Produit vide

Bonjour.

Prenons l'ensemble $E$ des puissances de 2 d'exposant strictement positif (donc 1 n'en fait pas partie) avec la multiplication. Le produit vide doit-il respecter la règle classique :
pour $A\cap B = \emptyset$, on a $\prod\limits_{i\in A}a_i\times \prod\limits_{i\in B}a_i = \prod\limits_{i\in A\cup B}a_i$ ?
Dans ce cas, pour tout élément $2^i$ de E, on a
$\prod\limits_{i\in \{i\}}2^i\times \prod\limits_{i\in \emptyset}2^i = \prod\limits_{i\in \{i\}\cup \emptyset}2^i$
Soit en appelant $P$ ton produit vide :
$2^i \times P=2^i$
P est dont une unité à droite, et il n'y en a pas.

Maintenant, évidemment, on peut laisser tomber l'associativité du produit ...

Je m'interroge : "'il existe des structures dans lesquelles on peut définir un produit vide, mais qui n'ont pas d'élément neutre." Je ne connais pas, peux-tu donner un exemple ?

Cordialement.

Alors : convention (pratique) ou théorème ?

La loi $*$ (LCI) va de $E\times E$ dans $E$.
On étend la loi à un $n$-uplet ordonné par récurrence :
a) $*(a_1,a_2)=a_1 * a_2$
b) $*(a_1,...,a_{n+1})=(*(a_1,...,a_n) )* a_{n+1}$

La question : que vaut $*(\emptyset)$ ? (liste vide)
Une autre question : que vaut $*(a)$ ? (liste contenant un seul élément)

Si toutefois j'ai bien compris la question.

On pense souvent que $\prod_{i=1}^n x_i = x_1 * x_2 * ... * x_n$ alors que le "bon" point de vue est $\prod_{i=1}^n x_i = \mathbf 1 * x_1 * ... * x_n$ (avec parenthèses à mettre là où il faut quand la loi n'est pas associative). Et hop les difficultés psychologiques dues au vide s'envolent et les généralisations viennent à l'esprit naturellement et immédiatement.

En informatique ces notions ne posent aucun problème à implémenter. Comment faites-vous en ocaml (ou python, lisp, ou le langage que vous voulez)?

A priori, on ne parle pas de produit infini dans un ensemble abstrait muni d'une opération associative (avec ou sans élément neutre).
Même si je n'ai jamais rencontré écrite ainsi la définition donnée par Foys, elle me plait assez bien en fait.

C'est de l'analyse : ce produit est défini comme la limite d'une suite convergente, pas par une récurrence comme les sommes ou les produits finis.

Dom écrivait:

---

> Avec la définition de Foys, c’est quoi $\mathbf1$ ?

Le neutre pour l'opération $\star$.
Evidemment, sa définition ne fonctionne pas si l'ensemble ne contient pas de neutre...

Je tiens à préciser que lorsqu'il y a un élément neutre, on peut "prouver" cette "convention", modulo la supposition que le produit est censé être naturel.

En effet, le morphisme $\{e\}\to E$ est alors un morphisme de "magmas avec un neutre" et donc le produit vide à gauche doit être envoyé sur le produit vide à droite. Bon bah à gauche il y a pas 10 000 éléments.

Maxtimax,

Merci de préciser cela «  modulo la supposition que le produit est censé être naturel.»
C’est mon propos.
Il ne s’agit pas de preuve au sens mathématique.
Il s’agit d’avoir un objet commode (pour l’humain, les notations, etc.).

J’ajoute :
$\prod_{i=1}^n x_i = \mathbf 1 * x_1 * ... * x_n$

Après réflexion, cette définition ne dit toujours pas quoi faire avec un produit vide.
Sauf à « vouloir » que ce soit ce que l’on attend de lui.

