Petite question sur la théorie des ensembles

Question de débutant que je suis :
Tu dis « un ensemble peut appartenir à lui même ».
Je loupe quelque chose mais je n’ai pas vu un tel ensemble dans ton message (même le vide n’appartient pas au vide, si ?).

@JP : un ordinal est un ensemble bien ordonné $(\alpha,\,\leqslant_{\alpha})$ vérifiant l’énoncé suivant [(\forall\,\beta)(\beta\in\alpha\Rightarrow\beta=\mbox{seg}_{\alpha}(\beta))\]D'une manière générale et sans l'axiome de fondation, rien n'interdit a priori d'avoir $x\in{}x$ pour un certain ensemble $x$ (que l'on n'a jamais rencontré).

Toutefois, pour les ordinaux, les choses changent totalement, puisque, si l'on avait $\alpha\in\alpha$ pour un certain ordinal $\alpha$, l'on aurait par définition $\alpha=\mbox{seg}_{\alpha}(\alpha)$, soit $\alpha<\alpha$ (i.e. $\alpha\not\in\alpha$), ce qui nous conduirait à une contradiction.

Je le répète, sans l'axiome de fondation, l'on ne peut pas se prononcer avec certitude ; donc ce n'est pas général sans cet axiome. Avec cet axiome, l'on ajoute une contrainte à la relation $\in$ de manière à avoir $x\not\in{}x$ quelque que soit $x$ de type ensemble.

Puisque tu y es, regarde ce qu'est une relation bien-fondée.

@Julia Paule: la théorie des ensembles (ou plutôt disons: celle qui est de très loin la plus utilisée: ZF car il doit y avoir une trentaine de théories des ensembles différentes) est une théorie construite sur la logique du premier ordre, ce qui veut dire que tous les objets envisagés (et sur lesquels on peut quantifier: "$\forall x:F(x)$" voulant dire "tout objet $x$ possède la propriété $F$") sont "de même nature", en l'espèce des ensembles.
En théorie des ensembles il n'y a que des ensembles.
Les fonctions sont des ensembles; les nombres sont des ensembles, etc.

Bonjour,

"ce n'est pas l'axiome du choix (qui fait des bizarreries, peut-être plus qu'avec l'axiome de l'infini seul, certes, mais pour moi à la base, c'est avec l'axiome de l'infini qu'elles commencent"

Je partage largement ce point de vue.

Autrement, peut-être qu'un des points à mettre en avant ici est un élément en rapport d'ailleurs avec ce dont parle Foys, à savoir que la théorie des ensembles n'est pas réellement la théorie des ensembles... On accorde à (ou aux plutôt) théorie des ensembles un statut particulier mais tout cela repose sur un jeu de langage et un engagement philosophique plutôt qu'autre chose.
En clair, la théorie des ensembles est une théorie comme les autres du premier ordre (celle des groupes, des corps, etc.) et devrait, par analogie, s'appeler la "théorie des univers". En effet, la théorie des groupes s'appelle ainsi, par exemple, parce qu'elle traite du comportement de certains "ensembles" qu'on va pouvoir appeler groupes (et elle ne s'appelle pas théorie des éléments des groupes...).
De la même façon, la "théorie des ensembles" ne fait que traiter du comportement de certains "ensembles" (et c'est là que commence les problèmes de langage) qu'on appelle "univers".

L'idée que les univers et leurs éléments se comportent de la façon dont nous voudrions que les "ensembles" de "tous les jours" se comportent repose sur un parti pris, une posture philosophique. Cavaillès avait beaucoup travaillé sur ce point notamment.
Ainsi les éléments des univers dont traite la théorie des ensembles devraient s'appeler précisément "ensemble-objet" (par exemple) (ou truc...) et non "ensemble". De même le symbole $\in$ devrait être appelé "appartenance-objet" (ou relation "muche", par exemple).
Du coup, la correspondance totale entre "théorie des ensembles" (ou plutôt "théorie des univers") et notre monde mathématique est purement philosophique (il existe évidemment des correspondances sous la forme de certaines transformations de formules du premier ordre relatives à la théorie des univers en formules de notre monde mathématique); en particulier, comme d'ailleurs cela l'a été souligné dans d'autres posts, la non-cohérence de n'importe quelle théorie des univers n'impliquerait en rien la non-cohérence des mathématiques. Mais cela permettrait éventuellement de dégager la base d'une éventuelle preuve à notre niveau.

