Axiome du choix

Ha j’arrive bien tard. Christophe me disait bien de faire une récurrence (passer de 8 à 9).
Il me disait aussi « non, on ne définit pas la fonction de choix ».
Dans mon vocabulaire, c’est pourtant bien ça : on a l’existence pour $n$ et on définit pour $n+1$ avec l’existence d’un élément car l’ensemble n’est pas vide. Mais j’entends bien que j’utilise « définir » dans un sens disons courant.

Question : est-ce que AC est bien la même chose que de dire

Quelle que soit la famille d’ensembles $(A_i)_{i\in I}$,
si $\forall i,\ A_i$ est non vide, alors $\prod_{i\in I} A_i$ est non vide.

Oui, voilà, c’est ça.
En fait c’est le mot « définir » dans la phrase « l’application est mal définie ».
J’y vois une acception très précise.

Bref les fonctions de la preuve du principe du choix pour une famille d'ensembles, ne sont pas définies par des formules, nul besoin de t'inquiéter si tu estimes qu'on ne peut pas construire de telles formules avec les données de l'énoncé Julia Paule, ce n'est pas ça une fonction de toute façon (certaines formules peuvent donner des fonctions mais toutes les fonctions ne sont pas, ne peuvent pas être données par une formule).

Tout dépend des règles syntaxiques que tu imposes Chaurien, mais en principe c'est un $n$-uplet de symboles pris dans un alphabet, d'où le fait qu'il y a au plus $\mathrm{card}(S)^n$ formules de longueur au plus $n$ sur l'alphabet $S$. Tu peux consulter n'importe quel cours de théorie des modèles pour la définition précise.

Le plus simple pour les formules c'est de donner une définition qui tient compte du langage, ce qui amène très rapidement à une construction des termes, des formules atomiques :
La collection des termes d'un langage $\mathcal{L}$ est définie de la façon suivante :
Les variables de $\mathcal{L}$ sont des termes.
Les constantes de $\mathcal{L}$ sont des termes.
Si $t_1, t_2, ... t_n$ sont des termes, et, si $\mathcal{F}$ est une fonction n-aire (d'arité n, c'est à dire avec n variables), alors $\mathcal{F}(t_1, t_2, ... t_n)$ est un terme.

La collection des formules atomiques d'un langage $\mathcal{L}$ est définie de la façon suivante :
Si $t_1$ et $t_2$ sont des termes, alors $t_1 = t_2$ est une formule atomique (si nous considérons des langage égalitaires).
Si $t_1, t_2, ... t_n$ sont des termes, et, si $\mathcal{R}$ est une relation n-aire (d'arité n), alors $\mathcal{R}(t_1, t_2, ... t_n)$ est une formule atomique.

La collection des formules d'un langage $\mathcal{L}$ est définie de la façon suivante :
Les formules atomiques sont des formules
Si $\phi$ est une formule, $\neg \phi$ est une formule
Si $\phi$ et $\psi$ sont des formules, $\phi \wedge \psi$ est une formule
Si $\phi$ est une formule et x une variable, $\forall x \phi$ est une formule

Julia : oui, enfin je décrivais l'étape clé de la preuve

Alesha, tu as tapé dans le mille.
J’ai fait une vidophobie sur ce coup là et j’ai volontairement fui le cas $n=0$, très lâchement…8-)

J’essaye, ne vous moquez pas, hein ? (sauf si c’est drôle ;-))

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Soit une famille d’ensembles $(A_i)_{i\in \emptyset}$.
Alors la fonction suivante :
$f : \emptyset \rightarrow \emptyset$

Remarque : autant l’ensemble de départ, c’est bien $\emptyset$, autant l’ensemble d’arrivée, je ne sais pas le noter autrement.
J’imagine qu’on démontre d’abord que c’est l’ensemble vide.

Définie par $\forall x\in \emptyset, f(x) = x$

Remarque : un peu comme la remarque précédente, je n’ai pas su quoi mettre dans le membre de droite.
J’imagine qu’on peut écrire n’importe quoi puisqu’on écrit un élément de l’ensemble vide (et qu’il n’en existe pas).

Cette fonction est unique, du coup. On l’appelle l’application vide.
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Vous voyez, je n’en suis resté qu’à des rudiments…

Bonjour,

"En plus des impasses (parce qu'on ne saurait pas démontrer des choses qui nous paraissent intuitivement vraies), pourrait-on obtenir des bizarreries ? "

L'Axiome du Choix conduit aussi à des théorèmes intuitivement faux, comme le paradoxe de Banach-Tarski (que notamment Christophe, que je salue, a mentionné).
Maintenant avec la négation de l'Axiome du Choix, on peut avoir que les nombres réels sont une union dénombrable d'ensemble dénombrables, ce qui est intuitivement faux.

