Majorant d'une limite inductive
Bonjour
Soit $ (E_n ,f_{nm}) $ un système direct d'une catégorie (par exemple des espaces vectoriels) et $(E,g_n) $ sa limite directe ou inductive.
Supposons qu'il y a un objet $G $ de cette catégorie vérifiant $E_n$ inclus dans $G $ Pour tout $n$.
A-t-on que $ E $ inclus dans $G $ ?
Merci.
Soit $ (E_n ,f_{nm}) $ un système direct d'une catégorie (par exemple des espaces vectoriels) et $(E,g_n) $ sa limite directe ou inductive.
Supposons qu'il y a un objet $G $ de cette catégorie vérifiant $E_n$ inclus dans $G $ Pour tout $n$.
A-t-on que $ E $ inclus dans $G $ ?
Merci.
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Réponses
En général, je ne sais pas, je ne fais pas assez de catégories pour savoir. Peut-être que Maxtimax saura répondre.
Si le mot inclusion veut dire "monomorphisme" (par exemple), il y aura des cas où c'est faux, et des cas où c'est vrai.
C'est vrai dans les $R$-modules et plus généralement (comme tu l'indiques) quand les limites directes sont exactes.
Un contre-exemple est donné par l'opposé de la catégorie des groupes abéliens, et les morphismes $\mathbb Z\to \mathbb Z/p^n$ (plus généralement, tout sous groupe dense non ferné d'un groupe profini donne un contre-exemple)
Exemple.
Soit $(X_{\alpha})_{\alpha\in A}$ une famille d'ensembles et $ E=\otimes_{\alpha\in A} \mathbb{R}^{X_{\alpha}}$ le produit tensoriel des espaces vectoriels $\mathbb{R}^{X_{\alpha}}$.
Soit $E_{I}=\otimes_{\alpha\in I}\mathbb{R}^{X_{\alpha}}$ pour tout $I\subset A,\ I$ est fini.
On sait que, chaque $E_{I}$ s'injecte dans $ \mathbb{R}^{\prod_{\alpha}X_{\alpha}}$ et
on a $E_{I}$ est la limite inductive du système $(E_{I},\ \sigma_{I,J})$.
$$ E=\lim_{\rightarrow}E_{I}.
$$ A-t-on $ E=\otimes \mathbb{R}^{X_{\alpha}}$ s'injecte dans $ \mathbb{R}^{\prod_{\alpha}X_{\alpha}}$ ?
Merci.
Je simplifié mon problème.
Si (f_a) [est] une famille quelconque indexée par A de fonctions continues réelles sur un compact X.
A-t-on que le produit tensoriel infini de ces fonctions est une fonction continue sur X^A (X exposant A) ? Merci.