Petite justification ensembliste
Voici deux trucs un petit peu bêtes auxquels j'ai pensés :
1) Étant donné un ensemble quelconque $X$, montrer qu'il existe toujours un ensemble $Y$ tel que $Y\notin X$.
En effet, on peut prendre $Y=X$, ou $Y=\mathcal P(X)$, ou $Y=\mathcal P(\mathcal P(X))$, etc.
Est-ce qu'il y a d'autres constructions plus simples ou est-ce qu'elles sont toutes de cette forme ?
2) Étant donné un ensemble quelconque $X$, montrer qu'il existe toujours un ensemble $Y$ équipotent à $X$ et disjoint de $X$.
Je ne trouve pas de justification satisfaisante pour $X$ quelconque.
1) Étant donné un ensemble quelconque $X$, montrer qu'il existe toujours un ensemble $Y$ tel que $Y\notin X$.
En effet, on peut prendre $Y=X$, ou $Y=\mathcal P(X)$, ou $Y=\mathcal P(\mathcal P(X))$, etc.
Est-ce qu'il y a d'autres constructions plus simples ou est-ce qu'elles sont toutes de cette forme ?
2) Étant donné un ensemble quelconque $X$, montrer qu'il existe toujours un ensemble $Y$ équipotent à $X$ et disjoint de $X$.
Je ne trouve pas de justification satisfaisante pour $X$ quelconque.
Réponses
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Hello,
Pour le 2)
Si $X=\emptyset$ alors $Y=X$ convient.
Sinon, soit $x \in X$, alors le produit cartésien $\{x\} \times X$ est équipotent à $X$ et disjoint de $X$.
Pour le 1), comment justifies-tu que $\mathcal P(X) \notin X$ ? -
Il existe un ensemble canonique $X_H$ qui satisfait $X_H \notin X$, c'est l'ensemble de Russell $X_H:=\{ x \in X \ | \ x \notin x\}$. On voit que $X_H \in X$ est absurde, car cela donne lieu au célèbre paradoxe.
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Euh, $X_H$ n'est pas un ensemble que je sache.
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@Blueberry oui c'est bien un ensemble (cf. schéma d'axiomes de compréhension https://fr.wikipedia.org/wiki/Schéma_d'axiomes_de_compréhension)
Intéressant cet ensemble $X_H$ je ne pensais pas comme ça qu'on pouvait expliciter un ensemble qui n'appartient pas à $X$. -
Ah oui exact.
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Blueberry: C'est un ensemble en vertu d'un axiome de compréhension (c'est un sous-ensemble de $X$).
Dans le même ordre d'idée, pour la seconde question, on peut trouver un $x_R$ "petit Russell" tel que $\{x_R\} \times X$ et $X$ (et même $\{x_R\} \times Z$ et $X$ pour n'importe quel $Z$) sont disjoints.
On prend $x_R:=\{ x \ | \ \exists y((x,y) \in X \wedge x \notin x\}$. On peut montrer son existence par compréhension et union, en notant qu'il est inclus dans $\bigcup X$. L'argumentation est ensuite la même que précédemment. -
Effectivement, car j'étais en train de me dire que pour $x \in X$ quelconque, les ensembles $\{x\}\times X$ et $X$ n'ont aucune raison d'être disjoints.
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raoul.S: Oui, c'est une sorte d'axiome du choix gratuit, mais qui tombe toujours à côté (td)
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@topopot : pour le 1), vue la façon ont la question est formilée tu n'est pas obligé de donner un exemple : il suffit de dire que si l'énoncé est faux, on a $\forall Y, Y \in X$, donc $X$ est l'ensemble de tous les ensembles, et on sait que cette notion est contradictoire.
Pour le 2) le 1er exemple qui m'est venu à l'esprit est celui de Blueberry. -
Sauf que finalement je ne vois pas pourquoi $\{x\}\times X$ et $X$ seraient disjoints.
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Bonsoir,
Pour simplifier, soit $\mathfrak{e}$ le type ensemble. Soit $y$ de type $\mathfrak{e}$. Que signifie l'énoncé $(\forall\,x:\mathfrak{e})(x\in{}y)$. Que peut-on en déduire ? (certaines interventions permettent cette déduction).
Pour la 2), l'on se servira de la 1).Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême). -
Merci pour vos réponses.
Pour la 1), ma préférée est celle de Martial.
Pour la 2), comme Blueberry, je n'arrive pas à justifier formellement que si $x\in X$, alors $X\cap\left( \{x\}\cup X\right)=\emptyset$. -
Hors de $X$ tu veux dire ? Qu'est-ce que $\cup\cup X$ ?
