Axiome du choix

@titi : précise si ton ordre doit être total ou pas. Bon de toute façon je dois sortir mais sans cette précision...

@Christophe: merci! Je m'en doutais un peu mais comme je ne suis pas du tout spécialiste, mon intervention était surtout pour relativiser les débats sur AC (et revenir aussi sur la question de la logique mathématique).

L'autre.

Je sais bien qu'avec AC on peut construire des ensembles de réels non mesurables, mais ces ensembles ne sont absolument pas explicites, c'est à ça que je faisais référence. En as-tu déjà vu une construction, une formule, une définition directe ?

Salut @l.
Naturel, non, mais intuitif, si. Enfin pour moi l'AC est totalement intuitif, c'est pour ça que je suis surpris qu'il puisse causer tant de bizarreries.
Bonne journée.
Jean-Louis.

Oui, mais c'est ce que je disais sur notre mécompréhension de l'infini: ce sentiment d' 'intuitivité' provient d'une volonté de calquer ce que nous voyons du fini à l'infini, en incluant dedans l'idée qu'une fonction serait un système d'association 'construite' entre un élément d'un ensemble et celui d'un autre ensemble (bref, en intuitant 'faussement' qu'une fonction est 'moralement' une fonction plus ou moins définissable...).
Ce qui pose un des gros problèmes avec AC, c'est évidemment quand on sort des ensembles définissables/constructibles (sans rentrer plus dans le détail de ces notions), c'est-à-dire dans les cas pathologiques : rien ne permet de dire que sur de tels ensembles, on conserve toujours les propriétés sympathiques qu'on avait sur des ensembles "gentils". Or justement, en forçant cela, on crée de vraies bizarreries, qui peuvent encore plus compliquer 'les choses'.
Et quand on se rend compte qu'on peut faire à peu près tout sans réellement AC, on mesure le problème aussi.

@l : tu le sais, mais je préfère préciser un truc : quand tu dis "ensembles définissables", tu parles peut-être en un sens un peu naïf. En effet, rappelons que $\mathbb L$ satisfait AC (qu'on le veuille ou non dans "le vrai univers"), et que ses éléments sont très définissables. Pareil pour HOD.

JL a écrit:

Enfin pour moi l'AC est totalement intuitif, c'est pour ça que je suis surpris qu'il puisse causer tant de bizarreries.

Non, mais t'inquiète, tout est + ou - bizarre en maths. L'axiome du choix n'y est pour rien, l'axiome de l'infini un peu plus, mais surtout, nous vivons dans un monde quantique qui induit des habitudes dont certaines conduisent nos intuitions sur des routes vraiment différentes du déductible platonicien.

Cependant, les bizarreries de AC sont "levées" si on le voit comme bien ordonnant l'univers entier et les réels comme n'existant pas en tant que points, mais jusque qui, quand regroupés donnent des gros pavés bien lourds (des intervalles ouverts).

AC permet juste de voir qu'il n'y a pas tous les réels dans un univers vérifiant ZFC, ce qui in fine n'a rien de très bizarre, mais est très excitant pour les gens car ce n'est ni une contradiction dans ZFC (donc dans ZF à quelques modifs près), ni une situation "totalement attendue" que plus l'univers est gros, plus il est éclairé par le soleil car plus il a de fenêtres vers son propre extérieur.

@petit-o : Axiome de l'ultrafiltre : tout filtre sur un ensemble $X$ peut être étendu en un ultrafiltre sur $X$.

Cet axiome est conséquence de AC, mais il n'entraîne pas AC.

@petit-o : la différence est minime, il faut vraiment se casser la tête pour trouver un modèle de ZF qui vérifie l'axiome de l'ultrafiltre mais pas AC. Je crois qu'ici il n'y a que Christophe C qui sait le faire.

Il n'y a pas de tel axiome, c'est un théorème.
Preuve : soit $(A_i)_{i\in I}$ une telle famille. Soit $i$ l'unique élément de $I$ (définition de singleton). Alors par hypothèse il existe $x\in A_i$ (définition de non vide). La fonction $i\mapsto x$ (qui est l'ensemble $\{(i,x)\}$ donc bien définie) est une fonction de choix.

C'est un axiome : celui de la paire (qui permet de fabriquer des couples).

C’est vrai que c’est dur (dans mon état ignorant, j’entends).
Si on lit le premier message de ce fil, celui de Julia qui demande « où est le problème ? » et si on lit le dernier message de Maxtimax, on peut en perdre son latin car on pourrait s’exclamer « c’est la même chose ».

Sauf peut-être en lisant l’ajout de Médiat : un axiome utilisé, celui « de la paire » (je ne me suis pas approprié les axiomes d’où mon ignorance).

Je voulais réagir à un truc que je trouve un peu important, et que, quand je l'ai compris, j'ai été heureux.

Dom, tu écris (page 2 de ce fil) :

Dom a écrit:

Soit A1 un ensemble non vide, alors il existe un élément, que je nomme a1 et je décide d’appeler f la fonction de {1} dans A1 définie par f(1)=a1.

et Julia Paule, tu écris

Julia Paule a écrit:

Alors on admet l'existence des fonctions de choix (= fonction qui "choisit" un élément dans un ensemble non vide), cela revient presque au même qu'un axiome.

et c'est à ça ce que je voudrais réagir. Je vais énoncer plusieurs points, qui ne doivent pas forcément être pris comme des objections à ces deux phrases (qui sont d'ailleurs un peu différentes), mais plutôt comme des choses à rappeler et que vous savez peut-être déjà.