Bref, tout cela pour dire, que le formalisme retenu par la théorie des univers est propre aux univers et doit être étudié comme on étudie tout autre théorie. Dans ces conditions, le fait qu'un "truc" puisse ou non être en relation "muche" avec ce même "truc" est une simple question qu'on peut poser à une théorie des univers donnée: soit cette théorie des univers (par exemple ZF) répond que tout "truc" est toujours (resp. n'est jamais) en relation muche avec ce même "truc" (et dans ce cas, on a un théorème), soit on peut décider d'ajouter un axiome pour créer une théorie des univers augmentée. C'est totalement et strictement identique (et c'est vraiment ce point qui est important à noter) à se demander si un groupe est toujours commutatif, et une fois le constat que non, décider de développer la théorie des groupes commutatifs et celle des groupes non-commutatifs si besoin.

@l

@Thierry Poma: oui, tout à fait, entre autres. Ce que j'explique n'est évidemment pas original mais permet d'éviter pas mal de problèmes quand on aborde la théorie des ensembles.
En particulier, cela permet de comprendre de façon beaucoup plus "détendue" et "simple" l'idée que ZF ne puisse "prouver sa consistance". En fait, on montre au final que ZF prouve qu'un ZF-objet recréé dans un univers, avec une correspondance-"objet" de ce que ce signifie la cohérence, ne peut du coup prouver (selon cette définition de "prouver") sa cohérence. Bref, tout ça devient non plus un "monstre" conceptuel où on serait en train de faire des raisonnements réflexifs sur notre propre monde mathématique, mais un "simple" montage (complexe quand même...) équivalent à des preuves complexes de théorie des groupes (par exemple).
Ce qui pose systématiquement des problèmes en théorie des ensemble, c'est quand on joue trop à vouloir faire de la théorie des univers un support de réflexions philosophiques sur notre monde mathématique.
Les débats philosophiques, et les tentatives de correspondance entre la théorie des univers et "notre monde", sont intéressants (évidemment) mais dans un second temps, je pense.

Et on gagne beaucoup à être précis sur les dénominations des objets; j'avais fait un post il y a longtemps sur ce point, où j'avais justement détaillé cette question, en utilisant (à la suite de Krivine entre autres) la notation $\lceil ... \rceil$ pour les objets d'un univers (comme par exemple utiliser $\lceil \in \rceil$ pour le symbole de relation binaire utilisé en théorie des univers) (et ensuite $\lceil... \lceil ... \rceil... \rceil$ pour les objets dans des univers-objets à des niveaux quelconques créés à l'intérieur d'un univers donné).

Dans ces conditions, l'axiome de fondation devient $\forall x \ \ \neg (x\lceil \in \rceil x)$.
Du coup, cette formule se détache un peu plus d'une volonté de rattacher ça à notre intuition sur notre monde mathématique.

@l : je te remercie beaucoup. Je ne disais pas cela pour t'offenser. Au contraire, je suis intéressé par ce point de vue, dont celui que tu exposes in extenso. Je voulais savoir s'il existe sur le net, quelque-chose que tu pourrais proposer pour étendre ma culture. Tu peux me répondre par MP, si tu préfères.

Sur ces questions, il est aussi intéressant d'introduire l'application suivante que je note $E_{\mathcal{U}}$. Soit $(\mathcal{U},\epsilon)$ un univers de ZF ie un modèle de ZF où le symbole de relation binaire $\lceil \in \rceil$ est interprétée par la relation $\epsilon$ dans $\mathcal{U}$.
$E_{\mathcal{U}}$ est l'application qui va de $\mathcal{U}$ dans $\mathcal{P}(\mathcal{U})$, et qui à $u\in \mathcal{U}$ associe l'ensemble (un vrai ensemble) $\{x\in \mathcal{U}; x\epsilon u\}$.