En clair, de mon point de vue, il n'y a pas d'évidences en mathématiques et la notion même d'intuitivement vraie est tout aussi problématique.

Après sur la question de la logique mathématique (je ne suis pas un grand fan de cette appellation), on peut épiloguer sur sa nécessité ou non, comme, en d'autres temps, on a épilogué sur l'utilité de plein d'autres domaines mathématiques.
Au final, la théorie des modèles et la théorie des ensembles, pour ne citer que ces domaines de la logique mathématique, ont à la fois montré leur puissance pour aborder des problèmes mathématiques divers et variés (comme les travaux notamment de Hrushovski ont pu le prouver - pour ne citer que lui) - de façon très humble, dans ma thèse, j'avais résolu un problème ouvert entre géométrie réelle et théorie des singularités par la théorie des modèles (la démonstration sans théorie des modèles est arrivée plusieurs années après, avec un formalisme excessif qui n'apportait rien au final) - et ont généré des questions importantes actuelles en mathématiques.

Après sur le fait de supposer ou non l'Axiome du Choix et de ne pas se préoccuper du reste me fait toujours penser au débat de plus en plus prégnant sur la supposition de l'Hypothèse de Riemann ou non. Plusieurs mathématiciens estiment que l'HR peut être posée comme axiome et qu'il est intéressant de continuer les mathématiques ainsi (Jean-Pierre Serre lui-même a indiqué récemment qu'il trouvait cette façon de faire tout à fait intéressante), tandis que d'autres veulent absolument savoir si HR est vraie, fausse voire indécidable avant de continuer.
Du coup, si je continue le parallèle, on sent bien qu'il y a quand même un débat à avoir, débat à l'intersection entre algèbre, analyse et logique et que supposer HR ne peut se faire de façon totalement naïve. C'est la même chose pour AC finalement.

@l

Alors pourquoi cet axiome plutôt qu'un autre, pourquoi pas autant de discussions autour des autres axiomes, et autant de théorie des ensembles qu'il y a d'axiomes en plus ou en moins, bizarre.

Rien de bizarre :
1) cf. Jerry Bona pour montrer que cet axiome (comme les autres d'un point vue formel mais si spécifique d'un point de vue "culturel")
2) Que donnerait une théorie des ensembles sans extensionnalité ?
3) Une théorie des ensembles sans axiome de l'infini existe bel bien (on peut même en créer un modèle assez facilement cf. le modèle d'Ackerman)
4) Personnellement j'évite le vocabulaire vrai/faux (à quelques exceptions près), ce qui exclut les problèmes liés à l'existant, la réalité etc.. qui ne sont pas des notions mathématiques

Ce n'est pas l'axiome du choix qui est contre intuitif, mais une bonne partie des théorèmes dont ils découlent. Il n'y a pas plus intuitif que l'axiome du choix.

L'axiome de l'infini est essentiel, sinon l'on n'aurait pas grand chose sous la main en Mathématique. Sans lui, pas d'ensemble $\Bbb{N}$, par exemple.

Enfin, c'est par l'axiome d'extensionnalité que l'on est conduit à garantir l'unicité d'ensembles bien connus.

Avant d'aller me coucher, le fameux théorème suivant : sur tout ensemble $E$, il existe un bon ordre.

Si $\Bbb{N}$ est canoniquement bien ordonné par l'ordre naturel $\leqslant$, si tout ensemble fini peut être aisément bien ordonné, que peut-on dire de $\Bbb{Z}$ ? De $\Bbb{Q}$ ? De $\Bbb{R}$ ? Quels sont les bons ordres correspondant ? Le théorème de Zermelo ne garantit que l'existence de tels bons ordres, pas la façon de les construire. Peut-être la notion de bon ordre est-elle trop forte et peut-être faudrait-il l'affaiblir.

@ Julia Paule: "Ah quels sont les théorèmes qui découlent de l'axiome du choix et qui sont contre-intuitifs ? "
A nouveau, Banach-Tarski par exemple, pour ne citer que celui-ci (AC est essentiel dans la preuve). Au fil de l'eau, on rencontre en fait régulièrement des objets mathématiques qui n'existent que du fait d'un axiome de choix et qui sont assez peu naturels...
L'Axiome du Choix n'a vraiment rien de naturel en lui-même... Et ce sentiment de "naturel" provient souvent d'une certaine mécompréhension de l'infini, qui ne se comporte pas du tout comme le fini (et n'a pas de raison de le faire).
Et c'est bien la théorie des ensembles qui permet de comprendre l'infini. D'une certaine manière, une grande part de la théorie des ensembles est une théorie de compréhension réelle (et non "naïve") de la notion d'infini.

