Cardinaux m-géants et ultrafiltres (Dehornoy)

FrançoisD
FrançoisD
dans Fondements et Logique
Bonsoir,
le livre de Patrick Dehornoy on trouve le théorème suivant reliant m-géanticité (oui ce mot n'existe pas)... m-gigantisme et ultrafiltre (p 532):
"Un cardinal $\kappa$ est m-géant ssi il existe $\kappa_0=\kappa<\kappa_1<\dots<\kappa_m$ un ultrafiltre $\kappa$-complet U normal sur $\frak P(\kappa_m)$ ..."
alors je ne m'étends pas sur le sens du théorème qui va m'occuper quelques semaines (si Martial a deux minutes pour une explication?) mais l'hypothèse soulignée n'est-elle pas en trop puisqu'il me semble que $\lambda$-normal implique $\lambda$-complet (démontré dans le même livre p 491) et que $\frak P(\kappa_m)$-complet est plus fort que $\kappa$-complet, non?

Voilà, c'est juste pour voir si j'y comprends encore un truc à tout ceci car je me suis lancé dans un article sur Gödel qui m'a ramené aux Tables de Laver et aux cardinaux de Laver (qui sont beaucoup beaucoup plus gros que les m-géants).

Tout ce que je sais, c'est qu'en lisant le Lascar de théorie des Modèles, la notion de "plongement élémentaire" m'avait semblée capilo-tractée et que je n'avais pas tort car l'existence d'un tel plongement semble approcher de trèèèès près la borne de Kunen, non?

Merci à ceux qui (perdront?) prendront le temps de m'aider à savoir si j'ai compris,

amicalement,
F.D.

Réponses

  • Martial
    Martial
    Salut François,

    D'abord un mot de vocabulaire : il y a bien longtemps que j'ai abandonné l'idée de traduire "huge" en français. Suivant les textes on trouve des cardinaux énormes, géants, immenses etc. Alors pour moi la $m$-géanticité s'écrit la $m$-hugeness. Bon, c'est un détail.

    Pour répondre à ta question : oui, tu as raison, normal implique $\kappa$-complet, ou $\mathscr P(\kappa)$-complet, selon le contexte. Mais bizarrement cela semble être une tradition dans le monde de la théorie des ensembles, beaucoup d'auteurs écrivent par exemple "let $U$ be a normal and $\kappa$-complete ultrafilter over $\kappa$". C'est un peu comme si tu disais "soit $n$ un entier pair et divisible par $4$" ou "soit $K$ un corps fini commutatif".

    Quant à t'expliquer la "philosophie" de ce théorème, je ne suis pas sûr qu'il y en ait vraiment une. Les choses sont peut-être un peu mieux expliquées dans mon livre (je dis bien peut-être), chapitre 24 pages 213/214. (Mais il te faudra revenir en arrière pour certains lemmes). Je crois que l'essentiel réside dans le fait suivant :
    La définition d'un cardinal $m$-huge (il existe un plongement élémentaire $j$ tel que blablabla) n'est a priori pas une définition ensembliste, puisque tu quantifies sur $j$, qui est une classe propre. C'est donc une propriété du second ordre, qui est donc insatisfaisante pour un ZFC-iste. Mais, comme cela se passe pour la plupart des hypothèses de grande cardinalité à partir de mesurable, il y a toujours une propriété ensembliste (pas toujours simple à comprendre), qui s'avère être équivalente à la définition. C'est exactement ce qui se passe ici, puisque tu quantifies sur une famille finie de cardinaux et sur un ultrafiltre, qui sont des ensembles.
  • Martial
    Martial
    Je réponds maintenant à la suite de ton post (fallait que j'aille me servir une bière, il y avait urgence).

    1) Peux-tu me donner la référence de l'article sur lequel tu bosses ?

