Schéma de consistance axiomes théorie ens.
Bonjour, je ne suis pas un spécialiste de la théorie des ensembles et
1) Je cherche un schéma de la consistance des différents axiomes qui fondent les théories des ensembles. A savoir ZF, Axiome du Choix, Axiome Choix Dépendant, Axiome Fondation, Axiome Cardinal Accessible, Hypothèse du Continu. Un schéma de cette nature se trouvait sur ce site, mais je ne le vois plus.
2) Avec ZF+Axiome de Choix on peut construire $\mathbb{R}$ et un théorème affirme que toute partie de $\mathbb{R}$ peut être munie d'un bon ordre. Est ce que $\mathcal{P}(\mathbb{R})$ peut être alors vu comme un ensemble d'ordinaux ordonnés par l'ordre de l'inclusion ?
3) Avec ZF+Axiome Choix on construit $\mathbb{R}$ à partir de $\omega$ (en se donnant les bonnes structures qui définissent ordre, addition, multiplication sur $\mathbb{R}$). Est-ce que $\mathbb{R}$ peut être vu comme un ensemble d'ordinaux ?
4) Soit une copie de ZFC et un ensemble d'ordinaux $E$ (ce n'est donc pas l'univers entier puisque la collection des ordinaux n'est pas un ensemble). Si ZFC est contradictoire sur $E$, ZFC est-elle contradictoire pour cette copie de ZFC ?
Merci de donner réponse à au moins une partie de mes questions.
1) Je cherche un schéma de la consistance des différents axiomes qui fondent les théories des ensembles. A savoir ZF, Axiome du Choix, Axiome Choix Dépendant, Axiome Fondation, Axiome Cardinal Accessible, Hypothèse du Continu. Un schéma de cette nature se trouvait sur ce site, mais je ne le vois plus.
2) Avec ZF+Axiome de Choix on peut construire $\mathbb{R}$ et un théorème affirme que toute partie de $\mathbb{R}$ peut être munie d'un bon ordre. Est ce que $\mathcal{P}(\mathbb{R})$ peut être alors vu comme un ensemble d'ordinaux ordonnés par l'ordre de l'inclusion ?
3) Avec ZF+Axiome Choix on construit $\mathbb{R}$ à partir de $\omega$ (en se donnant les bonnes structures qui définissent ordre, addition, multiplication sur $\mathbb{R}$). Est-ce que $\mathbb{R}$ peut être vu comme un ensemble d'ordinaux ?
4) Soit une copie de ZFC et un ensemble d'ordinaux $E$ (ce n'est donc pas l'univers entier puisque la collection des ordinaux n'est pas un ensemble). Si ZFC est contradictoire sur $E$, ZFC est-elle contradictoire pour cette copie de ZFC ?
Merci de donner réponse à au moins une partie de mes questions.
Les mathématiques ne sont pas vraies, elles sont commodes.
Henri Poincaré
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Réponses
1) Je ne suis pas sûr de savoir ce que tu veux exactement. Je te livre ce qu'on sait.
a) ZFC + Il existe un cardinal inaccessible entraîne la consistance de ZFC.
b) ZFC + Axiome du choix implique l'axiome du choix dépendant.
c) L'axiome de fondation fait partie intégrante de ZF (sauf chez Krivine). De toutes façons, si on note ZF* la théorie ZF privée de l'axiome de fondation, alors ZF et ZF* ont la même consistance, i.e. que AF est indépendant du reste.
d) ZF, ZFC et ZFC+ HC ont la même consistance. Autrement dit, AC est indépendant de ZF, et HC est indépendante de ZFC.
2) Là, ça commence mal. Thanks God il n'y a pas besoin de AC pour construire $\mathbb{R}$, une théorie beaucoup plus faible que ZF suffit. Par contre, oui, dans ZF + AC, $\mathbb{R}$ peut être muni d'un bon ordre. En revanche l'inclusion n'est pas du tout un bon ordre (ni même un ordre total) sur $\mathscr P(\mathbb{R})$.
3) Avec ZFC tu disposes d'un bon ordre sur $\mathbb{R}$. Il y a effectivement un théorème qui dit qu'à ce bon ordre correspond un unique ordinal $\alpha$, et donc à tout élément de $\mathbb{R}$ correspond un unique $\beta < \alpha$. Donc en un certain sens $\mathbb{R}$ peut être vu comme l'image directe d'un certain ensemble d'ordinaux par une certaine bijection. Mais le bon ordre est totalement artificiel (donc la bijection aussi) et en particulier n'a rien à voir avec la structure de $\mathbb{R}$ telle qu'on la connaît. En plus, si AC est vrai il n'y a non pas un mais une flopée de bons ordres sur $\mathbb{R}$.
4) C'est quoi une "copie de ZFC" ? Jamais entendu causer.
Par contre je ne peux pas répondre à la question "Si ZFC est contradictoire sur E, ZFC est-elle contradictoire pour cette copie de ZFC ?" car elle ne veut rien dire. Une théorie est contradictoire ou elle ne l'est pas, point barre.
Aucune forme de choix n'est nécessaire pour construire $\mathbb{R}$. Tu as juste besoin des axiomes suivants : extensionnalité, schéma de compréhension, paire, réunion, parties, infini.
J'aimerais bien voir l'exemple dont tu parles.
De toutes façons, ce n'est pas parce qu'on peut construire $\mathbb{R}$ en utilisant l'axiome du choix dépendant qu'on ne peut pas le construire sans.
Ce n'est pas parce l'axiome du choix permet de construire un objet que celui est requis pour la construction de cet objet. Autrement dit, ne pas confondre condition suffisante et condition nécessaire.
On nage en plein délire là...
> On nage en plein délire là...
On ne nage pas dans un délire, on en souffre. Poirot et Martial ne respectent pas la charte du forum en opposant des attaques personnelles aux arguments scientifiques contenus dans les articles que je partage en téléchargement.
Où vois tu une attaque personnelle, AlainLyon ?
"Attaquer" un discours n'est pas "attaquer" une personne.
Cordialement,
Rescassol