Application qui transporte une loi
Bonjour,
Voici une question que je me pose depuis longtemps.
De tout ensemble $X$ en bijection avec un groupe, on peut faire un groupe : $\varphi : G \rightarrow X$, $X$ de loi, pour $x=\varphi(g), x'=\varphi(g')$, alors $xx'=\varphi(g)\varphi(g') :=\varphi(gg')$, $x^{-1}=\varphi(g)^{-1} :=\varphi(g^{-1})$, $e_X :=\varphi(e_G)$. Cela devient un morphisme de groupes.
Comment appelle-t-on $\varphi$ ? Ce n'est pas un morphisme de groupes car $X$ n'en est pas un au départ, et ce n'est pas non plus une simple application car elle transmet une loi.
Merci d'avance.
Voici une question que je me pose depuis longtemps.
De tout ensemble $X$ en bijection avec un groupe, on peut faire un groupe : $\varphi : G \rightarrow X$, $X$ de loi, pour $x=\varphi(g), x'=\varphi(g')$, alors $xx'=\varphi(g)\varphi(g') :=\varphi(gg')$, $x^{-1}=\varphi(g)^{-1} :=\varphi(g^{-1})$, $e_X :=\varphi(e_G)$. Cela devient un morphisme de groupes.
Comment appelle-t-on $\varphi$ ? Ce n'est pas un morphisme de groupes car $X$ n'en est pas un au départ, et ce n'est pas non plus une simple application car elle transmet une loi.
Merci d'avance.
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Réponses
@Julia : dans le même ordre d'idée, mais peut-être plus facile à saisir : supposons que tu travailles dans ZF (donc tu ne sais pas que tout ensemble peut être bien ordonné). Tu te donnes un certain ensemble $X$ "brut de décoffrage", c'est-à-dire sans aucune structure dessus, en particulier pas d'ordre. Imagine que par une méthode quelconque tu as réussi à montrer qu'il existe une bijection $\varphi$ de $X$ sur un certain ordinal $\alpha$. Alors tu vas en déduire que $X$ est bien ordonnable, tout simplement parce qu'il hérite du bon ordre naturel de $\alpha$ via la bijection $\varphi$ (ou $\varphi^{-1}$).
J'ai employé "via" juste histoire de ne pas parler comme Max, mais bien sûr tu peux aussi dire que le bon ordre a été transféré de $\alpha$ sur $X$ par la définition
$$x < y \Leftrightarrow \varphi(x) \in \varphi(y).$$
À noter que la définition de morphisme engage le langage, pas les axiomes qui gouverne la structure.
Par ailleurs, on va pas se trimballer des "morphismes de structure multiplicative" alors que "morphisme de groupes" est plus rapide à dire, à écrire, et plus clair dans le contexte.
.
(en tout cas je me souviens d'une année de préparation des concours des CPGE où d'aucuns auraient choisi le terme transfert pour un tel phénomène!)
Et pour ajouter une contribution un tant soit peu utile, on lit aussi parfois que $X$ hérite (en anglais, inherits) de la structure de groupe de $G$ via $\varphi$.
Oui, une bijection ça correspond simplement à un "renommage d'éléments". Si au départ tes éléments pouvaient se multiplier entre eux, tu peux toujours le faire après avoir changé leurs noms !
Certes, mais ça n'a rien à voir avec la question que tu poses ici.
PS : Il vaut mieux parler de transport de structure que de transfert de structure, il me semble que c'est l'expression la plus communément utilisée.