Axiome du choix
Salut,
Est-ce que vous pouvez me rappeler l'énoncé de "l'axiome
du choix" ?
Merci
Est-ce que vous pouvez me rappeler l'énoncé de "l'axiome
du choix" ?
Merci
Réponses
-
si je me souviens bien : etant donné une famille (potentiellement infinie ) d'ensemble $X_i$, il existe une fonction telle que
$$\forall i,\ f(X_i) \in X_i$$ -
Merci
Alors si je comprends bien dans les preuves ou il y a un truc du style.
"pour tout $x$, il existe $y$ tel que ce que vous voulez"
On dis grace à l'axiome du choix je prends un $y$ et je m'en sers
dans la suite de la démonstration ?????? style pour je créer une application
qui à un $x$ associe uns uel $y$ qui va bien et je peux créer mon application
grace à cet axiome du choix ????
Merci -
Non parce qu'usuellement, tu peux expliciter ce y
par exemple, sur un intervalle de R tu peux prendre le milieu, enfin tu vois le genre
par contre si tu veux un ensemble qui contienne un seul élément de chaque classe de R/Q, il vaut mieux l'axiome du choix, parce que t'aura du mal à trouver l'ensemble en question
-
en fait, l'idee c'est que l'axiome du choix est necessaire dans les cas ou tu ne peux pas expliciter cette fonction f, et seulement dans ceux ci..
comme le dis le poulpe, si tu prend l'ensemble des intervalles de $\R$, la fonction :
$$f(I=[a,b])=\frac{a+b}{2}$$
est une fonction de choix, donc pas besoin d'axiome...
je te laisse mediter cette phrase de russel :
"pour choisir une chaussure de chaque paire parmi une infinite de paire de chaussure, pas besoin d'axiome.. mais avec des chaussettes, si !!" -
Et quand on peut pas expliciter le $y$ ? oui mais alors
l'axiome du choix dit : "pour toute famille $\{X_i\}$ il existe $f$
telle que bla bla". Mais alors si on veut choper une des ces $f$, il
faut de nouveau appliquer l'axiome du choix et ainsi de suite ?
non ? La famille $\{X_i\}$ se réduisant éventuellement à un élément
pour après. Mais alors cet axiome n'est pas satisfaisant ? si ?
Ou alors c'est moi qui est rien compris. Car pour notre fonction de départ
on aura une fonction style $fogoho...oio...$.
Merci de m'éclairer avec un truc bien puissant. -
j'ai du mal a te suivre... l'axiome du choix permet en fait de choisir un "vecteur" d'element tel que le ieme element appartienne a $X_i$... donc cette axiome te permet de dire : soit v un tel vecteur. point. la fonction de choix sert a la limite juste a formuler proprement l'axiome, mais la fonction en elle meme ne nous interresse pas.. tout ce qu'on fait c'est affirmer qu'elle existe.
un exemple classique qui utilise l'axiome du choix :
soit R la relation d'equivalence :
$$\forall x,y\in \R,\ xRy \Leftrightarrow x-y \in \Q$$
soit $S=\R/R$, cad l'ensemble des classe d'equivalence de R. eh bien pour choisir un element de chaque classe, on est obligé d'utiliser l'axiome du choix.
autrement dit, quand tu dis "soit X un enesmble qui contient un et un seul element de chaque classe d'equivalence de R", tu DOIT utiliser l'axiome du choix, car cet ensemble est impossible a expliciter.. -
au cas ou ca n'est pas clair :
$\Q$ est une classe d'equivalence, par exemple. $\pi+\Q$ en est une autre, a laquelle e n'appartien pas, me semble t il.. donc on peut facilement exhiber des exemples de classes, etant donne 2 reels on peut dire assez vite s'ils sont equivalent ou non, mais manipuler l'ensemble de ces classes d'un seul tenant est impossible tellement elles peuvent prendre des formes bizzare..
par comparaiosn, si on remplace $\Q$ par $\N$, ca devitn plus facile.. dans ce cas, 2 nombres sont equivalents s'ils ont la meme partie decimale. donc $[0,1[$ est un ensemble qui satisfait aux condition, puisque il contient bien un element de chaque classe d'equivalence et un seul.. donc pas besoin d'axiome dans ce cas.. medite l'exemple des chaussettes, il est parlant !! -
Et quand on peut pas expliciter le $y$ ? Oui mais alors
l'axiome du choix dit : "pour toute famille $\{X_i\}$ il existe $f$
telle que bla bla". Mais alors si on veut choper une des ces $f$, il
faut de nouveau appliquer l'axiome du choix et ainsi de suite ?