1) L'expression "il existe" n'a pas la fonction grammaticale d'un verbe. En effet, c'est un quantificateur ; et puis, la négation échange "il existe" et "pour tout", or "pour tout" n'a clairement pas la fonction d'un verbe. Par ailleurs, dans le point de vue du jeu joueur-sceptique, "il existe" et "pour tout" sont les NOMS des deux joueurs (je peux détailler si vous voulez, ce n'est pas compliqué, pédagogique et rigolo).

Donc Dom, dans ta phrase "il existe un élément, que je nomme a1", il y a un problème : je pense que cette phrase (bien que prononcée quotidiennement par des matheux) est grammaticalement équivalente à "a1 est un témoin de la non-vacuité de l'ensemble dont on parle", que "il existe" a donc la fonction d'un verbe, et que ce n'est pas ce qu'il faut dire. Je vais dire plus loin comment je préférerais dire.

2) Julia Paule, tu mets des guillemets autour de "choisir", et tu fais bien : "choisir" ne veut rien dire, en maths, et tu parles d'un axiome... J'espère que la façon dont je choisis d'énoncer ça t'aidera un peu.

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Maintenant, je vais dire la façon "que je pense être celle correcte".

Règle logique 1 (parmi d'autres) :
Soit $P$ une phrase qui parle de $x$, alors tout texte de la forme :

Soit $x$.

Patati patata (en ne supposant rien sur $x$).
Donc $P(x)$.

"Comme x a été choisi quelconque", on a $\forall x, P(x)$.

est considéré comme une démonstration valide de $\forall x, P(x)$.

Règle logique 2 (parmi d'autres) :
Soit $P$ une phrase qui parle de $x$, et si $Q$ est une phrase, alors le texte suivant est une démonstration de $(\exists x, P(x)) \Rightarrow Q$ :

a) $\exists x, P(x)$.
b) $\forall x, (P(x) \Rightarrow Q)$.
c) Donc, d'après a) et b), $(\exists x, P(x)) \Rightarrow Q$.

où, bien entendu, $\exists x, P(x)$ et $\forall x, (P(x) \Rightarrow Q)$ sont des hypothèses.

Règle logique 3 (parmi d'autres) :
Soit $Q$ une phrase qui parle de $y$, et soit $x$ un truc. Alors le texte suivant est une démonstration de $\exists y, Q(y)$ :

a) $Q(x)$.
b) Donc $\exists y, Q(y)$.

où, bien entendu, $Q(x)$ est une hypothèse.

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Maintenant, voici une démonstration volontairement trop détaillée de "toute famille d'ensembles non vides indicée par un singleton admet une fonction de choix".

a) D'après la règle 1, il suffit d'écrire "soit blablabla" et de démontrer le truc sans rien supposer pour conclure à "pour tout blabla". C'est donc ce que je fais :
Soit $I$ un ensemble à un élément, et soit $F$ une famille d'ensembles telle que $\forall i \in I, F_i \neq \emptyset$.

b) Lemme : Pour tout $i \in I$, pour tout $x \in F_i$, $\{(i,x)\}$ est une fonction de choix sur $F$.
Démonstration : D'après la règle 1, il suffit d'écrire "soit blablabla" etc. C'est donc ce que je fais :
Soit $i \in I$, soit $x \in F_i$.
Alors $\{(i,x)\}$ est une fonction (exercice), elle est définie sur tout $I$ (exercice) et est bien une fonction de choix (exercice).

c) Lemme : Il existe une fonction de choix sur $F$.
Démonstration :
i) $\forall i \in I, F_i \neq \emptyset$.
ii) Donc, d'après i), $\forall i \in I, \exists x, x\in F_i$.
iii) $\forall i \in I, \forall x \in F_i, \{(i,x)\} \text{ est une fonction de choix}$ d'après le lemme.
iv) Donc $\forall i \in I, \forall x \in F_i, \exists f, f \text{ est une fonction de choix}$ d'après iii) et la règle logique 3.
v) Donc $\forall i \in I, (\exists x \in F_i \Rightarrow \exists f, f \text{ est une fonction de choix})$ d'après iv) et la règle logique 2.
vi) Donc $\forall i \in I, \exists f, f \text{ est une fonction de choix})$ d'après ii), v) et le modus ponens.
vii) Donc $(\exists i \in I) \Rightarrow (\exists f, f \text{ est une fonction de choix}))$ d'après vi) et la règle logique 2.
viii) Donc $\exists f, f \text{ est une fonction de choix}$ d'après l'hypothèse que $I$ est non vide, et vii).

d) En mettant tout ensemble, c'est bon.

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J'ai fait cet effort pour montrer que dans cette démonstration, nulle part je "choisis" quoi que ce soit (je ne "choisis" même pas l'unique élément du singleton $I$ !).

N'hésitez pas à me dire si c'est pas clair ou si vous pensez que je devrais arrêter de sniffer de la colle !

@JP : attention ! L'on a $\{\{i\}, \{i,\,x\} \}=(i,\,x)$, d'où $\{\{\{i\}, \{i,\,x\}\}\}=\{(i,\,x)\}$.