Petite question sur la théorie des ensembles

@Julia Paule, les entiers sont finis, mais peuvent (dans certains univers) avoir un nombre infini d'éléments au sens intuitif !
Voilà comment je me figure la chose. C'est intuitif, peu rigoureux, et peut-être même faux (?), mais j'ai très peu de connaissances en logique, et les participants plus compétents me corrigeront et t'expliqueront mieux.

Un ordinal limite est un ordinal non nul et qui ne possède pas de prédécesseur. On formule souvent l'axiome de l'infini par : il existe un ordinal limite. On note $\omega$ le plus petit.
Tous les ordinaux inférieurs à $\omega$, ses éléments donc, sont nuls ou ont un prédécesseur. On les appelle les entiers naturels.

On se figure donc que la liste des ordinaux commence par :

$0, 1, 2, ..., \omega, \omega+1, ..., 2\omega, 2\omega+1, ...$

Mais il peut arriver que ça soit plutôt, par exemple :

$0, 1, 2, ..., $ $... \alpha-2, \alpha-1, \alpha, \alpha+1, \alpha+2, ..., \omega, \omega+1, ..., 2\omega, 2\omega+1, ...$ où $\alpha$ est un certain ordinal.

$\alpha$ est donc un ordinal fini, mais qui possède un nombre infini d'éléments !
Tu me rétorqueras qu'$\alpha$ n'est pas un ordinal puisqu'il n'est pas bien ordonné (par $\in$) : la partie $\{ ... \alpha-2, \alpha-1, \alpha \}$ n'a pas de plus petit élément. C'est là le hic ! C'est une partie au sens intuitif, mais pas une partie de $\alpha$ en tant qu'élément de l'univers.

Le mystère s'est maintenant déplacé : comment est-il possible qu'une partie d'$\omega$ au sens intuitif ne soit pas un ensemble de l'univers ?
Cela vient du fait que le schéma de compréhension $\exists x \forall y $ $( y \in x \Leftrightarrow (y \in \omega \wedge P(y)))$ ne peut s'appliquer qu'à un nombre infini dénombrable de formules $P(y)$ alors que le nombre de parties d'$\omega$ au sens intuitif est infini non dénombrable.

@JP : suite à ceci et bien que ce point ne soit pas important, clairement $x\in\{x\}$ quel que soit $x$ de type ensemble. Supposons que l'on travaille sans l'axiome de fondation. Rien n'interdit d'avoir $a\in{}a$ pour un certain $a$ de type ensemble. Supposons que ce soit le cas. Comme $a\in\{a\}$, il vient que $a\in\left(a\cap\{a\}\right)$.

Bonjour GG

1)"ZF du 2nd ordre" : il suffit de prendre les axiomes de ZF et de dire que la logique à utiliesr est celle du 2nd ordre, la logique du 2nd ordre peut être considérée comme une théorie faible des ensembles

2) Je ne pense pas, dans la mesure où les modèles du 2nd ordre dépendent du domaine choisie (pour quantifier sur les sous-ensembles)

3) Je ne serais pas surpris, ayant écrit un document sur les ensembles de nombres, je n'ai pas expliqué dans l'introduction, pourquoi je ne parlerais pas d'autres choses

4) Je ne suis pas dans la tête des gens qui ont écrit sur des théories des ensembles, mais ,ne pas avoir de théorème de compacité, ni de Löwenheim-Skolem, ni d'interprétation à la fois complète et correcte, sont bien des "défauts"

1) J"ai écrit "la logique du 2nd ordre peut être considérée comme une théorie faible des ensembles" avant même de parler d'une quelconque théorie

2) Mais comme il y a plusieurs modèles... j'ai du mal à dire qu'il n-y en a qu'un

3) Ben si on décide d'écrire un bouquin sur ZF(C) (qui est une théorie du 1er ordre) pourquoi parler d'aure chose (comme les 30 (*) autres théories des ensembles)

(*) Je n'ai jamais compté, c'est sans doute plus

GG a écrit:

2) Si oui, est-il vrai que tous ses modèles sont isomorphes, et donc ce n'est pas le cas que certains aient des entiers finis avec un nombre infini d'éléments au sens intuitif, et d'autres pas ?

Médiat a écrit:

En fait il faut définir le domaine, c'est-à-dire les sous-ensembles sur lesquels on peut quantifier, et on peut se rassurer en disant "on les prend tous", mais cela ne fait pas faire un seul pas mathématique en avant pour expliciter de quoi on parle...

2) Je ne pense pas, dans la mesure où les modèles du 2nd ordre dépendent du domaine choisie (pour quantifier sur les sous-ensembles)

Quitte à raconter d'ÉNORMES salades je vais essayer d'interpréter la réponse de Médiat, en tout cas c'est comme ça que je la comprends.

On s'autorise à quantifier sur les relations unaires et on désire que toute partie au sens intuitif d'un ensemble soit un ensemble (ce qui est probablement un vœu pieux).

Soit donc $a$ un ensemble. Dire qu'une relation unaire $Z$ est une partie au sens intuitif de $a$ peut s'exprimer avec l'énoncé $R(Z,a)$ définit par $ R(Z,a):= \forall x, \ Z(x)\Rightarrow x\in a$.

Dire que toute partie au sens intuitif de $a$ correspond à un ensemble devrait donc s'écrire : $\forall Z,\ \exists z,\ R(Z,a)\Rightarrow \text{égal}(Z,z), \quad (1)$

où $\text{égal}(Z,z)$ est l'énoncé $\forall b,\ Z(b)\Leftrightarrow b\in z$.

Sauf que naturellement l'énoncé $(1)$ ne dit absolument pas que toute partie au sens intuitif de $a$ correspond à un ensemble. En effet pourquoi ne pourrait-il pas exister un univers dans lequel les variables $Z$ ne capturent pas toutes les parties intuitives d'un ensemble $a$ ?