"Oups sans l'axiome de l'infini, c'est bien plus qu'une partie de l'Analyse qui disparait, ce sont tous les grands ensembles de N à C, donc pratiquement toute l'Analyse, les espaces vectoriels sur quels corps ?, ... . Amusant. "

En fait, sans l'Axiome de l'Infini, on garde des classes infinies, mais qui ne sont pas des ensembles. Et on peut faire une partie importante de l'analyse "qui sert"... L'infini est une notion pratique mais qui n'est pas forcément utile dans une certaine vision de la réalité, notamment si on part du principe que la réalité physique est purement discontinue.

Et là, on peut avoir un débat philosophico-mathématico-physique sur la nécessité de l'infini: soit on se situe dans une vision vraiment "physique" et les ensembles infinis peuvent être vus comme non nécessaires, comme de simples complétions de l'univers physique, qui permettent des gains en généralité mais sans rien n'apporter à notre compréhension du monde physique; soit on considère que les ensembles infinis sont essentiels et dans ce cas, on ne peut pas faire l'économie d'une analyse poussée de cette notion, essentielle justement... et donc on ne peut pas faire l'économie de la théorie des ensembles...

En fait, à peu près tous les axiomes de ZF peuvent donner lieu à des débats importants.

" Les résultats sans l'axiome du choix semblent plus faux qu'avec. Point. Il me semble qu'on ne demande rien d'autre à un axiome que de nous apporter des résultats qui nous paraissent vrais dans une vision idéalisée de l'existant, quitte à les déformer ensuite pour voir une autre réalité. "

A titre personnel, je trouverais par exemple plus naturel et sympathique que tous les ensembles réels soient Lebesgue mesurables (en analyse, en proba, etc. cela simplifierait bien la vie...). Or avec l'Axiome du Choix, c'est impossible. Sans AC, on peut faire cette supposition... Bref, tout est une question de point de vue.

"Quant à la logique, je ne suis pas persuadée que le formalisme poussé de la logique serve vraiment à quelque chose en maths."
Cette remarque peut s'appliquer à l'intégralité de tous les domaines des mathématiques: le formalisme poussé de l'algèbre peut paraître totalement stérile du point de vue de l'analyse, jusqu'à ce qu'on perçoive que les objets à la frontière sont passionnants et très féconds (je parle de ça, en pensant aux débats qu'il y a eu sur les catégories et leur place dans une certaine utilité mathématique...).
La logique mathématique permet de faire des "choses" que d'autres domaines ne peuvent faire, de poser des problèmes sous un angle totalement nouveau, etc.

Là encore, je peux donner un point de comparaison culturel. En France, pour des raisons qui ne sont pas étrangères à Bourbaki, les structures ordonnées sont restées longtemps un point aveugle de l'enseignement classique des mathématiques (ce qui n'était pas le cas dans les pays anglo-saxons). Exemple typique: les corps réels clos. Tout étudiant de licence connait ce qu'est un corps algébriquement clos mais la notion de corps ordonné et corps réel clos lui est étrangère. Et cela conduit à des échanges, dont je peux témoigner, où certains mathématiciens français considéraient que les structures ordonnées algébriques ne servaient pas vraiment, voire était peu fécondes...

Nous avons exactement le même problème en logique (et d'ailleurs, si je cite la problématique des structures ordonnées, ce n'est pas sans lien avec la logique, qui justement travaille beaucoup sur des questions d'ordre): cette défiance qu'on ressent en France provient en partie d'une certaine défiance historique entretenue assez culturelle finalement et qui se voit dans l'absence de logique mathématique dans les programmes universitaires.

"Alors pourquoi cet axiome plutôt qu'un autre, pourquoi pas autant de discussions autour des autres axiomes, et autant de théorie des ensembles qu'il y a d'axiomes en plus ou en moins, bizarre."
Avec l'hypothèse de Riemann comme axiome, on a encore plus de débats...

Il n'y a pas besoin d'axiome du choix pour construire des fonctions d'un ensemble fini dans un ensemble non vide.

La prédiction du futur citée par Poirot, je me demande si c'est pas le truc de Galvin utilisé dans la chouette énigme de Christophe ?