Non ? La famille $\{X_i\}$ se réduisant éventuellement à un élément
pour après. Mais alors cet axiome n'est pas satisfaisant ? Si ?
Ou alors c'est moi qui n'ai rien compris. Car pour notre fonction de départ
on aura une fonction style $f\circ g \circ h\circ\ldots\circ i \circ\ldots$.
Merci de m'éclairer avec un truc bien puissant. -
"pour choisir une chaussure de chaque paire parmi une infinite de paire de chaussure, pas besoin d'axiome.. mais avec des chaussettes, si !!"
ca explique bien le concept :
si tu a une propriete qui permet de distinguer un element dans un ensemble, alors tu peux expliciter une fonction de choix pour cet element (par exemple pour les chaussures, tu ne choisis que les pieds gauche), par contre si rien ne permet de differencier les elements d'un ensemble (en particulier quand on ne sait pas a quoi il peut bien ressembler), on est obliges de recourir un axiome pour justifier l'existence d'un choix (ce n'est pas prouvable a partir des axiomes de base de la theorie des ensembles).
en gros, on a besoin de l'axiome du choix lorsqu'on ne peut pas expliciter de fonction de choix -
Ok merci pour vos réponses,
Mais cet axiome ne me convient pas car comme je le disais
si on veut être rigoureux (et si on utilise cet axiome c'est qu'on
veut l'être) il faut l'utiliser encore et encore pour trouver une
fonction de choix qu'on aura jamais finalement car il faut
le faire "à l'infini". Enfin bref, en plus j'ai eu le malheur ou
le bonheur (je sais pas) de lire Bourbaki Théorie des ensembles
livre 1 (chapitre 1, 2, 3 et 4) dans lequel est écrit à la fin du livre que cet "axiome" est utilisé à titre non rigoureux pour "simplifier". On peut
s'en passer sans problème car on peut expliciter un tel élément
$y$ avec les quatre symboles de bases. Et on peut démontrer
le lemme de Zorn (ou théorème comme vous voulez) sans cet
"axiome" qui d'ailleurs ne fait pas partie de l'ensemble des axiomes
de la théorie des ensembles. Toujours cf Bourbaki. Et cette construction
me convient tout à fait. Donc quand on veut prendre dans l'exemple
de jobherzt un élément de chaque classe, on a pas besoin de cet axiome,
on dit simplement soit un ensemble de rprésentants.
En plus si on veut se simplifier la vie, on se passe de cet "axiome"
sans jamais le mentionner puisqu'il n'y en a pas besoin. Alors
pourquoi tous les profs en parlent ?? pas besoin.
Ou alors j'ai rien compris à l'affaire. C'est bien possible aussi -
euh.. je suis desole, mais il a ete prouve que l'axiome du choix est independant de la theorie ZF. donc il ne sert pas a simplifier, lui ou sa negation sont parfois indispensable dans certaines demonstration. en particulier, il est equivalent au lemme de zorn, donc est utilisé pour demontrer ce lemme. disons que les cas ou on doit specifier qu'on l'utilise sont rare, mais cela arrive, par exemple pour prouver l'existence d'ensembles non mesurables.
<BR>
<BR>et je ne comprends pas ton histoire de trucs infini.. l'axiome dit que la fonction existe, donc on l'a, point ! donc on a les ensembles qui vont avec ! si tu reprends mon exemple, l'axiome du choix dit que mon ensemble S existe, donc il existe, donc je l'utilise, point a la ligne !
<BR>et on peut demontrer formellement que si tu nie l'axiome du choix, mon ensemble S n'existe pas !! donc l'AC est indispensable dans ce cas.<BR> -
je voulais dire mon ensemble X existe, pardon !<BR>
-
coincoin,
Bourbaki utilise un langage du 1er ordre de leur cru, avec un opérateur magique inclus dans la syntaxe qui implique l'axiome de choix (lequel dit précisément que pour toute famille (X_i) d'ensembles non vides, il existe une famille (x_i) vérifiant pour tout i, x_i € X_i), autrement dit qui assure l'existence de ton système de représentants. -
Il faudrait peut-être un peu calmer le jeu là.
Prenons l'énoncé de l'axiome du choix sous la forme donnée par jobherz ; on a donc une famille infinie d'ensembles non vides $(E_i)_{i \in I}$. Pour tout $i \in I$, choisissons un élément $x_i \in E_i$. Nous en avons parfaitement le droit puisque chaque $E_i$ a au moins un élément. A priori, cela n'implique pas que la collection $\{x_i \in E_i \mid i \in I\}$ soit un ensemble.
