Théories des ensembles

Tu as lu ça où ? (10, ça me fait penser à ça :-D )

Je réponds à la seconde question (sachant que c'est compliqué de répondre "non" à une question comme la première, mais la réponse est certainement "non". Enfin, ça dépend de ce que la personne qui disait ça entendait par là)

En maths hors de théorie des ensembles on se fiche quasiment à 100% de nos fondations, on fait essentiellement des trucs qui se passent dans ZFC mais sans jamais vraiment se poser la question de si c'est ZFC. En principe ZFC a été créée pour plus ou moins calquer les raisonnements qu'on connait, donc c'est là dedans qu'on travaille, par design - et on répond "ZFC" quand on nous demande parce qu'on a la flemme de se poser la question, et surtout (c'est la raison principale) parce que sur les grandes lignes ça ne change rien.
Un truc qui potentiellement changerait beaucoup (notamment en algèbre et certaines parties de l'analyse fonctionnelle) c'est retirer AC, et certaines personnes font gaffe à ça et tu verras des articles qui précisent être sans AC (plus précisément peut-être, dans ZF) - mais c'est l'exception.
Après il faut parfois quelques aménagements, notamment quand on fait des catégories (donc catégoristes, certain-e-s géomètres ou topologues), typiquement des univers. En général c'est uniquement pour se simplifier la vie et pas quelque chose d'essentiel : c'est aussi pour ça qu'on n'y réfléchit pas, parce qu'en principe les idées sont imperméables à des petites variations (et qu'on n'utilise que très rarement, voire jamais, la force totale de ces trucs)

Bref, oui, les matheuxses professionnel-le-s savent qu'iels travaillent dans ZFC, la plupart du temps, mais la plupart du temps ça ne change rien.

(tout ceci en évitant soigneusement les gens qui travaillent en logique, en théorie des ensembles, en fondements etc. qui, là, savent vraiment de quoi il est question)

J'allais répondre à ta deuxième question mais Max m'a grillé, et en plus il a tout dit. (J'aurais dit à peu près la même chose, mais en moins détaillé et moins précis).

@Jean-Louis : de rien.
"je te revaudrai ça avec un plein pot de grès..."
Fredo, si tu nous regardes...

@Max : c'est bien la première fois que je t'entends dire que tu ne connais rien à quelque chose. Hélas, cela ne m'arrange guère...

@Homo Topi : ce que tu dis est intéressant mais ce n'est pas l'objet de la discussion. Jean-Louis s'intéresse aux théories ALTERNATIVES à ZFC, dont certaines n'ont aucun rapport avec ce à quoi on est habitués. Par exemple, dans NF (New Foundations, Quine), la classe universelle $\mathbb{V}$ est un ENSEMBLE.

@Homo Topi : Non.
1) La théorie $T_0=$ ZFC + HGC est un enrichissement de ZFC. On a simplement rajouté un axiome dont on sait que ni lui ni sa négation ne peut être prouvé dans la théorie initiale. Mais cette théorie a la même consistance que ZFC. En d'autres termes, si on trouve une contradiction dans ZFC + HGC, alors il y en a aussi une dans ZFC... et même dans ZF tout court.
2) La théorie $T_1 =$ ZFC + "il existe un cardinal inaccessible" est un renforcement de ZFC. $T_1$ est strictement plus forte que ZFC au sens où $T_1$ démontre la consistance de ZFC, alors que la consistance de ZFC n'entraîne pas la consistance de $T_1$.

Mais aucune de ces théories n'est une théorie alternative : les bases sont les mêmes, simplement on rajoute des axiomes parce que ça nous arrange.

Une théorie alternative, c'est une théorie qui part sur des bases radicalement différentes de celles de ZFC. Si tu veux en savoir plus je t'invite à lire les deux papiers que j'ai mentionnés ci-dessus, qui sont largement abordables.

La plupart des mathématiciens s'en foutent dans quelle théorie ils travaillent, moi le premier. Ça n'a aucune importance sauf si tu vas gratter dans les coins.

Désolé je ne voulais pas être aussi méprisant avec l'expression "gratter dans les coins", je voulais juste dire qu'en faisant des maths "classiques", on reste assez loin des problèmes des fondements des mathématiques.

C'est toujours la métaphore de l'informaticien qui ne s'occupe guère comment ses processeurs marchent, sauf si justement il va gratter dans les coins où il a besoin de savoir ce qui s'y passe !

Quant à la remarque de savoir si je suis mathématicien ou pas, je te laisse la responsabilité de donner une définition de "mathématicien".

Je squate légèrement ce sujet, mais par rapport au lien posté plus haut par Martial : comment traduit-on en Français pure set theory et impure set theory ? Je n'ai pas connaissance d'avoir entendu des équivalents de ça durant mes études (et quelques requêtes en français ne donnent rien sur mon moteur de recherche, donc je traduis peut-être mal :-D)