Démonstration triviale
Bonjour à tous
Selon-vous une démonstration triviale produit-elle nécessairement un résultat trivial ?
Bien à vous camarades.
Selon-vous une démonstration triviale produit-elle nécessairement un résultat trivial ?
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Réponses
Quel est le sens de "trivial" ? Une des définitions du mot en français courant est "Qui est d'une crudité choquante, malséante ; grossier, vulgaire".
Cordialement.
Après certaines preuves triviales peuvent passer longtemps inaperçues: par exemple:
étant donné un ensemble fini de points du plan, s'ils ne sont pas tous alignés, il existe une droite qui passe par exactement deux de ces points (Sylvester-Gallai. Il a fallu des décennies pour montrer ça; exo!! Consulter le web si on n'y arrive pas, tout est documenté).
On parle alors parfois d'astuces, sauf quand ça se généralise à d'autres contextes (et peut devenir une méthode).
D'autant plus que "preuve triviale" dépend énormément du background supposé. En particulier, quand une nouvelle technologie est introduite et permet de trivialiser certaines preuves, on obtient les mêmes énoncés (qui n'en sont donc pas plus triviaux) avec des preuves triviales
On ne cherche pas une preuve difficile et un résultat évident, mais l'inverse. Un résultat pas évident et une preuve facile. La question est "cela existe-t-il ?".
Mon premier réflexe est de penser à la quantité de partie d'échecs, qui est finie. Ce n'est pas évident a priori. Mais la démonstration est facile puisque, de proche en proche, on aboutit toujours à une règle qui met fin à la partie. Inutile de dire qu'il est inenvisageable de faire tous les cas possibles.
Soit $K$ un corps ordonné et $E\subseteq K^2$. Soit $L$ un surcorps de $K$. Alors $E$ est aligné dans $L^2$ si et seulement si il l'est dans $K^2$. Par suite on peut exploiter le fait que tout corps ordonné est plongé dans un corps réel clos (cf Bourbaki algèbre chapitres 4 à 7).
Je ne sais pas par contre dans quelle mesure ces notions étaient connues à l'époque.
Le résultat de Foys sur les corps réels clos (dû à Artin-Schreier) date de 1927.
Source : English Wikipedia
Il est bien que soit venue une règle interdisant les positions mobiles stationnaires au jeu d'échecs, sinon la finitude... mais cette règle pas si triviale n'est pas si ancienne que cela.
À bientôt.
Cherche livres et objets du domaine mathématique :
Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.
Pour le coup le résultat a l'air bien plus difficile certes!
Il y a sans doute des « degrés de trivialité », liés aussi aux divers niveaux des personnes.
Bonne journée.
Fr. Ch.
Le lemme de Schur est bien plus simple, il affirme que si $V,W$ sont deux représentations irréductibles d'un groupe $G$, et $f:V\to W$ un morphisme non nul, alors il est inversible. Celui-ci est bien plus simple.
Lemme : Soient $V$ et $W$ des représentations linéaires irréductibles du groupe $G$, et soit $f : V \to W$ une application $G$-équivariante. Alors $f$ est non nulle si et seulement si $f$ est un isomorphisme.
Démonstration : Une implication est triviale. Réciproquement, si $f$ est non nulle, alors son image n'est pas réduite à $\{0\}$. Or, $f$ étant $G$-équivariante, son image est une sous-représentation de $W$, et donc par irréductibilité, $f$ est surjective. De même le noyau de $f$ est une sous-représentation de $V$, et $f$ étant non nulle, l'irréductibilité de $V$ implique que ce noyau est $\{0\}$. Finalement, $f$ est un bien un isomorphisme.
Corollaire : Si $V$ est une représentation linéaire irréductible du groupe $G$ sur un corps algébriquement clos $k$, alors $\dim \mathrm{Hom}_G(V, V) = 1$. En particulier, si $G$ est abélien, $V$ est une droite.
Démonstration : Il suffit de montrer que s'il existe un morphisme de représentations non nul de $V$ dans $V$ alors c'est une homothétie. Mais si $f$ est un tel morphisme, et $k$ étant algébriquement clos, $f$ admet au moins une valeur propre $\lambda$. Mais alors $f - \lambda \mathrm{id}_V$ est également un morphisme de représentation, et il est non injectif par définition de $\lambda$, et donc d'après le lemme de Schur, est nul.
On peut déduire de tout ça l'orthogonalité des caractères de représentations irréductibles non isomorphes d'un groupe fini, ce qui est véritablement fondamental pour la théorie des représentations de ces groupes.
Moi, plus ça va, et moins je comprends ce que "trivial" veut dire.
Pour info, on pose $\alpha_0 = \omega$, $\alpha_{n+1} = \omega^{\alpha_n}$ et $\varepsilon_0 = sup \{\alpha_n : n \in \omega\}$.