Relation d'ordre partiel
Bonjour,
J'essaie (en vain) de montrer que dans un ensemble $X$ muni d'un ordre partiel $\leq$, alors :
si $\forall c \in X, (c <a \Rightarrow c < b)$, alors $a \leq b$.
Dans un ensemble $E$ muni de la relation d'ordre $\subset$, qui est la relation d'ordre partiel par excellence (enfin il me semble), il est pourtant immédiat de montrer (par contraposée), pour $A$ qui n'est pas un singleton, que : si $\forall C \subset E, (C \subsetneq A \Rightarrow C \subsetneq $, alors $A \subset B$.
J'essaie donc de trouver des ensembles $A$ et $B$ qui donneraient le résultat
Mais je ne suis pas sûre que le résultat soit vrai pour tout ordre partiel.
Merci d'avance.
J'essaie (en vain) de montrer que dans un ensemble $X$ muni d'un ordre partiel $\leq$, alors :
si $\forall c \in X, (c <a \Rightarrow c < b)$, alors $a \leq b$.
Dans un ensemble $E$ muni de la relation d'ordre $\subset$, qui est la relation d'ordre partiel par excellence (enfin il me semble), il est pourtant immédiat de montrer (par contraposée), pour $A$ qui n'est pas un singleton, que : si $\forall C \subset E, (C \subsetneq A \Rightarrow C \subsetneq $, alors $A \subset B$.
J'essaie donc de trouver des ensembles $A$ et $B$ qui donneraient le résultat
Mais je ne suis pas sûre que le résultat soit vrai pour tout ordre partiel.
Merci d'avance.
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Réponses
En fait c'est faux. Et le contre-exemple est désopilant. Tu considères l'ensemble $X= \{0,1,2\}$ muni de l'ordre partiel où tu imposes seulement $0<1$ et $0<2$. En d'autres termes le graphe de ton ordre partiel est $G=\{(0,1),(0,2)\}$.
$$\xymatrix{1\ar@{-}[dr]&&2\ar@{-}[dl]\\&0}
$$ Tu poses $a=1$ et $b=2$. Il est clair que $\forall c \in X, (c <a \Rightarrow c<b)$.Et pourtant $a \not \leq b$.
[À ton service. ;-) AD]
Ce n'est pas vrai que pour les ordres totaux, par exemple la divisibilité dans $\mathbb{N}^*$.
Cordialement,
Rescassol
exemple : les diviseurs stricts de $8$, qui sont $1,2,4$, ils divisent $12$, et $8$ ne divise pas $12$.
Ton exemple, Martial, est lumineux de simplicité.
MERCI.
Soit $f$ une application de $X$ dans $Y$, partiellement ordonnés. Alors $f$ est une bijection croissante si et seulement si elle conserve l'ordre strict.
Pas de problème pour le sens =>.
Merci d'avance.
Non, il ne manque aucune hypothèse, je viens d'y passer 2 heures. Moralité : prendre plus de recul.
Donc c'est faux même si l'ordre est total. Et dans ce cas, on peut juste conclure l'injectivité.
Contre-exemple : $X=\{a,b\}$ avec $a$ et $b$ incomparables et $Y=\{c\}$.
L'énoncé est donc ok si l'ordre est total.
Dans ton exemple, la relation d'ordre de l'ensemble de départ est juste l'égalité, donc dans ce cas, la relation d'ordre strict est vide ?
Alors, l'énoncé serait-il juste pour une relation d'ordre partiel, dont l'ordre strict n'est pas vide ?
C'est faux si l'ordre est partiel, et l'ordre strict même non vide : dans $X : a <b, c$, dans $Y : d<e$.
Merci beaucoup.
Inutile de préciser "partiel".
De même, quand on fait de la récursivité, on parle facilement de l'ensemble des fonctions récursives partielles de toutes arités. Et, parmi ces fonctions récursives partielles, il y en a des qui sont totales.
Je voulais juste faire remarquer que la phrase : "toute relation d'ordre dans un ensemble est plongeable ..." laisse moins de place à une mauvaise interprétation (comme exclure les ordres totaux à cause de la précision "partiel"), j'ai d'ailleurs bien écrit "inutile de..." et non que cette précision était fautive