Théorie catégories, propriétés universelles

Pardon, je viens de voir que tu avais posé une question.

ça met sur la voie au sens suivant : si j'ai un foncteur $F$ dont je cherche un représentant, je cherche non seulement un objet $A$, mais aussi un $x\in F(A)$ universel.

J'ai expliqué dans un autre fil en longueur à quoi sert, et à quoi ne sert pas la théorie des catégories. Dans les mathématiques "courantes" (kesako ?) elle sert principalement à séparer le formel du non formel : tu as un énoncé que tu veux prouver, la théorie des catégories te dit "ok, cette partie là et cette partie là tu t'en fiches complètement puisque je m'en occupe, toi, concentre-toi sur cette partie là qui est spécifique à cette situation".
ça simplifie énormément la vie de savoir ce qui est spécifique à ta situation et ce qui ne l'est pas.

ça c'est le paragraphe I de mon autre post. Le paragraphe II indique des directions pour des vraies applications. On pourra par exemple penser au théorème du point fixe de Lefschetz qui a une preuve 90% catégorique (et "donc" triviale); le paragraphe IV indique comment elles aident pour l'inspiration, pour les questions basiques auxquelles on doit/peut répondre en commençant un sujet, et finalement le paragraphe VI explique comment elles sont indispensables à la théorie de l'homotopie et ses embranchements (qui, de nos jours, ne se cantonnent plus du tout à la topologie algébrique)

Non tu n'es pas seule à avoir cette réserve, mais c'est parce que quasiment personne ne connait rien aux catégories, et que c'est fantasmé comme un truc super general qui, du coup, ne sert à rien. Mon but dans cet autre post était de briser ce malentendu, et de réduire la mesure dans laquelle "personne n'y connait rien".
L'intérêt de la théorie de la mesure, ça depend d'à qui tu demandes... Moi je n'utilise jamais de théorie de la mesure dans mon travail. Mais maintenant c'est assez vieux et assez élémentaire pour être dans le curriculum standard, donc tout le monde voit en gros de quoi ça parle, à quoi ça sert. Si on presentait de la même manière, avec autant de recul, les catégories, il y aurait certainement moins cette interrogation. Le souci c'est que les applications réelles sont moins élémentaires, mais à nouveau il y a de vastes champs de mathématiques qu'on ne peut même pas formuler sans...

Ensuite, je crois que tu ne comprends pas le point que je voulais illustrer avec l'exemple des anneaux principaux. Oui, il y a une (des) catégorie des anneaux principaux, mais savoir ça ne t'avance à rien pour la structure des modules de type fini dessus, par exemple; il faut connaitre certaines de ses propriétés etc. ce qui revient, au final, à prouver des choses sur les anneaux principaux. De la même maniere, savoir que $\mathbb Z$ est un ensemble ne t'apporte rien, il faut ensuite travailler sur ses éléments, la structure qu'on lui ajoute etc.
Ce que je dis c'est que pour prouver des choses sur un truc, il faut savoir des choses sur ce truc, pas juste "c'est une catégorie". Mais c'est une évidence !! Sans hypothèses supplémentaires, une catégorie c'est trop général.

Pour ta dernière question, je ne la comprends pas. Une catégorie c'est la donnée de certains objets, et des flèches entre eux, ainsi qu'une manière de les composer, vérifiant certains axiomes, point. La distinction classe/ensemble est inessentielle à ce stade, et on l'a certainement abordée 1000 fois sur le forum, il y a plein de manières de s'en débarasser. Si c'est vraiment ça ta question, on peut en rediscuter mais dans ce cas il faut préciser - ce que tu dis après me fait croire que ce n'est pas ça, ta question.

Une catégorie des théorèmes, ça pourrait exister. Faut juste me dire qui sont les morphismes et comment on les compose (et peut-être préciser un peu ce que tu entends par "théorème"). Pareil pour les autres...

En fait je ne comprends pas ce qui te bloque : qu'est-ce qui fait que tu te poses cette question et pas "peut-on créer des anneaux à l'infini ? Y a-t-il un anneau des théorèmes ? un anneau des quaternions ? des mesures de probabilité ? ... L'anneau des polynômes ressemble à celui des fonctions" ?
Les catégories de A,B modules peuvent effectivement se ressembler, mais peuvent aussi être différentes, je ne comprends pas non plus cette question.

