Produit vide d'espaces vectoriels

Un produit d'espaces vectoriels, c'est une somme directe donc je dirais plutôt $\{0_{\K}\}$.

Topopot : ça va dépendre de la manière précise dont tu "encodes" (définis) le produit.

En principe avec la définition usuelle, le $0$ ne sera pas (forcément) strictement le $0$ de $K$, mais ce sera l'unique application $\emptyset\to \emptyset$ .

Mais tous les espaces nuls sont uniquement isomorphes, et le produit n'est souvent dèfini qu'à iso près

Un produit vide contient un seul élément en général.
Soit $(E_i)_{i \in I}$ une famille d'ensembles; alors $\prod_{i \in I} E_i $ est par définition(*) $\{f:I \to \bigcup_{j\in I} E_j \mid \forall k \in I, f(k) \in E_k\}$.

Lorsque $I=\emptyset$, $\prod_{i\in I} E_i = \{\emptyset\}$. En effet:

-Pour tout ensemble $F$, $\emptyset$ est une fonction (une fonction est un ensemble $g$ dont (i) tous les éléments sont des couples et (ii) tel que pour tous $p\in X,q,r$, si $(p,q)\in g$ et $(p,r)\in g$ alors $q=r$; $\emptyset$ satisfait (i) -sinon il y aurait dans $\emptyset$ un élément qui n'est pas un couple - et (ii): sinon il y aurait dans $\emptyset$ deux couples de la forme $(a,b)$ et $(a,c)$, tels que $b\neq c$).
-Le domaine d'un ensemble $X$ est l'ensemble de tous les $u$ tels qu'il existe $v$ tel que $(u,v)\in X$. Le domaine de $\emptyset$ est égal à $\emptyset$ (sinon il existe $w,x$ tel que $(w,x)\in \emptyset$).
-L'image d'un ensemble $T$ est l'ensemble des $s$ tels qu'il existe $r$ tel que $(r,s)\in T$. L'image de $\emptyset$ est égale à $\emptyset$ (pour les mêmes raisons que ci-dessus).
-"$h: M \to N$" est l'abréviation de "$h$ est une fonction dont le domaine est égal à $M$ et dont l'image est contenue dans $N$". On dit aussi "$h$ est une fonction de $M$ dans $N$".
-Pour tout ensemble $V$, $\emptyset$ est contenu dans $V$ (sinon il existe $t\in \emptyset$ tel que $t\notin V$).
-On voit donc que $\emptyset$ est une fonction de $\emptyset$ dans $\bigcup_{i\in I} E_i$.

Soient $a,b$ des ensembles. On désigne par $a(b)$ la réunion des ensembles $c$ tels que $(b,c)\in a$. Lorsqu'il existe un unique $d$ tel que $(b,d)\in a$, $a(b)$ est alors égal à $d$. Autrement dit, lorsque $f$ est une fonction et $x$ est dans son domaine, $f(x)$ est l'unique objet tel que $\left (x,f(x) \right) \in f$.

-Pour tout $i\in \emptyset$, $\emptyset (i) \in E_i$. Sinon, il existe $j\in \emptyset$ tel que $\emptyset (j) \notin E_j$ ce qui est à nouveau impossible.

Toutes ces considérations montrent que $\emptyset \in \prod_{i\in I} E_i$.

-Soient $f,g\in \prod_{i\in I} E_i$. Si $f\neq g$, il existe $x\in \emptyset$ tel que $f(x)\neq g(x)$ (ce qui est impossible car $\emptyset$ est vide ...). Ainsi $f=g$. $\emptyset$ est l'unique élément de $\prod_{i \in I} E_i$.

En particulier, comme n'importe quel singleton, $\prod_{i \in I} E_i$ possède sur n'importe quel corps une unique structure d'espace vectoriel.

[size=x-small](*) Je laisse momentanément de côté les considérations catégoriques. Les catégories montrent comment unifier tous les encodages des maths, dans le cas particulier d'un produit on aurait le cahier des charges que n'importe quel objet qualifié de produit dans n'importe quelle catégorie devrait respecter. Mais ici, on s'efforce plutôt de donner des éléments d'au moins un tel encodage.[/size]

@topopot : selon Bourbaki, E II.14, l'ensemble vide est un graphe fonctionnel (cf. définition 9, E II.13). En effet, l'on a (cf. E I.40)\[(\forall\,x)(\forall\,y)(\forall\,y')\left(\left((x,\,y)\in\emptyset\text{ et }(x,\,y')\in\emptyset\right)\Rightarrow{}y=y'\right)\] Une fonction dont le graphe est vide a pour ensemble de définition et pour ensemble des valeurs l'ensemble vide. Celle de ces fonctions dont l'ensemble d'arrivée est vide est appelée la fonction vide, que l'on note $\emptyset=(\emptyset,\,\emptyset,\,\emptyset)$.