Récurrence généralisée
Bonjour
Quelle est la définition de principe de
Récurrence généralisée sur une famille pas nécessairement suite ?
Dans quel cas peux-je utiliser cette méthode de démonstration ?
Merci beaucoup
Quelle est la définition de principe de
Récurrence généralisée sur une famille pas nécessairement suite ?
Dans quel cas peux-je utiliser cette méthode de démonstration ?
Merci beaucoup
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Réponses
C'est exactement ça
Soit X un ensemble et P(X) l'ensemble des parties de X
Si on a Une propriété dépendant de A partie de X.
Si cette propriété est vraie pour A égal le vide et si pour A fixé, la propriété est vraie pour tout B strictement continue dans A implique que la propriété est vraie pour A.
Est-ce qu'on peut conclure par récurrence transfinie que la propriété vraie pour toutes les parties de X ?
Merci
1) Je n'ai pas compris pourquoi je ne peux pas appliquer le théorème de démonstration par récurrence transfinie dans mon exemple.
2) Si je remplace dans mon exemple propriété par égalité ou formule dépendant de A partie de X, est-ce que je peux conclure que la formule ou l'égalité est vraie pour toute partie A de X ?
Merci.
$\forall A \in \mathcal{P}(X), (\forall B,B\subset A \Longrightarrow \varphi(B)) \Longrightarrow \varphi(A)$.
Dans ce que propose Foys, à savoir par exemple $\varphi(A):=$"$A$ est fini" et $X=\mathbb{N}$, l'hérédité n'est pas satisfaite justement pour $A= \mathbb{N}$.
Pour tout $X$, si $(\mathcal P (X),\subset)$ est bien fondé, $X$ est fini.