Les catégories s'agencent par foncteurs, de la même manière que les anneaux s'agencent par morphismes d'anneaux

Tiens : structures algébriques libres.

Au tout début, Maxtimax référence un fil que j'avais initié avant, qui est intéressant en soi.

Si c'est le cas, c'est déguisé parce que moi je n'y comprends quasiment rien, aux modèles

Je parlais de ce fil, où il aurait été possible de considérer la catégorie des modèles.

PS : je lirai ce fil en détail, plus tard, quand j'aurai le temps.

Julia : c'est effectivement un corollaire du lemme de Yoneda, d'ailleurs le meilleur corollaire est "et tout isomorphisme est induit par un unique isomorphisme entre $A_1$ et $A_2$".

Comme tu l'indiques, ça permet de parler du représentant d'un foncteur et d'obtenir l'unicité à isomorphisme près dans toutes les propriétés universelles.

Mais ce n'est qu'une des applications possibles. Comme je l'expliquais dans l'autre fil, il permet aussi par exemple de réduire beaucoup d'énoncés à des énoncés ensemblistes.
Il est aussi essentiel dans la théorie des catégories présentables, qui est là où la machinerie catégorique est particulièrement adaptée et puissante. En quelques mots, le slogan est qu'énormément de catégories usuelles (celles qui nous intéressent) peuvent se voir comme des sous-catégories (pleines) de catégories de foncteurs. À partir de là, le lemme de Yoneda te permet de calculer des ensembles de morphismes dans ces catégories.

Il permet aussi de faire des calculs, en jonglant entre propriétés universelles etc.

Il permet aussi de travailler sur des objets d'une catégorie quelconque comme des ensembles, avec des "éléments généralisés" - c'est particulièrement pratique pour les catégories abéliennes et le "diagram chasing"

Bref, c'est le théorème le plus important de toute la théorie (ce qui rend son nom, "lemme", d'autant plus amusant) et il est essentiel pour à peu près tout.

JP a écrit:

$PU$ de l'anneau quotient (soit $A$ un anneau et $I$ un idéal de $A$) : il existe un anneau $R$ et un morphisme d'anneaux $p : A \rightarrow R$ tel que $I \subset \ker p$, tel que pour tout anneau $B$ et tout morphisme d'anneaux $f : A \rightarrow B $ tel que $I \subset Ker f$, il existe un unique morphisme d'anneaux $\overline {f} : R \rightarrow B$ tel que $f=\overline {f} \circ p$.
C'est ça ?

Oui c'est ça. Et là l'unicité à isomorphisme unique près est claire.

"La propriété universelle du quotient" en tant que telle n'a pas vraiment de sens, il y a tout de même la donnée de $A$ et de $I$ au départ, il faudrait donc parler de "la propriété universelle du quotient de $A$ par $I$" mais c'est un peu lourd.

Salut
Je note $\mathbf{A} := \text{Hom}(A,\bullet)$ et $\mathbf{B} := \text{Hom}(B,\bullet)$. On note : $f : \mathbf{A} \to \mathbf{B}$ et $g : \mathbf{B} \to \mathbf{A}$ les isomorphismes naturelles réciproques. Un petit diagramme pour m'amuser :
$$
\xymatrix{
\mathbf{B} \ar[r]^g \ar@/^2pc/[rr]^{\text{Id}_{\mathbf{B}}}& \mathbf{A} \ar[r]^f & \mathbf{B}
}
$$ On note : $ \psi : A \to B$ le morphisme d'anneau donné par $g_B(\text{Id}_B)$ et $\phi : B \to A$ le morphisme d'anneau $f_A(\text{Id}_A)$. On a le diagramme commutatif (qui vient des transformations naturelles) ;
$$
\xymatrix{
\mathbf{B}(A) \ar[r]^{g_A} \ar[d]_{\psi^\star} & \mathbf{A}(A) \ar[r]^{f_A} \ar[d]_{\psi^\star} & \mathbf{B}(A) \ar[d]_{\psi^\star} \\
\mathbf{B}(B) \ar[r]^{g_B} & \mathbf{A}(B) \ar[r]^{f_B} & \mathbf{B}(B)
}
$$ Remarque.
J'ai noté $\psi^\star : \mathbf{B}(A) \to \mathbf{B}(B)$ la composition à gauche par $\psi$ mais pour tous les foncteurs de la forme $\text{Hom}(C,\bullet)$ et $h : A \to B$, c'est exactement $\text{Hom}(C,h) : \text{Hom}(C,A) \to \text{Hom}(C,B)$ donc c'est un léger abus de notation dans les verticales que j'ai noté toujours $\psi^\star$ mais c'est toujours la multiplication à gauche par $\psi$ mais c'est l'action du foncteur $\mathbf{A}$ ou $\mathbf{B}$ sur le morphisme $\psi$.