Dom: Soit $(M,*)$ un monoïde avec unité $e$.
On définit une liste (d'éléments de $M$) par induction de la façon suivante: c'est soit
-$\emptyset$, ou bien
-$(t,h)$ où $h\in M$ et $t$ est une liste d'éléments de $M$. On note $(x_1,\ldots,x_n)$ pour $((\cdots(x_1,\ldots)\cdots) x_{n-1}), x_n)$.

On définit le produit de la liste $\ell$ par induction sur sa longueur via :
$\prod \emptyset := e$
$\prod (t,h) = \left ( \prod t \right ) * h$
De sorte que $\prod (x_1,\ldots,x_n) = e * x_1 * x_2 *\cdots* x_n$ pour tout $n$.

Dom a écrit:

C’est la forme arrogante « ben voyons, c’est le neutre ! » à la place de « on définit le produit vide comme le neutre » qui m’escagasse.

Il y a des situations où on peut montrer que si ce produit a une valeur, alors cette valeur ne peut pas être autre chose que le neutre. Elles sont abordées dans ce fil.

La question était: que fait on quand il n'y a pas de neutre?
La réponse semble être: on s'en fout, on utilise le neutre, na.

Ne dit-on pas j'ai un marronnier, tu as un tarronnier, ..., ils ont un leurronnier. Dans les branches du leurronnier chantaient les mésongres et les feuvertes, tandis que sur ces maths-là le sage piquait un petit roupillon.

Cordialement, Pierre.

Soit $(X,*)$ un ensemble muni d'une loi de composition interne associative. Soit $P$ l'ensemble des fonctions définies sur une partie finie de $\N$ et à valeurs dans $X$.

Montrer l'équivalence entre énoncés suivants:

1°) Il existe une fonction $\varphi$ de $P$ dans $X$ telle que pour toutes parties finies $B,C$ de $\N$ et tout $f:B \cup C \to X$, si pour tous $v\in B$ et $w\in C$, $v<w$, alors $\varphi (f) = \varphi \left (f \big |_B \right) * \varphi \left (f\big |_C \right )$.
2°) Il existe dans $X$ un élément neutre pour $*$.

Bonjour,

J'ai toujours été surpris par le fait qu'on parle de "convention" dès qu'il s'agit du vide, et de définitions dans le cas général, comme si le vide avait un aspect différent. J'ai remarqué que le vide fait peur à plein de gens, justement parce qu'on leur a rabâché le mot "convention" en long, en large et en travers. Je ne vois donc aucunement l'utilité de parler de convention.

Pour le produit itéré dans un semi-groupe, il existe une définition par récurrence sur la taille $n$ du produit. Le cas de base est $n=1$ dans le cas général, $n=0$ si on se restreint au monoïde. Le fait que le produit vide soit le neutre n'est pas plus une convention que le fait qu'un produit de taille 2 vaille le produit des 2 éléments : c'est une définition.

Pour $0!$, qu'on voit la factorielle comme un produit vide ou comme le cardinal de l'ensemble des permutations, on obtient bien 1 : soit par définition du produit vide, soit par définition d'une fonction (le fait que $\mathfrak{S}_0$ ait un élément n'a toujours rien d'une convention).

Pour $0^0$, on peut le voir en terme de fonctions également (donc pas de convention). L'argument sur la forme indéterminée $0^0$ en analyse n'a pour moi pas lieu d'être car il arrive dans un autre cadre. Le $0^0$ au sens du produit vide a une définition qui n'est pas celle de l'analyse, on parle de 2 objets différents.

Cordialement

Heuristique

Une convention est une définition, donc on ne peut jouer qu’un peu avec les mots.
Édit : Gérard vient de le dire, je ne l’avais pas vu.

Sur ce que tu dis, c’est justement ce qui ne répond pas à la question.
Le thème est « quand on a une itération sans neutre ».

Enfin, j’essaye de décortiquer les marronniers à ce sujet et il y a toujours la même incompréhension des uns et des autres, de mon point de vue.

