Conséquences de AD

Martial
Martial
dans Fondements et Logique
Salut à tous,

Une fois de plus je vais saouler tout le monde mais vous devez commencer à avoir l'habitude. Je cherche une preuve COMPREHENSIBLE du fait que si l'axiome de détermination est vrai, alors $\aleph_1$ est un cardinal mesurable. J'ai regardé dans les deux Jech ("Set Theory" et "The Axiom of Choice") et dans le Dehornoy, mais ça dépasse un peu mes compétences. Bizarrement, Kanamori le fait pour $\aleph_2$ pais pas pour $\aleph_1$.

Je suis également preneur d'une preuve que, sous AD, le filtre des clos cofinaux sur $\omega_1$ est un ultrafiltre. En d'autres termes, toute partie de $\omega_1$, soit contient un club, soit est disjointe d'au moins un club.

Merci d'avance si vous avez des idées

Martial

Réponses

  • Poirot
    Poirot
    Ce n'est pas précisément cet ultrafiltre qui fait que $\aleph_1$ est mesurable ?
  • Maxtimax
    Maxtimax
    J'avais écrit un truc en prépa, je peux te l'envoyer si tu veux mais je sais pas si j'avais été ultra clair (et je ne vais pas me relire :-D )
  • Martial
    Martial
    @Poirot : si, mais ça dépend comment on voit les choses. Jech part d'un autre filtre, dont il démontre, sous AD, que c'est un ultrafiltre. Ensuite il montre que sous AD il n'y a qu'un seul ultrafiltre non principal sur $\omega_1$, et au passage que le truc qu'il a construit plus haut est en fait le (ultra)filtre des clos cofinaux.

    @Max : Merci, je veux bien que tu m'envoies ton papier de l'époque, je me charge personnellement de la relecture, lol.
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Bon, ça vaut pas grand chose (enfin je sais pas), mais il m'avait semblé à l'époque comprendre au moins en grande partie ce que j'avais écrit. Il est possible que ce ne soit pas le cas et vu que j'ai essentiellement tout oublié j'aurais du mal à combler les trous s'il y en a (ce qui est probable).

    Il s'agit de la section 4.3 et des suivantes (on observera que mes skills LaTeX laissaient à désirer :-D )
    tipe.pdf 381.1K
  • Martial
    Martial
    Un grand merci, Max. Ce papier est une véritable mine d'or !

    La dernière proposition page 12 et le dernier lemme pages 13/14 sont exactement ce qui me manquait. Certes, les énoncés figurent dans la littérature, mais les preuves ne valent pas un clou, et les détails techniques sont laissés au soin du lecteur. Exemples : "it is easy to see that", ou encore mieux : "On montre que la construction peut se faire de façon suffisamment canonique pour que l'ensemble des codes soit $\Pi^1_1$".

    Je vais ENFIN pouvoir écrire quelque chose de propre !

    J'aime bien ta conclusion : "Ainsi, AD est un axiome de grands cardinaux caché".
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Attends de voir si c'est compréhensible avant de me remercier ;-)
  • Martial
    Martial
    Ça a l'air compréhensible. En fait ça dit la même chose que dans les bouquins, mais avec davantage d'explications, et effectivement, on voit que tu as compris ce que tu écris.

    Juste un truc : désolé de te casser la tête avec ça, mais au début de la preuve du dernier lemme page 13, que signifie exactement l'écriture $y=x \oplus z$ ?
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Je la définis dans la preuve de la proposition "F est un filtre" : $x\oplus z$ est la suite qui alterne entre $x$ et $z$ (un moyen de trouver facilement une suite de "complexité" supérieure à $x$ et $z$, en fait la borne sup si je ne m'abuse)

    (ah, je vois qu'il y a un petit bug avec le fait que dans "cone(x)", x n'a pas à être une suite. Je ne sais plus pourquoi j'ai écrit ça, mais je crois qu'on peut se restreindre aux cones de la forme cone(x) avec x$\in \omega^\omega$)
  • christophe c
    christophe c
    Coucou Martial. Non dispo, mais passant par là, je te propose d'essayer de prouver toi même les 2 trucs que tu dis à coups de degrés de Turing. Cette route là est peut-être scripturalement plus longue que celles de tes livres ou du doc de max (je n'ai rien lu, je dis ça au hasard), mais elle est (sans mentir à coup de "il est clair que") presque triviale.

    Cela provient de ce que (sous AD) toute partie $A$ de $(Turing,\leq_{complexite})$ contient ou est disjointe d'un cône, un cône étant un ensemble de la forme $\{x\mid a\leq_{complexite} x\}$
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Christophe: je crois que c'est essentiellement ce que je fais dans mon doc, sans le mot degré de Turing
  • Martial
    Martial
    @Max : merci pour l'explication. Concernant le bug il y a le même souci dans la preuve de Jech, ou dans celle de Dehornoy (d'ailleurs il semble que le second a copié sur le premier, lol). Je pense qu'on peut régler le problème en identifiant une stratégie, qui est une fonction de $\omega^{< \omega}$ dans $\omega$, à un élément de $\omega^{\omega}$, via une bijection récursive entre $\omega^{< \omega}$ et $\omega$.

    @Christophe : Salut ! J'espère que ta rentrée s'est bien passée. Je ne suis pas du tout expert en degrés de Turing, et du coup Max a très bien fait de ne pas en parler...
  • Maxtimax
    Maxtimax
    Martial : oui c'est ce que j'imaginais aussi - c'est possiblement pénible à écrire mais au moins ça marche.
  • Martial
    Martial
    Ça me rassure. Quand j'aurai fini de rédiger tout ça je posterai le fichier, et si tu as 5 minutes tu me diras ce que tu en penses.
  • christophe c
    christophe c
    De mon téléphone et pardon pour les délais exorbitants.

    Oui les degrés de Turing et de manière générale la récursion theory en mode état d'esprit sont souvent concernés et produisent des résultats intuitifs mais longs à formaliser

    Je t'extrais (vu le délai tu es.peut être déjà passé à tout autre chose ou peut être c'est déjà ds le.doc de max le "recursion-joyau"

    Notant un:=f(xn) la borne sup des ordinaux programmable (ou autre notion) à partir du REEL xn, montrer l'existence d'un REEL y tel que :

    Tous les xn sont programmables à partir de y
    ET
    f(y) = sup des un

    Si on ne demandait QUE f(y) >= au lieu de = ce serait trivial. Mais ce qui est rigolo c'est que la on doit "faire tourner la tête, etourdire" y pour qu'il dépasse bien chaque xn sans risquer de lui filer en kit carrément la suite n |
    > xn

    C'est un exemple de conflit de polarité fascinant qu'apporte ici la TDE (Se servir des.gros pour atteindre des bits de petitesse)
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • christophe c
    christophe c
    Et merci pour l'info max je vais télécharger ton doc sur mon pc via wifi (ou tenter du ménage avec la carte HD de mon téléphone)
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Martial
    Martial
    @Christophe : oui je suis effectivement passé à autre chose. Concernant les conséquences de AD j'ai donné le résultat des courses ici :
    http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,2307606

    Mais néanmoins ça ne fait pas de mal d'avoir quelques infos concernant un autre de point de vue. Merci pour tes explications.
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