Deux hypothèses

Sneg
Sneg
dans Fondements et Logique
Bonjour,

Voici ma question :

Hypothèse A $\Longrightarrow$ Hypothèse B $\Longrightarrow$ Contradiction.

Dans ce cas, peut-on savoir à quelle hypothèse imputer la contradiction ?
En d’autres mots, peut-on savoir quelle hypothèse est fausse ? A ? B ? A et B ? A ou B ?

On pourrait éventuellement remplacer le mot Hypothèse par le mot Affirmation.

Réponses

  • Médiat
    Médiat
    Si je comprends bien, vous $ A \Rightarrow B$ est faux, donc $\neg (A\Rightarrow B)$ est vraie, c'est à dire $A \wedge \neg B$ est vraie
  • Math Coss
    Math Coss
    Note pour commencer que l'absence de parenthésage est ambiguë : l'implication n'est pas une abréviation de « donc » et $P\implies (Q\implies R)$ et $(P\implies Q)\implies R$ ne sont pas synonymes.

    Cela dit, $P\implies(Q\implies R)$ doit être synonyme de $(P\text{ et }Q)\implies R$.
  • Sneg
    Sneg
    Bonjour, Médiat et Math Coss,
    Merci pour vos réponses.

    Je rectifie ma notation :
    « Si (A implique B) et (B implique C), alors A implique C » semble être un théorème.

    Supposons que C soit une « contradiction ».
    Puis-je conclure du théorème que A implique une contradiction, et donc que A est faux ?
  • Poirot
    Poirot
    Pourquoi introduire inutilement ce $B$ ? Tu dis que $A \Rightarrow C$ est vraie et $C$ est fausse. En regardant la table de vérité de l'implication, on en déduit que $A$ est fausse.
  • Foys
    Foys
    Sneg a écrit:
    Voici ma question :

    Hypothèse A $\Rightarrow$ Hypothèse B $\Rightarrow$ Contradiction.

    Dans ce cas, peut-on savoir à quelle hypothèse imputer la contradiction ?
    En d’autres mots, peut-on savoir quelle hypothèse est fausse ? A ? B ? A et B ? A ou B ?
    Les 3 cas se produisent. Sans autre précision on ne sait pas.

    Considérons les énoncés $A:= x=y$, $B:= x=z$ et $C:=y=z$

    Les règles de manipulation de l'égalité entraînent que $A \Rightarrow (B \Rightarrow C)$, autrement dit $x=y \Rightarrow (x=z \Rightarrow y = z)$ qui est une tautologie du calcul des prédicats avec égalité.
    Maintenant regardons ce qui se passe quand $x,y,z$ désignent des nombres entiers.

    (i) si $x=1,y=1,z=2$ alors $A$ est vraie, $B$ ("$1=2$") est fausse et $C$ est fausse.
    (ii) si $x=1$, $y=2$ et $z=1$ alors $A$ est fausse, $B$ est vraie et $C$ est fausse.
    (iii) si $x=1$, $y=2$ et $z=3$ alors $A,B$ et $C$ sont fausses.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Sneg
    Sneg
    Bonjour, Poirot.
    J’introduis ce B parce que j’ai l’impression que je ne peux pas faire autrement. :-)

    Voici ma façon de démontrer que A est faux dans :
    Si A implique B et B implique C, alors A implique C
    quand C est une « contradiction ».

    1) « B implique une contradiction » entraîne que B est faux.

    2) « A implique B » est équivalent à « B(faux) implique A(faux) ».

    3) Comme B est faux (voir le point 1), cela implique que A est faux également (voir le point 2).

    C’est juste ?

    Ajout : Pardon, Foys, je n’avais pas vu ton message que je vais lire.
  • Sneg
    Sneg
    Bonjour,

    Voici une question différente des précédentes.

    Soit :
    B n’est possible que si A est possible.
    B n’est pas possible.
    Donc ?...

    Je ne connais pas la réponse, mais j’ai envie de dire : « Donc, A n’est pas possible », sur base de :
    B ssi A
    entraîne
    Non(B) implique Non(A). (Contraposée de A implique B.)

    C’est juste ? Merci d’avance.
  • JLapin
    JLapin
    Ce que tu supposes semble être
    $non(A)\implies non(B)$
    ou encore
    $B\implies A$.

    Tu ne peux donc rien savoir sur la valeur de vérité de A lorsque B est une propriété fausse.
  • Sneg
    Sneg
    Merci, JLapin !

    Pour m’aider à comprendre ta réponse, je décortique mon problème :

    Comment écrire en langage logique : « B n’est possible que si A est possible » ?

    Merci.
  • Médiat
    Médiat
    La "possibilité" est une notion de certaines logiques modales, comme la logique aléthique, est-ce cela dont vous parlez ?