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Si $Y$ est un ensemble, $\cup Y$ est la réunion des éléments de $Y$, autrement dit $x \in \cup Y \Leftrightarrow \exists z \in Y, x \in z$.
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$\cup X$, c'est la réunion de éléments de X, autrement dit l'ensemble des éléments des éléments de $X$, dont l'existence est garantie par l'axiome de la réunion. $\cup \cup X$, c'est donc l'ensemble des éléments des éléments des éléments de $X$.
Tu choisis $h$ hors de $\cup \cup X$, c'est-à-dire $h$ tel que $h \notin \cup \cup X$.
Si l'on avait $(h, x) \in X$ avec $x \in X$, on aurait $\{ \{h\}, \{h, x\} \} \in X$, soit $h \in \{h\} \in \{ \{h\}, \{h, x\} \} \in X$, ce qui contredit l'hypothèse faite sur $h$. -
C'est marrant, je croyais que la définition officielle du couple $(a,b)$ était $(a,b):=\{a;\{a;b\}\}$, mais en fait la définition de Kuratowski est bien celle mentionnée par GG.
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@GG : bonsoir. D'où sors-tu que $X$ est, à l'origine, un ensemble de couples ? En revanche, en vertu du 1), il existe $h\not\in{}X$, de sorte que l'ensemble de couples $Y=\{h\}\times{}X$ convient.Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
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Salut Thierry, je considère $X = \{$ $ \{ \varnothing \}, \{ \{\varnothing\}, \{\varnothing, \{\varnothing\}\}\}$ $ \}$ et je choisis $h = \varnothing$ qui n'appartient pas à $X$.
Es-tu sûr que $\{h\} \times X$ convient, à savoir, est disjoint de $X$ ?
Par ailleurs, je n'ai rien supposé à propos de $X$, qui est un ensemble quelconque. -
@GG : soit $X$ de type ensemble. Par double application de l'axiome de réunion, l'on obtient l'ensemble $\cup\cup{}X$ sur lequel l'on applique le point 1), point d'où l'on tire l'existence de $h$ tel que $h\not\in\cup\cup{}X$. Soit $x\in{}X$. Si l'on avait $(h,\,x)=\{\{h\},\,\{h,\,x\}\}\in{}X$, alors $\{h\}\in\cup{}X$, au même titre que $\{h,\,x\}\in\cup{}X$, de sorte que $h\in\cup\cup{}X$, contrairement à la définition ci-dessus de $h$.Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
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Finalement, pour avoir un ensemble équipotent à $E \ne \emptyset$ et disjoints de $E$ il suffit de poser $\epsilon := \cup \cup E$ et l'ensemble $\{ \epsilon \} \times E$ répond à la question.
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1°) L'argument diagonal montre que pour tout ensemble $W$, l'ensemble $s:=\{x \in W\mid x \notin x\}$ n'appartient pas à $W$ (sans quoi on aurait $s \in s \Leftrightarrow s \notin s$).
2°) Soit $X$ un ensemble et $t$ n'appartenant pas à $\bigcup X$ (édité). Alors $Y:=\{a \cup \{t\} \mid a \in X\}$ est disjoint de $X$ et équipotent à $X$. Noter que $Y$ est une partie de $(\bigcup X) \cup \{t\}$ et que donc son existence peut se montrer sans le schéma de substitution.Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$. -
@Foys : bonsoir. Ta solution au point 2) est plus élégante et n’exige pas de faire appel à un arsenal d'axiomes, là où peu de notions sont nécessaires.Le chat ouvrit les yeux, le soleil y entra. Le chat ferma les yeux, le soleil y resta. Voilà pourquoi le soir, quand le chat se réveille, j'aperçois dans le noir deux morceaux de soleil. (Maurice Carême).
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Sauf que ce n'est pas une solution...! Ce fil étrange contient déjà je ne sais combien de fois la même solution et autant de variantes erronées; j'ai l'impression que les gens ne lisent pas les messages précédents avant de poster.
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Hop la coquille est corrigée Palabra :-)Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
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Ok Foys! Au moins cette solution est un peu différente
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J'ai du mal à vérifier que le $Y$ dans le 2) de Foys marche.
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@topopot, j'ai encore pensé à un autre argument (qui fait appel au schéma de remplacement, mais non à l'axiome de la réunion), plus "conventionnel" et qui te conviendra peur-être mieux :
Je note $A \Delta B = (A \setminus \cup (B \setminus A)$ la différence symétrique de $A$ et $B$.
Je choisis $h$ hors de $ \{x \Delta y \mid x, y \in X \}$ et je considère l'ensemble $Y = \{ x \Delta h \mid x \in X \}$.
$X$ et $Y$ sont disjoints et en bijection par l'application
$f : X \rightarrow Y, x \mapsto x \Delta h$
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