Un des problèmes est que, souvent, on assimile $u$ et $E_{\mathcal{U}}(u)$, ce dernier étant une partie de l'univers. Moralement ça se comprend mais il faut faire attention à cette association.

Avec cette application, on peut traduire certaines notions de théorie des ensembles, comme le fait que l'axiome d'extensionnalité est équivalent à $E_{\mathcal{U}}$ est injective (pour tout univers).

De même la question de l'axiome de fondation peut être exprimée avec "notre" relation d'appartenance classique en : pour tout $u\in \mathcal{U}$, $u\notin E_{\mathcal{U}}(u)$.

Et au final, on se rend compte également que la théorie des ensembles ne traite en fait pas du tout d'ensembles On ne connecte avec des vrais ensembles qu'avec des outils comme l'opérateur $E_{\mathcal{U}}$ par exemple.

@l

Le message ci-dessus de @l me fait penser à ce passage du livre de Krivine (voir image).

@l a écrit:

En clair, la théorie des ensembles est une théorie comme les autres du premier ordre (celle des groupes, des corps, etc.) et devrait, par analogie, s'appeler la "théorie des univers".

Sauf qu'on peut "exhiber" un groupe. Je peux dire : $\{0,1\}$ est un groupe avec l'opération "+" définie par $1+1=0$ etc. (là je parle au sens méta, les accolades $\{...\}$ ne désignent pas un ensemble de ZF).

Par contre on ne peut pas "exhiber" un univers...

@l : je te remercie. Il y a encore beaucoup de questions.

Concernant le passage du Krivine, oui, c'est tout à fait ça. Et pour moi, c'est un point très important qui mériterait d'être plus mis en avant.

Justement, comment le mettre en avant ? Je sais, je t'embête, mais je suis curieux et passionné.

@TP: ça ne m'embête pas du tout.
A l'époque - années 2000 - avec des collègues, on avait proposé des mini-cours de logique dans les écoles doctorales de Paris 6, 7 et Grenoble, pour introduire la logique mathématique aux doctorants et enseignants-chercheurs en mathématiques.
On avait du coup rédigé un cours complet, comportant toute une partie de présentation de la théorie des ensembles, et justement sous cet angle, en étant précis sur ce dont je parle, le but étant de convaincre rapidement des mathématiciens non habitués et qui n'étaient pas dans la logique de la théorie des ensembles (on avait fait de travail également pour la récursivité, en explicitant des points qui généralement sont très - trop - implicites, comme la notion d'oracle, centrale, mais peu présentée).
Je pense pouvoir remettre la main là-dessus. Si oui, je mettrai ces cours en ligne.

@l : je te remercie pour toutes ces précisions et j'attends avec impatience que tu mettes ces cours en ligne. Je te remercie par avance.

Bonjour Julia Paule.

Tu manques un peu d'imagination : On considère, dans le plan euclidien, un ensemble de points et de segments. Si $M$ est un point, $\{M,[MM]\}=\{M,\{M\}\}$.

Cordialement.

[coquille corrigée, merci Dom.]

@Julia Paule,

"Donc on pourrait dire qu'un plan donné, ensemble de ses points, est aussi ensemble de ses droites,... "