C'est là le rôle de l'axiome de choix. Bourbaki se passe de cet axiome, ou du moins se paye le luxe de ne pas l'énoncer, car il a choisi d'introduire le symbole de Hilbert qui lui permet de construire des fonctions de choix à la pelle. Cependant, même avec le tau de Hilbert, il ne faut pas être dupe, on ne peux pas "expliciter une fonction de choix".
Quant au théorème (ou lemme) de Zorn ou à celui de Zermelo, ce ne sont que deux énoncés parmi les quelques 200 identifiés équivalents à l'axiome de choix.
Bruno -
salut,
Bruno, je ne suis pas d'accord :
{\it Pour tout $i \in I$, choisissons un élément $x_i \in E_i$. Nous en avons parfaitement le droit puisque chaque $E_i$ a au moins un élément.}
Je ne sais pas ce qu'il en est pour pour toi, mais pour moi, la notation (x_i) i€I n'est qu'une autre notation pour une application x: I -> E (où E n'est pas nécessairement précisé) avec la notation x_i pour l'image x(i).
Choisir un x_i dans chaque X_i c'est précisément se donner cette application dont l'existence est précisément l'objet de AC. Sans lui, tu peux choisir a€X_i1, b€X_i2, ... mais rien de plus.
Par ailleurs, Bourbaki se paye le luxe de ne pas énoncer AC, mais il est bien obligé d'accompagner le tau de Hilbert d'un schéma d'axiomes qui dit que pour deux collections A(x) et B(x) quelconques,
[ (Qqs x) A(x) B(x) ] => [ tau_x(A(x)) = tau_x(B(x)) ] -
Bonjour,
je suis presque complètement d'accord avec Bruno, qui dit que l'ensemble dont l'axiome du choix assure l'existence existe de toute façon en tant que collection. Autrement dit, l'axiome du choix est une trivialité pour les ensembles intuitifs (j'imagine en effet que c'est ce que Bruno entends par collection, car son raisonnement ne passerait pas pour des collections du type théorie des ensembles à la Krivine - les univers et tout ça - la seule qui tienne debout à mon avis). Mais il existe différentes notions d'ensembles, dont certaines sont incompatibles avec l'axiome du choix, ce n'est cependant pas ces notions qui sont les plus représentées dans l'imaginaire collectif des mathématiciens aujourd'hui.
En résumé, je partage l'idée de Bruno, bien que je sache cette idée tout-à fait arbitraire (quoique peux-t-on considérer comme arbitraire une idée partagée par quasiment tout le monde)
jean-c_rien -
bonjour
concrètement,la première fois en L1/L2 où l'on rencontre l'axiome du choix,c'est pour justifier l'existence pour tout ev de dimension non finie d'au moins une base ( si je me souviens bien).
une autre utilisation est nécessaire pour exhiber une fonction non borélienne.
merci de rappeler d'autres moments où cet outil s'avère incontournable pour justifier, exhiber ou démontrer une notion mathématique; uniquement des exemples ne faisant pas appel à Zorn,Zermelo ou autre Kuratowski.
merci -
On l'utilise également pour démontrer le théorème de Hahn-Banach.
-
jean_c_rien a explicité ma position beaucoup mieux que je ne l'eusse fait. Je suis bien d'accord que la collection que l'a évoquée ne l'est pas au sens de Krivine (et d'autres), car elle n'est pas caractérisée par un énoncé.
"Choisir un élément $x_i \in E_i$" est tout à fait loisible puisque les ensembles $E_i$ ne sont pas vides. Mieux, intuitivement, pourquoi la collection de ces éléments ne forme-t-elle pas un ensemble ? Ce n'est pas une question de taille.
Examinons de plus près ce qui se passe dans un modèle de $ZF$ :
Nous sommes en présence d'un point $I$ du modèle qui est un ensemble (comme tous les points du modèle) "infini" (au sens du modèle) ; nous avons une application qui, à tout point de $I$ associe un point $E_i$ du modèle. Par hypothèse, aucun de ces ensemble n'est l'ensemble vide (son interprétation dans le modèle). Puisqu'aucun de ces ensembles $E_i$ n'est vide, on peut piocher un élément $a_i$ dans chacun d'eux.
Il est clair que $\{a_i \mid i \in I\}$ est une partie de notre modèle (ma fameuse collection). Seulement voilà où le bât blesse : dans tout modèle de $ZF$ il y a plus de collections que d'ensembles : si le modèle est de cardinal $\kappa$, il y a $2^\kappa$ collections pour $\kappa$ ensembles. Notre collection n' a donc aucune raison d'être un ensemble du point de vue du modèle et aucune raison de ne pas l'être d'ailleurs. L'énoncé de jobherz n'est pas déductible de $ZF$.