Pour $0^0$ ou $0!$ c’est encore la pirouette (inconsciente ?) éculée par les pros : « c’est le nombre d’applications », « c’est le nombre de permutations ».
Et bien non ! Faire ça, c’est changer la définition de celui qui pose la question.
La première fois que quelqu’un rencontre « la puissance d’entiers » ou « la factorielle » ce n’est pas un nombre d’applications ou autres permutations. Ce sont au moins deux nombres qu’on multiplie. (Voire deux unités pour $m^2$, je crois que c’est surtout ça la première fois qu’on voit $^2$).
Pour parler pompeusement, la fonction $\times$ prend d’abord deux arguments et ensuite elle est étendue.
Rien que pour $a^1$ et $1!$ ce n’est pas si simple, sauf à réfuter l’idée que cela vienne de la fonction $\times(.;.)$.
Et c’est souvent le cas de celui qui arrive sur le forum et qui dit « je ne comprends pas ». Il prend une volée de bois vert et on lui parle d’applications et de permutations… alors qu’il ne jouait qu’avec des entiers et un $\times$ dans sa classe de 4e de 2020. On a même eu une une mauvaise foi inouïe sur le sujet quand je parlais des « programmes officiels » et qu’un interlocuteur professionnel me disait que « ce qu’il appelait "officiel" n’était pas ça », bref.
Faut-il le mépriser pour autant, cet ado de 4e, en 2020 ?
C’est le fait d’étendre à ce que l’on a envie que ce soit qui donne l’idée de « poser des conventions commodes », pour les « formules » notamment.

Je suis d’accord évidemment qu’un bon choix de définitions (dans le supérieur en général, au lycée parfois) chasse alors toutes ces considérations.
Mais il s’agit bien d’une autre discussion, d’un autre paradigme.

Je suis d’accord aussi sur le fait que « le vide fait peur ». Ça n’est pas la même chose mais ça ajoute à la difficulté, sans doute.

Je suis d’accord enfin sur ta réticence à utiliser l’analyse et l’étude d’une limite en $(0,0)$ de $(x,y)\mapsto x^y$.

Désolé de ce message un peu trop long.

On définit pour tout entier $n$ et tout $a$ d'un monoïde $(M,*)$ avec neutre égal à $e$, $n!$ et $a^n$ par récurrence sur $n$ via $0!:=1$, $(n+1)!:= (n!)\times (n+1) $, $a^0:=e$ et $a^{n+1}:=\left ( a^n\right )*a$.

Par exemple $1!=1\times 1$ et $a^1=e*a$ et ces deux expressions sont "le produit de deux nombres".

C'est vrai qu'une définition est une convention. Le hic, c'est qu'on ne peut rien faire sans elles.
Je pense qu'il y a tout de même des consensus contemporains sur certaines fonctions mathématiques assez simples.
Le recours dans le discours à des axiomes et définitions précis sert aussi à évacuer toutes les pseudo-ontologies et autres pensées magiques, qui sont in fine des freins plus qu'autre chose.
Quelle tristesse de constater que des réponses simples à certaines questions (légitimes) sont disponibles depuis parfois un siècle et que l'anti-formalisme anti-bourbakiste haineux continue les masquer.

C’est une position Foys.
Elle est légitime.

Une autre position est de dire : est-ce qu’il est pertinent que tout le monde sache parfaitement quoi faire avec $a^0$ ? et n’est-il pas plus important que tout le monde sache quoi faire face à $a^n$ pour $n$ entre $2$ et $10$ ?

Je charge volontairement un peu la barque en restant entre $2$ et $10$. Mais c’est pour tenter un argumentaire.
Pour moi, qui ne suis pas un anti-Bourbakiste, je comprends la deuxième position.
Par contre, je ne souhaite absolument pas qu’on enlève tout et qu’on se restreigne à « $3^2$ se calcule avec une calculatrice donc inutile d’embêter les pauvres enfants avec ça ».
Il faut trouver un juste milieu où placer le « curseur pour tous ». Je crois qu’il est là, le débat (pas le débat de ce fil, mais le débat de la discussion que tu inities).