Cela ne serait guère raisonnable. Dans un exposé traditionnel de géométrie (exprimé dans la théorie des ensembles), on introduit le plan $P$ comme un ensemble dont on on appelle points les éléments, et un ensemble $D$ de parties de $P$ appellées droites, et vérifiant certains axiomes.
Ainsi les droites sont des ensembles de points, c'est-à-dire des éléments de $\mathcal {P}(P)$, et en aucun cas des éléments de $P$, autrement dit $P \cap D = \emptyset$, du moins c'est ce que l'on suppose implicitement. En géométrie projective, on est amené à travailler avec le groupe des corrélations (le sous-groupe de $\mathfrak{S}(P \cup D)$ des bijections $c$ vérifiant $c(P) = D, c(D) = P$, et conservant l'incidence), ce qui nécessite maintenant de supposer explicitement que $P$ et $D$ soient disjoints. Or, en appelant points les éléments de $P$ on n'a fait aucune hypothèse autre que ce sont des ensembles, et a priori, rien n'indique qu'un point soit différent d'une droite, ensemble de points. En fait, bien que cela soit rarement signalé (jamais, car allant de soi ?), on peut toujours supposer $P \cap D = \emptyset$ sans perte de généralité : il suffit de travailler avec une structure isomorphe $(P', D')$ où les éléments de $P'$ sont les singletons $\{x\}, x \in P$. On a bien maintenant $P' \cap D' = \emptyset$ puisque alors les axiomes garantissent qu'une droite possède au moins deux points.

Bonsoir Dom.

C'est simplement que le vocabulaire de la géométrie date de bien avant la théorie des ensembles. Il s'est constitué il y a plus de 2300 ans et s'est transformé par traduction tout en conservant la même structure. Mais il y a quand même une amélioration, chez Euclide, la droite n'est pas constituée de points (il y en aurait eu une infinité actuelle), il y a seulement des points sur les droites, en particulier aux extrémités (eh oui ! la droite d'Euclide est un segment, prolongeable à volonté selon les besoins).

Cordialement.

Oui, oui, c’est juste.

Cela a été évoqué plus haut.

Cependant, veuillez me pardonner, j’ai trouvé des « cours » où l’on a les phrases que je dénonce (droite appartenant à un plan) mais dans les programmes officiels, je n’ai pas trouvé (encore) ces expressions là.

Ma question devient : avec l'AF, comment est-on sûr qu'on n'a pas d'autres paradoxes ?

On ne l'est pas

@l, je profite de ce que le sujet a été évoqué pour poser une question qui m'intrigue depuis longtemps.
Je dois sans doute me tromper, mais il me semble que les considérations relativement paradoxales telles que les entiers (éléments d'$\omega$) peuvent avoir un nombre infini d'éléments, ou encore, une partie, au sens intuitif, d'un ensemble n'est pas nécessairement une partie de cet ensemble, etc., proviennent exclusivement de ce que ZF soit une théorie du 1er ordre, et non catégorique. Pourquoi ne la formule-t-on jamais dans la logique du second ordre, où ces phénomèmes semblent disparaître ?
On perd bien sûr la complétude, mais quelle importance ? Après tout, en mathématiques, ce qui est important, c'est de démontrer. Et quelle différence de statut en pratique peut-on faire entre une proposition vraie mais indémontrable (au second ordre), et une proposition vraie et donc démontrable (au premier ordre), mais dont la démonstration échappe désespérément ?

[Edit : en référence à ce message]
Heu ... le mot "appartient" est aussi du français courant. "Cette valise vous apparient-elle, Monsieur ?".
Mais on dit aussi souvent "la droite (d) est dans le plan (P)". Ce qui évite tout problème. Tout en étant aussi flou du point de vue mathématique. Car les points aussi "sont dans le plan".

Cordialement.

une partie, au sens intuitif, d'un ensemble n'est pas nécessairement une partie de cet ensemble, etc., proviennent exclusivement de ce que ZF soit une théorie du 1er ordre, et non catégorique. Pourquoi ne la formule-t-on jamais dans la logique du second ordre, où ces phénomèmes semblent disparaître ?

Il existe des théories des ensembles du 2nd ordre, mais cel ne fait que déplacer le problème :
Que veut dire $\forall A$ (j'utilise les notations usuelles : minuscule pour les éléments et majuscule pour les sous-ensembles) ? En fait il faut définir le domaine, c'est-à-dire les sous-ensembles sur lesquels on peut quantifier, et on peut se rassurer en disant "on les prend tous", mais cela ne fait pas faire un seul pas mathématique en avant pour expliciter de quoi on parle.