Bien entendu, je n'ai pas fait une démonstration, mais j'essaye de faire saisir intuitivement ce qui se passe.
Bruno -
bonjour
pour Hahn-Banach analytique, c'est le lemme de Zorn qui est utilisé. Ce sont plutôt les applications de l'axiome du choix, seul, que je recherche.
merci -
Un exemple que j'ai recemment etudie, c'est la demonstration de la formule suivante concernant la tribu produit d'une famille de tribus engendree par une famille d'ensembles. Plus precisement, on se donne une famille d'ensembles $(\Omega_i)$ indexee par un ensemble indiciel $I$ quelconque (ie pas forcement denombrable) non vide, et une famille $(\xi_i)$ telle que $\forall i, \xi_i \subset \Omega_i$. Alors on a:
$\bigotimes_{i \in I}{\sigma(\xi_i)} = \sigma \Big( \coprod_{i \in I}{\xi_i} \Big)$
Autrement dit, la tribu produit d'une famille de tribus egendree par la famille $\xi_i$ est la tribu engendree par les rectangles de la famille $\xi_i$. Dans le cas de $I$ fini (voire denombrables, mais je suis pas sur), tu peux te passer de l'axiome du choix, mais pas dans le cas de I quelconque. C'est un resultat qui apparait 'evident', mais qui est pas trivial a montrer, en fait.
Je rappelle que la tribu produit d'une famille de tribus $(\Sigma_i)$ est par definition la tribu engendree par les rectangles de cette famille. -
En fait, je suis pas vraiment familier avec l'axiome du choix, mais dans les exemples que je connais, l'utilisation de base est liee a la definition generale du produit cartesien d'une famille $\Omega_i$ d'ensembles, qui est l'ensemble des fonctions $\omega$ definies sur $I$ a valeur dans $\bigcup_{i \in I}{\Omega_i}$, telle que $\forall i \in I, \omega(i) \in \Omega_i$. Chaque $\omega$ est une fonction de choix.
L'axiome du choix te dit qu'un tel ensemble n'est pas vide si l'ensemble d'indexation ainsi que les $\Omega_i$ sont non vides. -
bonjour,
de deux choses l'unes : ou bien la proposition
Pour toute famille (x_i) i € I d'ensembles non vides, il existe une famille (y_i) i € I vérifiant y_i € x_i pour tout i € I"
est l'une des inombrables formulations de AC, ou bien elle ne l'est pas. Dans ce dernier cas, cela ferait trente ans que je je n'aurais rien compris à l'axiome du choix, ce qui est naturellement possible, mais il serait bien que je m'en rende compte
Quand on fait la considération intuitive suivante "Puisque tous les x_i sont non vides, on peut "choisir" dans chacun un élément a_i", on se rend bien compte que ce qu'on veut, c'est choisir tous ces a_i simultanément, donc on ne peut échapper à une dépendance fonctionnelle entre ce i et ce a_i, qu'on la note a_i ou a(i) (ce n'est qu'une question de notation, famille n'est qu'un autre nom de fonction). Autrement dit, ce choix qu'on prétend faire ne peut s'exprimer que sous la forme d'une fonction de choix.
Un raisonnement, même intuitif, ne peut échapper à l'emprise de ses notations, et je ne vois pas comment on peut le tenir sans donner à celles-ci un sens. En l'occurrence, donner un sens à la notation indicielle a_i. -
Abordons les choses un peu différemment puisque c'est cette notation fonctionnelle qui t'ennuies au premier chef.
Quand on considère un langage, on peut toujours l'enrichir de constantes individuelles. Je considère une famille de constantes d'individus $(c_i)_{i\in I}$. Puisque, par hypothèse, $E_i$ est non vide quel que soit l'indice $i$, je peux interpréter dans le modèle chaque $c_i$ pour un élément de l'ensemble $E_i$. Ainsi, j'ai pour chacun des ensembles $E_i$ un élément qui possède un nom et sur lequel je peux raisonner.
Je ne peux cependant pas prouver par $ZF$ que la collection des interprétations de ces constantes est, quel que soit le contexte, un ensemble.
Maintenant, nous sommes bien d'accord, l'énoncé que tu cites en italiques est une formulation de l'axiome du choix, ce que je n'ai jamais nié.
Bruno -
oui Bruno, vu comme ça, tout à fait d'accord. Mais alors, on n'est plus du tout dans l'intuition. Tu postules et construis successivement la consistance de ZF (sans quoi plus de discours possible), la concordance entre assemblages intuitifs et suites finies formelles, la construction d'un modèle de ZF (modèle de ces suites formelles), enrichissement de ce langage formel par une famille de constantes, etc, totalement inaccessibles dans le langage intuitif de ZF.
