Petite justification ensembliste
Voici deux trucs un petit peu bêtes auxquels j'ai pensés :
1) Étant donné un ensemble quelconque $X$, montrer qu'il existe toujours un ensemble $Y$ tel que $Y\notin X$.
En effet, on peut prendre $Y=X$, ou $Y=\mathcal P(X)$, ou $Y=\mathcal P(\mathcal P(X))$, etc.
Est-ce qu'il y a d'autres constructions plus simples ou est-ce qu'elles sont toutes de cette forme ?
2) Étant donné un ensemble quelconque $X$, montrer qu'il existe toujours un ensemble $Y$ équipotent à $X$ et disjoint de $X$.
Je ne trouve pas de justification satisfaisante pour $X$ quelconque.
1) Étant donné un ensemble quelconque $X$, montrer qu'il existe toujours un ensemble $Y$ tel que $Y\notin X$.
En effet, on peut prendre $Y=X$, ou $Y=\mathcal P(X)$, ou $Y=\mathcal P(\mathcal P(X))$, etc.
Est-ce qu'il y a d'autres constructions plus simples ou est-ce qu'elles sont toutes de cette forme ?
2) Étant donné un ensemble quelconque $X$, montrer qu'il existe toujours un ensemble $Y$ équipotent à $X$ et disjoint de $X$.
Je ne trouve pas de justification satisfaisante pour $X$ quelconque.
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Réponses
Pour le 2)
Si $X=\emptyset$ alors $Y=X$ convient.
Sinon, soit $x \in X$, alors le produit cartésien $\{x\} \times X$ est équipotent à $X$ et disjoint de $X$.
Pour le 1), comment justifies-tu que $\mathcal P(X) \notin X$ ?
Intéressant cet ensemble $X_H$ je ne pensais pas comme ça qu'on pouvait expliciter un ensemble qui n'appartient pas à $X$.
Dans le même ordre d'idée, pour la seconde question, on peut trouver un $x_R$ "petit Russell" tel que $\{x_R\} \times X$ et $X$ (et même $\{x_R\} \times Z$ et $X$ pour n'importe quel $Z$) sont disjoints.
On prend $x_R:=\{ x \ | \ \exists y((x,y) \in X \wedge x \notin x\}$. On peut montrer son existence par compréhension et union, en notant qu'il est inclus dans $\bigcup X$. L'argumentation est ensuite la même que précédemment.
Pour le 2) le 1er exemple qui m'est venu à l'esprit est celui de Blueberry.
Pour simplifier, soit $\mathfrak{e}$ le type ensemble. Soit $y$ de type $\mathfrak{e}$. Que signifie l'énoncé $(\forall\,x:\mathfrak{e})(x\in{}y)$. Que peut-on en déduire ? (certaines interventions permettent cette déduction).
Pour la 2), l'on se servira de la 1).
Pour la 1), ma préférée est celle de Martial.
Pour la 2), comme Blueberry, je n'arrive pas à justifier formellement que si $x\in X$, alors $X\cap\left( \{x\}\cup X\right)=\emptyset$.
$\{ h \} \times X$ est disjoint de $X$.
Tu choisis $h$ hors de $\cup \cup X$, c'est-à-dire $h$ tel que $h \notin \cup \cup X$.
Si l'on avait $(h, x) \in X$ avec $x \in X$, on aurait $\{ \{h\}, \{h, x\} \} \in X$, soit $h \in \{h\} \in \{ \{h\}, \{h, x\} \} \in X$, ce qui contredit l'hypothèse faite sur $h$.
Es-tu sûr que $\{h\} \times X$ convient, à savoir, est disjoint de $X$ ?
Par ailleurs, je n'ai rien supposé à propos de $X$, qui est un ensemble quelconque.
2°) Soit $X$ un ensemble et $t$ n'appartenant pas à $\bigcup X$ (édité). Alors $Y:=\{a \cup \{t\} \mid a \in X\}$ est disjoint de $X$ et équipotent à $X$. Noter que $Y$ est une partie de $(\bigcup X) \cup \{t\}$ et que donc son existence peut se montrer sans le schéma de substitution.
Je note $A \Delta B = (A \setminus \cup (B \setminus A)$ la différence symétrique de $A$ et $B$.
Je choisis $h$ hors de $ \{x \Delta y \mid x, y \in X \}$ et je considère l'ensemble $Y = \{ x \Delta h \mid x \in X \}$.
$X$ et $Y$ sont disjoints et en bijection par l'application
$f : X \rightarrow Y, x \mapsto x \Delta h$