Wilhlem Killing

« The greatest mathematical paper of all time »

C’est par ce titre (un tantinet racoleur) que l’auteur de l’article rend justice à un mathématicien (Wilhelm Killing, né en Westphalie) qui passa un peu au second plan, à l’ombre des figures illustres de Lie et Cartan.

À la base, il y a les interrogations d’un mathématicien de Princeton (A. Coleman) sur les rapports entre les mathématiques et l’histoire. Et cette question : quelle est la plus influente, la plus historiquement importante publication mathématique de tous les temps ? Chaque spécialiste aura bien sûr sa réponse toute faite.

Dans le calme de sa semi-retraite (l'individu est un spécialiste du problème des N-corps), Coleman pense alors au deuxième d'une série de 4 articles fondateurs écrits par Whilelm Killing en 1888 et consacrés aux algèbres de Lie.

Killing était alors professeur dans une localité de Prusse Orientale. Il était accablé de devoirs civiques et familiaux.
C'est donc dans ce deuxième article qu'apparaissent pour la première fois les notions d'algèbres semi-simples, matrices de Cartan, systèmes de racines, rang d'une algèbre.
Il sera le cadre de travaux importants réalisés dans ce domaine et conduira Emmy Noether à la représentation matricielle des groupes finis.
Comme le fait ironiquement remarquer l'auteur de l'article : Killing se livra à l'étude détaillée des groupes de Weyl alors que ce dernier n'avait que 3 ans ! Et il étudia les "transformations de Coxeter" 19 ans avant la naissance de Coxeter… Il découvrit le groupe de Lie exceptionnel $E_8$ lors de travaux sur les groupes continus de transformation...(je me suis toujours demandé pourquoi les attributions en mathématiques étaient un tel foutoir !).
C'est par le biais des géométries non-euclidiennes que Killing en vint aux groupes de Lie vers 1880, indépendamment de Sophus Lie, qui cherchait une théorie des équations différentielles analogues à la théorie de Galois pour les équations algébriques.

The greatest mathematical paper of all time
par A.J Coleman
The mathematical intelligencer-Volume 11, n°3
1989
Disponible sur internet.

Toujours dans l'idée que la meilleure façon d'enseigner les maths est de suivre la progression historique des idées : le site Analysis Situ (CNRS) consacré à la découverte de la topologie algébrique et que certains ici connaissent peut-être.
Il propose trois parcours possibles : par les œuvres historiques (celles de Riemann, Betti, Poincaré etc…), par les exemples ou par les cours modernes pour une mise en perspective des grands textes grâce aux outils actuels.

Je n’ai pas compris grand chose aux cours (de niveau Master) mais cette manière de montrer la genèse des idées mathématiques en les resituant dans leur contexte historique est… éclairante ! On y trouve des textes pédagogiques, des figures, des vidéos de cours, de petits films d’animation, des anecdotes.
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