-
P.S. Ce que je veux dire précisément, c'est que ta phrase :
{\it Pour tout $i \in I$, choisissons un élément $x_i \in E_i$. Nous en avons parfaitement le droit puisque chaque $E_i$ a au moins un élément.}\\
est très trompeuse puisqu'elle semble très intuitive alors qu'elle ne peut prendre son sens que dans une construction très sophistiquée dans la théorie des modèles -
J'ai écrit "examinons ce qui se passe dans un modèle de ZF"... Donc j'admets la consistence de la théorie formelle $ZF$.
Pour ce qui est du domaine intuitif, quand on fait de la théorie des modèles, on admet l'existence d'ensembles intuitifs qui vérifient ZFC, sinon, plus de théorème de complétude de Gödel, plus d'ultraproduits... Bref je reconnais que mon intuition est lourde :-)
Mais le but de ce sujet est de rendre plus compréhensible l'axiome de choix, d'accord ? Que signifie-t-il au fond ? Ce que je dis, c'est qu'au fond, il n'est pas de nature très différente de celle des autres axiomes, il postule l'existence d'un certain ensemble associé à certaines données.
A la réflexion, c'est peut-être bien l'une des raisons de l'échec, chez les logiciens, des considérations sur l'opérateur de Hilbert qui est nettement plus métaphysique et totalement associé à la position formaliste.
Bruno -
Bonjour,
modifions un peu le vocabulaire : soit un ensemble A (intuitif), a chaque éléments de A associons une partie de A, on dira alors que ces éléments représentent leurs parties associées. Si cette construction vérifie les axiomes de ZF, A sera appelé un univers. Nous avons quelques résultats sur cette construction :
- toutes les parties de A ne sont pas représentées (Cantor : card A < card P(A);
- aucun univers A n'est constructible par des procédés finis (Gödel : théorème d'incomplétude), en particulier on est obligé d'admettre l'existence d'un tel objet (un modèle de ZF), et donc d'admettre sa consistance, et surtout, il faut accepter l'idée que A ne peut être décrit complètement, ie que A n'est pas formalisable au sens de Hilbert, et donc il n'y a pas de démonstration absolue quand on joue avec A, et donc il y a de la place pour le libre arbitre, et donc on a le droit de penser que les fonctions de choix existent ou n'existent pas;
- si A est un univers où AC(ax. du choix) est vérifié, on admet donc implicitement que ZF est non-contradictoire, ce qui est essentiel, alors il existe un univers B où il ne l'est pas, et inversement (Gödel a montré en 1940 que ZF+AF(ax. de fondation) ne prouve pas non-AC, et Cohen a démontré en 1963 qu'il ne prouve pas AC).
En résumé, on se fait ch... on s'embête avec ZF pour pouvoir avoir une construction rigoureuse des ensembles alors qu'on peut démontrer (ça fait maintenant 75 ans) que ZF ne peut pas représenter complètement le concept d'ensemble, et par dessus le marché on peut démontrer qu'on ne peut pas démontrer que ce procéder est cohérent! La morale c'est ne nous embarrassons pas de ZF, et l'axiome du choix oui ou non? faites votre choix.
Cordiallement, jean-c_rien -
Il faudrait bien sûr préciser que la grande majorité des mathématiciens choisissent oui.
-
Salut,
Pour essayer de clarifier un peu les choses, je dirais que c'est toujours pareil avec $ZF$, il faut savoir à quel 'niveau' d'univers on se trouve.
Supposons qu'il existe un modèle de $ZF$, noté $\mathcal{U}$, pour univers.
Les éléments de $\mathcal{U}$ seront les 'ensembles' pour les 'gens' vivant dans ce modèle; appelons les les ensembles-objets.
On considère l'application
$\overline{.}:\mathcal{U}\rightarrow \mathcal{P}(\mathcal{U})$
(application au niveau intuitif, c'est à dire notre niveau) qui à tout ensemble-objet $x$ (donc à tout élément de $\mathcal{U}$) associe l'ensemble (à notre niveau) $\overline{x}$ tel que
$\overline{x}=\{a\in \mathcal{U}; a\epsilon x\}$
$\in$ est le symbole d'appartenance usuel (intuitif) et $\epsilon$ est l'interprétation dans $\mathcal{U}$ du symbole de la théorie des ensembles ($\epsilon$ correspond à l'appartenance au niveau de $\mathcal{U}$)
On identifie après allégrement $x$ et $\overline{x}$.
$\overline{.}$ est même un foncteur qui va de la catégorie des éléments de $\mathcal{U}$ (les morphismes sont les applications-objets) dans la catégorie des ensembles (à notre niveau), notée usuellement ($\matcal{Set}$).
