 (cf Wiki)
Al Kashi : 15ème siècle environ.
C'est un peu saugrenu de démontrer Al Kashi avec un outil qui date de 4 siècles plus tard non ?
Mais surtout, si on prend Al Kashi, rapidement b² = a² + c² - 2a.c.cosB. C'est déjà du produit scalaire finalement...
a.c cosB = 1/2(a² + c² - b²) , on remplace tout ça par des vecteurs et on a du produit scalaire. On travaille ça avec des coordonnées de points et on retombe aussi sur l'autre formule du produit scalaire xx' + yy'
En fait, c'est plutôt le produit scalaire qu'il faudrait démontrer avec Al Kashi et non l'inverse... ça me semble douteux comme raisonnement.
Des avis à ce sujet ? D'autres exemples de démonstrations "anachroniques" ?
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Réponses
"C'est un peu saugrenu de démontrer Al Kashi avec un outil qui date de 4 siècles plus tard non ? " ?? Pourquoi saugrenu ? Je suis allé à Rome en Avion voir des monuments qui existaient 20 siècles avant l'avion. Fallait-il que j'y aille à pied ? Pourquoi se priver d'outils pratiques.
Heureusement qu'on fait des anachronismes, on ne va pas refaire faire aux élèves tout le cours du développement des mathématiques.
Sinon, les anachronismes sont nombreux, en particulier dans les dénominations (théorèmes de Pythagore ou de Thalès, triangle de Pascal, ...) Et toi-même emploie sans doute des vecteurs de façon très différente des premiers utilisateurs, par exemple.
En conclusion : ne pas confondre enseignement des maths avec histoire des maths. Même si la seconde peut éclairer le premier.
Cordialement.
ton exemple ne me semble pas saugrenu lui, mais j'utilise saugrenu ici, car on pourrait dire que le produit scalaire découle directement des relations d'Al Kashi, et la démonstration d'Al Kashi en utilisant le produit scalaire me semble vraiment impertinente. Le problème ici n'est pas d'utiliser un outil qui a été trouvé plus tard, mais d'utiliser un outil qui découle implicitement de la chose à démontrer. D'autant plus qu'on peut montrer Al Kashi, sans le produit scalaire. Et montrer ensuite le produit scalaire avec Al Kashi me parait un cheminement plus naturel, et pas forcément plus difficile ni laborieux.
Je vais essayer de digérer ça pour voir si ça passe, certains "anachronismes" me semblent moins choquants, mais celui-ci me gène.
Merci pour ta réponse en tout cas.
la démonstration du théorème d'Al-Kashi avec l'outil du produit scalaire est certainement la plus simple et la plus pertinente
cela dit Al-Kashi effectivement ne connaissait pas le produit scalaire : il a trouvé sa célèbre relation dans le triangle quelconque
à l'aide de la trigonométrie du triangle que les Perses et les Arabes ont largement développée
et aussi avec le théorème de Pythagore qu'Al-Kashi a su généraliser en utilisant comme le géomètre grec les aires de triangles ou carrés
ce qui me paraît anachronique en l'occurence est de définir le produit scalaire à partir de la relation d'Al-Kashi
ce qui revient à limiter son usage à la simple géométrie du triangle
alors que le produit scalaire initié par les physiciens
est réellement une invention mathématique importante utilisée en algèbre, en mécanique comme en géométrie
autre démonstration mystérieuse celle de la formule de Héron (ou Archimède suivant certains historiens)
concernant l'aire d'un triangle calculée avec le demi-périmètre et la longueur de chaque côté
nous la démontrons à présent avec la longueur d'une hauteur calculée en fonction des côtés du triangle
il est probable que Héron géomètre grec qui vivait à une date bien antérieure à Al-Kashi
l'a trouvée empiriquement à partir de l'estimation faite sur plusieurs triangles
il ne faut pas oublier que les géomètres travaillaient souvent pour les agents du fisc
soucieux de connaître la superficie (qui rentre dans l'assiette de l'impôt cadastral)
d'un champ triangulaire connaissant la longueur des côtés
cordialement