    Sinon en logique classique, on ne parle que de "vrai" ou "faux"
  • Sneg
    Sneg
    Bonjour, Médiat,

    Ok, je reformule ma question :

    Comment écrire en langage logique « B n’est vrai que si A est vrai » ?

    Merci.
  • Foys
    Foys
    Sneg a écrit:
    Comment écrire en langage logique « B n’est vrai que si A est vrai » ?
    Ca peut être (suivant ton intention):
    "$B \Rightarrow A$" si tu veux dire que lorsque $A$ est faux, $B$ est forcément faux (édité, cf message de JLapin plus bas!).
    "$A \Leftrightarrow B$" si tu veux dire que lorsque $B$ est faux, $A$ est forcément faux mais aussi, si $B$ est vrai alors $A$ est forcément vrai.

    Regarde les tables de vérité comme cela a été suggéré ci-dessus.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • JLapin
    JLapin
    Sneg a écrit:
    http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,2306060,2307250#msg-2307250
    Comment écrire en langage logique « B n’est vrai que si A est vrai » ?

    $B\implies A$.
  • Sneg
    Sneg
    Merci, Foys et JLapin, c’est très gentil.
  • Sneg
    Sneg
    Bonjour, c’est à nouveau moi.

    Voici mon problème de logique :

    Considérons comme vraie la proposition P suivante :
    « La possibilité de boire repose sur la possibilité d’ouvrir la bouche »,
    qui me semble être équivalente à
    « La possibilité de boire suppose la possibilité d’ouvrir la bouche ».
    (On suppose vivre dans un monde où les sondes nasales ou autres techniques médicales de substitution n’existent pas.)

    Si A = « Pouvoir boire »
    et
    Si B = « Pouvoir ouvrir la bouche »

    alors, comment traduire en langage logique la proposition P ?

    Un autre exemple, peut-être plus clair.
    En médecine gynécologique, une femme qui accouche suppose la fécondation préalable d’un ovule.
    Comment traduire cela en langage logique ?
    « fécondation » implique « accouchement » ? (Pas forcément vrai.)
    « accouchement » implique « fécondation » ? (Me paraît juste.)
    Merci d’avance.

    Merci d’avance.
  • Foys
    Foys
    Sneg: remplis le tableau suivant, ensuite reconnais la table de vérité d'un certain connecteur logique (ou d'une combinaison de ceux-ci) dans la colonne de droite: ce sera la formule logique cherchée.

    A:="il est possible de boire "
    B:= "il est possible de respirer par la bouche"
    C :="la possibilité de boire repose sur la possibilité d'ouvrir la bouche"
    A | B | C
    V | V | ?
    F | V | ?
    V | F | ?
    F | F | ?
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Foys
    Foys
    Pour l'histoire d'accouchement, c'est pareil.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Sneg
    Sneg
    Foys,

    Je ne suis pas sûre de pouvoir répondre à ta question, mais en, observant ta méthode, je crois pouvoir dire que la réponse à ma question est : « (pouvoir) boire » implique « (pouvoir) ouvrir la bouche », car « ne pas (pouvoir) boire et (pouvoir) ouvrir la bouche » peut être considéré comme vrai, si c’est pour respirer.
  • Foys
    Foys
    Oui.
    Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
  • Sneg
    Sneg
    Bonjour,

    Pardonnez-moi d’insister un peu lourdement sur quelque chose d’apparemment simple.

    Imaginons qu’un jour, après une malencontreuse chute sur le poignet, Léonard de Vinci ait dit à Mona Lisa :

    « Si je peux utiliser ma main, alors je peux faire votre portrait. Mais si je ne peux pas utiliser ma main, alors je ne peux pas faire votre portrait. »

    Je traduis cela logiquement par :

    « Léonard de Vinci peut utiliser sa main ssi Léonard de Vinci peut faire le portrait de Mona Lisa. »

    Est-ce juste ?

    Merci d’avance.
  • Médiat
    Médiat
    Oui.

    Si vous voulez explorer un peu la manipulation de l'implication regarder la phrase :
    Je peux ce que je ne veux, je veux ce que je ne peux, double peine

    Est-ce vraiment une double peine ?
  • Sneg
    Sneg
    Merci, Médiat.

    En réponse à votre question, je dirai qu’on est dans le cas du « ou » exclusif : XOR.
    Oui ?
  • Médiat
    Médiat
    Non, pas dut tout.
    Indice : traduisez en langage formel
  • PetitLutinMalicieux
    PetitLutinMalicieux
    Bonjour,

    Ou sinon, imagine un dessin de patates. L'ensemble de ce que je veux et l'ensemble de ce que je peux.
    Ce site est fatigant. Les gens modifient sans cesse leurs messages passés, et on ne comprend plus rien à la discussion. Je suis nostalgique du temps où, si on postait une bêtise, on devait l'assumer. Et si on cite le passage pour l'ancrer, l'administrateur supprime en disant qu'on n'a pas besoin de recopier le message passé.
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