Si $f$ est une application-objet qui va d'un ensemble-objet $x$ dans un ensemble-objet $y$, on définit l'application $\overline{f}$ (à notre niveau) telle que
- $\overline{f}$ va de $\overline{x}$ dans $\overline{y}$
- Pour tout $a\in \overline{x}$, $\overline{f}(a)=f(a)$
Une classe-objet sera une partie (au sens intuitif, c'est-à-dire à notre niveau) définissable, au sens de la théorie des modèles, dans $\mathcal{U}$.
Un ensemble-objet $x$ est considéré comme une classe car $\overline{x}$ est une classe.
Maintenant il existe des parties de $\mathcal{U}$ qui ne sont ni des classes-objets, ni des ensembles-objets.
Maintenant la question initiale est en rapport avec l'Axiome du Choix. Comme il faut choisir un niveau où travailler, on suppose qu'on se place dans $\mathcal{U}$.
La question est donc:
'Est-ce que dans un modèle de $ZF$, noté $\mathcal{U}$, si on donne
- un ensemble-objet $A$ d'ensembles-objets non-vides
- un ensemble-objet $I$
- une application-objet, $\theta$ qui va de $I$ dans $A$
il existe une application-objet $f$ de $I$ dans la réunion des éléments (au sens $\epsilon$ )de $A$ telle que
$\mathcal{U}\models \forall i\epsilon I \ \ f(i)\epsilon \theta(i)$?'
Il se trouve que dans {\bf notre} univers, à notre niveau, on peut tout à fait supposer l'Axiome du Choix....
Ainsi on peut dire que $\prod_{j\in \tilde(I)} \overline{\overline{\theta}(j)}}$ est non vide pour notre univers. On note $g$ un élément (au sens $\in$) de ce produit.
On a donc l'existence d'une sous-partie de $\mathcal{U}$ qui est le graphe de $g$ mais qui n'est pas forcément une classe-objet ni un ensemble-objet.
L'Axiome du Choix garantit qu'il existe une application (intuitif) du produit ci-dessus qui est une application-objet.
Maintenant, on peut supposer que l'Axiome du Choix est faux à notre niveau... Mais on peut continuer en supposant qu'il est vrai au niveau supérieur au notre et ainsi de suite....
@l -
je rappelle qu'en theorie des ensembles classique, on suppose l'existence de "témoin" pour les assertions existentielles. autrement dit, si un modèle M vérifie "il existe x tel que P(x)" alors il existe a dans M tel que "P(a)" dans le langage de base augmenté du symbole "a", interprété par a dans M. Autrement dit, l'axiome du choix est vérifié pour un seul ensemble non vide (=définition d'un ensemble non vide). Voir sinon la théorie des constructibles (je crois que ca s'appelle comme ca, mais je n'y connais rien) qui part justement du principe qu'un ensemble non vide n'est pas forcément un ensemble dans lequel on peut piocher un élément. Si quelqu'un peut apporter des précisions...
-
bonjour
vous parlez tous de manière savante de l'axiome du choix et c'est très bien.Ce serait vraiment sympa d'en donner des applications pratiques et concrètes ( vous devez en connaître beaucoup à la lecture de vos échanges) en redescendant une minute à un niveau plus concret.
remerci beaucoup -
Bonjour siddhartha,
j'éspère ne pas faire d'erreur en disant que ce dont tu parle découle d'une conception intuitionniste. Ce qui distingue la logique intuitionniste de la logique classique, c'est qu'on y admet des nuances de gris pour le concept de vérité. Ce qui est vrai en logique classique est encore vrai en logique intuitionniste, dans les cas que nous venons de traiter, il arrive juste que ce soit une vérité moins blanche que blanche (je me doute, ça doit être gris clair, cf Coluche), mais ça n'en est pas moins vrai.
cordiallement, jean-c_rien -
Je ne me suis pas fait bien comprendre (OK, c'était pas très clair). Le problème vient du fait de la question: est-ce que le fait qu'un ensemble est non vide implique que l'on peut prendre un élément dedans? Pour ma part, je pense que ce n'est pas une question de logique mathématique, mais métamathématique. Typiquement, quand dans une démonstration on écrit "il existe x tel que blabla. Soit x tel que blabla", on sort du domaine de la logique du premier ordre classique. Ce type de démonstration fait simplement appel à l'existence de x et non au fait qu'on peut en exhiber un. (si "il existe x tel que P(x)" et "P(x) implique Q" sont vrais, où Q ne dépend pas de x, alors Q est vrai). Ainsi, l'axiome du choix affirme réellement "il existe une fonction de choix", et on le comprend comme le fait que l'on peut dire "soit f une fonction de choix". Ainsi, un ensemble non vide est (presque) par définition un ensemble E tel que "il existe une fonction de choix pour {E}". On montre ainsi par récurrence l'existence d'une fonction de choix pour un nombre fini d'ensemble (à condition bien sûr qu'on autorise le raisonnement par récurrence dans nos "métaraisonnements", mais c'est une autre question).