    2) La philosophie des cardinaux Laver est très intéressante, car l'axiome I3 permet de démontrer un théorème exprimable dans l'arithmétique de Peano, et pour lequel personne à ce jour n'a réussi à trouver de preuve dans ZFC, ni même dans ZFC + un grand cardinal en dessous de I3 (enfin, à ma connaissance). Et l'avantage c'est que là c'est bien expliqué dans le livre de Patrick. (Normal, c'est lui qui est à l'origine du truc, en collaboration avec Laver). Il en dit un peu plus (et en plus hardos, évidemment) dans "Elementary Embeddings and Algebra", Chapitre 11 du Handbook of Set Theory.
  • FrançoisD
    FrançoisD
    Coucou Martial,

    alors pour le coup c'est un article que j'écris qui m'a (r)amené là. J'ai écrit un truc de vulgarisation sur les tresses lorsque j'ai appris la mort de Patrick Dehornoy. J'écris ça pour l'APMEP de Toulouse parce que le Président de la Régionale est un bon copain et qu'il voulait que j'alimente son site internet :-p

    Merci pour tes précisions, je suis content de me rendre compte que je comprends un ou deux trucs,

    amicalement,

    F.D.
  • Martial
    Martial
    3) Le problème du Cori-Lascar c'est qu'il définit ce qu'est un plongement élémentaire mais n'en donne guère d'applications. D'où l'aspect "capilo-tracté".

    4) Mais tu vois bien que les pe (plongements élémentaires) jouent un rôle fondamental dans la théorie des grands cardinaux, puisqu'à partir de mesurable toutes les hypothèses peuvent être définies en termes de pe.

    5) Je comprends ta réticence envers I3, car une des variantes de la borne de Kunen peut s'écrire : "il n'existe pas de pe non trivial de $V_{\lambda +2}$ dans lui-même". Alors quand tu regardes I3 ou I1, tu te dis qu'on n'en est pas loin !
    Pour la petite histoire, le "I" dans I3,I2,I1 vient de "Inconsistency" car à l'époque les auteurs (Gaifman, puis Solovay, Reinhardt et Kanamori) pensaient que ces axiomes étaient inconsistants. Mais jusqu'à ce jour on n'a jamais réussi à en dériver une contradiction. Aujourd'hui dans la communauté de set theory il n'y a plus grand monde qui croit en l'inconsistance des axiomes rank-into-rank (sauf évidemment quelques illuminés qui rejettent même l'axiome de l'infini). Au pire on les considère comme une "restriction technique" destinée à éviter l'inconsistance de Kunen.

    6) Tu vas voir que les grands esprits se rencontrent, puisque je vais maintenant ouvrir un autre fil pour poser une question conceptuellement assez proche de la tienne.
  • Foys
    Foys
    Au lieu de "géanticité" je propose "gigantisme".
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • FrançoisD
    FrançoisD
    Bonjour Foys,

    tu auras remarqué que j'avais aussi écrit "m-gigantisme". Après, les théoriciens des ensembles étant menés par Woodin, il me semble qu'il y a peu de traductions canoniques comme le remarque Martial. Après, je ne suis qu'un prof de lycée loin de tout cela :-)

    Amicalement,
    F.D.
  • FrançoisD
    FrançoisD
    Hello Martial,

    je précise que c'était bien dans le Lascar de Théorie des Modèles que j'avais vu pour la première fois les pe.

    Tout ceci est quand même assez loin de ce que je peux comprendre...
    (Pour ta question sur I0, as-tu fouillé la massive biblio du Dehornoy?)

    F.D.
  • Foys
    Foys
    Pardon FrançoisD je viens de le voir.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • FrançoisD
    FrançoisD
    Pas de quoi t'excuser, le mot gigantisme ne m'est pas venu spontanément lol
    F.D.
  • Martial
    Martial
    @François : sorry, j'avais confondu les deux Lascar...
  • Martial
    Martial
    @François : oui j'ai fouillé. Mais à ma connaissance Dehornoy n'est pas particulièrement intéressé par I0. Il en dit un mot dans son livre de théorie des ensembles, mais juste un mot.
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