Maintenant je prends $\text{Id}_A$ en haut au milieu du diagramme et je complète le diagramme :
$$ \xymatrix{
\star & \text{Id}_A \ar[r]^{f_A} \ar[d]_{\psi^\star} & \phi \ar[d]_{\psi^\star} \\
\text{Id}_B \ar[r]^{g_B} & \psi \ar[r]^{f_B} & \psi \circ \phi
}
$$ Comme $f_B \circ g_B = \text{Id}_{\text{Hom}(B,B)}$ et bien $\psi \circ \phi = \text{Id}_B$.
Vérifie que je ne me sois pas embrouillé mais je pense que ça tourne !

Tu dis "pour tout $X, F(X) \cong G(X)$ ", c'est beaucoup (beaucoup) moins fort que "$F$ est naturellement isomorphe à $G$"

Donc non, cela ne se "décline" pas selon $X$.
Et d'ailleurs tu le vois à la preuve de flipflop, le diagramme que tu ne comprends pas est exactement le diagramme de naturalité

Salut,

$f$ et $g$ sont des transformations naturelles c'est important et c'est cet oublie que souligne Max. Une transformation naturelle entre deux foncteurs $f : X \to Y$, c'est une collection $f_R : X(R) \to Y(R)$ où $R$ est un anneau mais vérifiant la condition suivante ! Pour tout morphisme d'anneau $\phi : R \to R'$ le diagramme suivant commute :
$$
\xymatrix{
X(R) \ar[r]^{f_R} \ar[d]^{X(\phi)} & Y(R) \ar[d]^{Y(\phi)} \\
X(R') \ar[r]_{f_R'} & Y(R')
}
$$
C'est naturelle comme condition, j'essaye de donner une illustration de cette condition de naturalité en restant dans la catégorie des anneaux commutatif.

Soit $n$ un entier, je note $M_n$ le foncteur donné par $R \mapsto M_n(R)$ donc les matrices $n \times n$ à coefficient dans $R$. L'action de se foncteur sur un morphisme d'anneau $\phi : R \to R'$ est simplement l'application de $\phi$ sur les coefficients de la matrice. Tu peux penser a $R = \Z$ et $R' = \Z/p\Z$ et $ \pi : \Z \to \Z/p\Z$ la réduction modulo $p$. Si tu prends une matrice $M$ à coefficient dans $\Z$, je ne pense pas que ça te semble bizarre de la réduire modulo $p$ et bien ici on note $M_n(\pi)(M)$ sa réduction modulo $p$ ( c'est ultra lourd comme notation).

Maintenant, je note $\mathbb{A}^1$ le foncteur donné par $R \mapsto \left( \text{$R$ vu en tant qu'ensemble} \right)$.

Et bien tu as une transformation naturelle $\text{Det} : M_n \to \mathbb{A}^1$. Pour un anneau $R$, $\text{Det}_R : M_n(R) \to \mathbb{A}^1(R)$ est donné par $M \mapsto \text{det}(M)$ !

La naturalité veut dire que si tu prends une matrice à coefficient dans $\Z$ et que tu la réduit modulo $p$ et qu'ensuite tu calculs son déterminant et bien c'est la même chose que de réduire modulo $p$ le déterminant (c'est lié au caractère polynomial du déterminant).