-
siddhartha,
La règle d'élimination : si "il existe x tel que P(x)" et "P(x) implique Q" sont vrais, où Q ne dépend pas de x, alors Q est vrai
est équivalente à la règle : si "il existe x tel que P(x)" alors "P(f(x1,x2,...xn))" où f est un nouveau symbole de fonction et x1,...,xn sont les variables libres de P. En fait, "il existe" est équivalent à "être exhibable" en logique classique comme en logique intuitionniste, c'est juste qu'en logique intuitionniste, "il existe" signifie "constructible" et notre "il existe" classique correspond a quelques chose du genre "non-non-il existe".
Pour la question : "est-ce que le fait qu'un ensemble est non vide implique que l'on peut prendre un élément dedans?" il y a en effet une distinction entre ensemble non-vide et ensemble habité en logique intuitioniste. Je te renvois au livre "Logique, ensembles, catégories Le point de vue constructif" de Pierre Ageron, chez ellipses, collection Mathématiques 2e cycle (une très bonne collection).
jean-c_rien -
bs> comme on le disait, les premiers demonstrations qu'on rencontre utilisant l'axiome du choix sont :
<BR>- la preuve de l'existence d'ensemble non-mesurable
<BR>- le theoreme de hahn banach. tu fais remarquer que ce dernier theoreme utilise le lemme de zorn, et pas l'axiome du choix "seul". en fait, le lemme de zorn est <B>equivalent</B> a l'axiome du choix. ca n'en est pas une simple consequence, donc on peut dire que la demo utilise l'axiome du choix "seul".
<BR>- existence d'une base d'un espace vectoriel infini
<BR>
<BR>en fait, l'axiome du choix n'intervient que dans des cas ou on ne sait pas expliciter un objet qu'on manipule. ces cas sont somme toute assez rare, mais ne releve pas pour autant que du delire de logicien, comme la discussion a laquelle nous assistons pourrait le laisser croire :-)
<BR>
<BR>s'il fait souvent debat, c'est qu'il est a la fois pratique dans pas mal de situation, mais il permet aussi de construire des "monstres" mathématiques, et de prouver des choses tres peu intuitives.<BR> -
Le problème avec l'Axiome du Choix (et d'ailleurs, beaucoup d'autres axiomes en théorie des ensembles) est que la moindre question relative directement à lui nécessite un peu de pratique en théorie des ensembles.
La question était effectivement juste de savoir ce qu'est l'Axiome du Choix et où on le rencontre en mathématiques. Il y a déjà eu des pots à ce sujet où étaient mentionnés pas mal d'applications; avec une recherche sur le forum, ça doit se retrouver.
Sinon, par rapport au message de jobherzt, le fait de nier l'Axiome du Choix crée aussi des 'monstres'. Par exemple, si on nie l'Axiome du Choix, on peut montrer qu'il existe une famille {\bf dénombrable} d'ensembles {\bf dénombrables} telle que $\R$ est la réunion des ensembles de cette famille...
L'avoir ou ne pas l'avoir crée à la fois des avantages et des désavantages.
@l -
merci jean-c_rien, c'était effectivement "habité" et non "constructible" le terme que je cherchais précédemment.
-
Coincoin, c'est à toi que je veux répondre, lis au moins la fin.
Je n'ai pas tout relu, mais il semble que Coincoin a abandonné le fil depuis longtemps. J'ai déja remarqué cela quand les posts relèvent des bases des maths (théorie des ensembles, épistémologie,..).
Quand je pense que personne n'a répondu à sa question:
"Mais cet axiome ne me convient pas car comme je le disais, si on veut être rigoureux (et si on utilise cet axiome c'est qu'on veut l'être) il faut l'utiliser encore et encore pour trouver une fonction de choix qu'on aura jamais finalement car il faut le faire "à l'infini". "
La discussion de spécialiste s'est une fois encore poursuivie, entre spécialistes, loin des attentes du questionneur. Alors, si ce n'est pas trop tard, une réponse :
Il n'y a pas besoin d'utiliser l'axiome une infinité de fois, puisqu'il admet l'existence de cette infinité. Il dit que ce choix infini est possible et nomme un des choix possible : f. Il permet donc de travailler avec un de ces choix, f, comme si on le connaissait.