Ainsi, pour Robert de 4e en 2020 dans l’établissement REP qui accueille tout le monde et donc n’importe quel élève (dys divers et handicaps divers genre TDA et autre…), en gros pour ce « collège ordinaire statistiquement parlant », ça ne me dérange absolument pas qu’on lui dise que la puissance entière commence à partir de $2$, que c’est un produit, puis qu’on choisit de l’étendre à $1$, puis $0$, et enfin même à des puissances négatives.
Cette chronologie que tu trouveras très archaïque ne m’effraie pas.

Pour autant je ne la qualifierais pas de « pédagogiste à outrance ».

Nous ne sommes pas d'accord sur ce point.
La première fois qu'un élève rencontre la notation puissance est lorsqu'il voit $m^2$ et je ne crois pas que ce soit une erreur de lui dire que c'est une notation pour $m\times m$** sans même définir et parler des $a^n$ en général, pour des nombres.
Arrivé à ce niveau (primaire, donc), c'est très artificiel de parler d'une puissance $1$ ou encore $0$.

Au lycée, cela me va très bien que l'on définisse par récurrence comme tu le suggères.
Hum... faut-il savoir ensuite jouer avec les puissances négatives où tu dois à nouveau travailler en donnant une autre définition.

Édit : dans ce message http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,2311902,2313030#msg-2313030 qui me va très bien, tu t'aperçois que c'est toi qui rends la chose artificielle puisque tu es obligé de la définir ainsi : $a^0 := e$. Ce n'est pas un reproche. Cela ne se déduit de rien, c'est tout. Ainsi, qu'on le dise au tout début ou après quelques années, on finit par le dire.
Le désaccord réside dans "à quel moment le dire ?" mais il ne s'agit pas du tout d'un truc naturel qui ne devrait pas poser de problème.


[small]**on calcule des aires de rectangles en multipliant deux longueurs, ça se note $2 \, m \times 3 \, m$ puis $6 \, m^2$[/small]

Supposons qu'on ait déjà les fractions.
Soient $n$ un nombre non nul et $a,b,c,d$ des entiers tels que $a-d=c-b$. Alors $a+b=c+d$. Donc $n^{a}n^{b}=n^{a+b}=n^{c+d}=n^cn^d$.
Donc $\frac {n^a}{n^d} = \frac{n^c}{n^b}$. Ainsi, pour tout nombre $x$ qui est la différence de deux enties positifs $y$ et $z$, on peut définir $n^x$ comme étant $\frac {n^y}{n^z}$. Noter qu'on peut céder au caprice exigeant que $y\geq 2$ et $z\geq 2$ (tout nombre relatif est clairement la différence de deux nombres entiers supérieurs à $2$). On retrouve quand même $n^1=n$ et $n^0=1$ au bout du compte.

[suite à ce message

Heu ... Foys, tes "réponses simples" sont construites sur des mathématiques élaborées. Et tu confonds "s'appuyer sur les mathématiques élaborées pour refuser toute explication" et "expliquer", de même que tu confonds "'anti-formalisme anti-bourbakiste haineux" avec "demande de justification".

Tu as donné ici des définitions, tu n'as jamais dit pourquoi on les prenait. Bourbaki, au moins, finit son explication en disant que ça permet de généraliser des formules qu'il avait présentées avant.

Ton expression "'anti-formalisme anti-bourbakiste haineux" montre bien que ça te touche plus psychologiquement que mathématiquement, que ça remet en cause ta façon de comprendre les maths. Tu devrais soigner ça.

Cordialement.

C’est cela Foys.
Et ici, on part de ce que tu qualifies de « déjà bien ».
Cette multiplication pour enfant n’est pas honteuse.
Et il se trouve que « les puissances entières pour enfant » sont abordées avec leur multiplication.
J’estime que ce n’est pas honteux non plus.