Ce n'est pas pire ni mieux que de dire "soit A une partie de l'ensemble E={1,2,3,4}". J'ai le nom A, mais pas grand chose d'autre.
Cordialement. -
C'est précisément ce que je disais dans mon premier post: l'axiome du choix affirme que l'ensemble des fonctions de choix est non vide. Il ne donne pas de nom, de f qui se promène dans la nature. Charge à toi après de dire "soit f une telle fonction" si tu en ressens la nécessité (et c'est bien là où on a en quelque sorte besoin de "l'axiome du choix pour un unique ensemble !).
-
merci jobhertz
d'avoir répondu à ma question ,manifestement un peu trop terre à terre.
suis toujours preneur d'autres exemples ,si possible, AC "seul".
suis aussi surpris de constater que ce sujet déchaîne les passions ,alors que l'on exhibe si peu d'exemples autour de son utilisation.
bonne continuation -
Un autre exemple, parmi tant d'autres: le théorème de Tychonoff, qui dit que le produit topologique de n'importe quelle famille de compacts est encore compact (dans le cas d'une famille dénombrable d'espaces métriques compacts, c'est exactement le principe d'extraction diagonale).
-
ou, plus simplement: l'axiome du choix dépendant (qui est une des nombreuses "formes faibles" de l'axiome du choix) te dit que tu peux construire des suites par récurrence: si je dis "soit $f$ une fonction de $X$ dans $X$, et $x_0 \in X$, alors pour pouvoir DEFINIR la suite $x_{n+1}=f(x_n)$, j'ai besoin de l'axiome du choix dépendant (au moins si je n'ai pas une forme explicite de $f$ qui me permet d'en déduire une forme explicite du terme général de ma suite).
-
un exemple d'emploi de AC inspiré par le post d'@l :
la réunion d'une famille dénombrable d'ensembles dénombrables est dénombrable :
Supposons AC.
Soit (A_i) i € I une famille dénombrable d'ensembles dénombrables
et K = U A_i sa réunion.
Soit a : N -> I une bijection.
Pour tout i € I, soit B_i l'ensemble non vide des bijections de N sur A_i.
D'après AC, il existe donc une famille de bijections (b_i : N -> A_i) i € I.
On définit une surjection s : N x N -> K par s(i,j) = b_a(i) (j).
Ainsi K, qui est au moins dénombrable, l'est au plus puisque N x N est dénombrable. K est donc dénombrable.
Comme @l nous assure que ¬ AC => il existe une famille dénombrable d'ensembles dénombrables dont la réunion n'est pas dénombrable (puisque R ne l'est pas), on a le résultat amusant suivant dans ZF :
AC <=> la réunion de toute famille dénombrable d'ensembles dénombrables est dénombrable. -
Je me permet d'intervenir pour corriger notre Buddha : l'axiome des choix dépendants est absolument inutile pour définir la suite qu'il donne.
<BR>
<BR>Il en va tout autrement pour définir une suite telle que <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="53" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/06/6/89810/cv/img1.png" ALT="$ x_0 \in X$"></SPAN> et <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="68" HEIGHT="30" ALIGN="MIDDLE" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/06/6/89810/cv/img2.png" ALT="$ x_{n+1} \mathcal{R} x_n$"></SPAN> où <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="17" HEIGHT="15" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/06/6/89810/cv/img3.png" ALT="$ \mathcal{R}$"></SPAN> est une relation binaire sur <SPAN CLASS="MATH"><IMG WIDTH="17" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/06/6/89810/cv/img4.png" ALT="$ X$"></SPAN>. Là, on a besoin de l'axiome des choix dépendants.<BR><BR><BR><BR> -
<BR>
-
<!--latex-->Par exemple, pour indications, il y a ces messages:
<BR>
<BR><a href = "http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&i=207705&t=207705#reply_207705"> http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?f=2&i=207705&t=207705#reply_207705 </a>
<BR>
<BR>@l -
bonjour et merci à tous pour vos exemples où est utilisé AC.
-
J'ai oublié de préciser, mais ça allait de soi, que notre relation binaire doit vérifier $\forall x \exists y, y R x$.
![http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/06/6/89810/cv/img1.png"](http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/06/6/89810/cv/img1.png"){kind=link}
![http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/06/6/89810/cv/img2.png"](http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/06/6/89810/cv/img2.png"){kind=link}
![http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/06/6/89810/cv/img3.png"](http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/06/6/89810/cv/img3.png"){kind=link}
![http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/06/6/89810/cv/img4.png"](http://www.les-mathematiques.net/phorum/2006/06/6/89810/cv/img4.png"){kind=link}
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