N'ayant pas eu l'occasion de voir passer ce point, est-ce qu'il s'agirait d'un truc basé sur la relation d'équivalence : deux suites entières sont équivalentes si elles sont égales à partir d'un certain rang ? Sans AC, la fonction qui choisit un représentant dans chaque classe ...

@Maxtimax
Oui, mais comme je le dis ci-dessus, c'est surtout la question des non-Lebesgue mesurables qui est en lien avec AC. BT est juste un enrobage spectaculaire pour montrer justement ce point. Et BT historiquement provient d'un débat, avec Hausdorff, sur AC.

Je salue @I et j'espère que tu vas bien.

J'ai essayé de remonter la conversation jusqu'à mon dernier message pour tenter de faire une synthèse de ce qui n'avait pas reçu de réponse (comme je fais toujours) pour ne combler que ces trous-là, mais je n'ai pas vraiment trouvé, il y a de multiples sujets abordés.

Quelques points, peut-être peu importants, mais qui m'ont tapé parfois l'oeil en 0.038 secondes :

1/ je sais que la confusion n'est pas faite sur le fond, mais j'attire l'attention que pour les visiteurs qui liront ce n'est pas trop "cool" de tourner des phrase de telle sorte que "ne pas admettre AC" puisse sembler tacitement vouloir dire "admettre nonAC", j'ai furtivement perçu quelques posts.

2/ En particulier quand on n'admet pas AC, on ne peut prouver AU PLUS que ce qu'on savait prouver avec. Et pas tout (il a été donné des exemples). En outre, personne n'aurait l'idée d'admettre "nonAC" qui est trop lâche et ne sert à rien. Pour les spécialités qui se sont développées en contradiction avec AC, elles admettent des axiomes VIOLEMMENT forts et entrainant nonAC (par exemple comme "toute partie de IR est Lebesgue mesurable)

3.1/ Le statut historique spécial de AC est ENCORE un mystère passionnant, même si la CCH a pas mal résolu ce mystère. Je peux détailler, mais sur demande et dans un fil spécifique me paraitrait plus lisible.

3.2/ Sur ce statut spécial, je précise ce qu'il est : il est le seul axiome (avec l'extentionnalité) qui n'est pas directement énoncé sous la forme:
$$ \exists a\forall x[x\in a\iff R(x)]$$

4/ J'ai même à peu de frais donné l'impression que j'étais créatif jadis (lointain passé) en faisant remarquer à des pros qui me disaient le contraire que cet axiome est néanmoins équivalent prouvablement à un énoncé de cette forme (prendre l'ensemble des ordinaux $x$ tels qu'il n'existe pas de surjection de $x$ sur $E$ pour bien ordonner $E$). MAIS cette forme équivalente n'est pas "intuitive" comme l'est la forme habituelle.

5/ Si $f$ est une fonction choix sur $(i\in 8\mapsto f(i)\in A_i)$ et $a\in A_9$ alors $[f\cup \{(9,a)\}]$ est une fonction choix sur $(i\in 9\mapsto f(i)\in A_i)$

6/ Bravo à GA d'avoir rappelé que ce n'est pas l'humain qui suppose mais la démonstration. (j'ai aperçu ça)

7/ Pour chaurien: une formule est une suite de caractères ASCII. On définit SA VALEUR (même si actuellement, beaucoup sont déclarées "undefined" qui est une valeur comme une autre, faut pas se faire d'illusion)


8/ Pour info: l'extensionnalité permet quasiment de tout faire en maths, y compris en logique (c'est le fameux article que j'ai promis à alesha avec ma promesse toujours pas tenue) où il implique les axiomes logiques puissants. S'en passer c'est un peu .... :-D il ne vous restera VRAIMENT PAS GRAND CHOSE.

9/ En l'absence d'extensionalité, l'axiome du choix n'ajoute essentiellement que l'axiome du choix dépendant (et ça se prouve en quelques lignes, je l'avais mis en exo, il y a quelques mois ou années je crois). Ca a été "redécouvert" sous la forme HYPERSAVANTE comme conséquence de la CCH, mais c'est une tout autre affaire (c'est juste qu'on ne s'était pas posé la question avant)

10.1/ @GA, oui, il s'agit de mon argument utilisant le Galvinisme (pour la prédiction presque sûre du futur). Heureusement qu'il n'y a pas de propriété intellectuelle en maths :-D

10.2/ Je rappelle ce que ces théorèmes disent globalement en français: il existe des fonctions qui ne se trompent qu'en un nombre fini de points quand vous leur entrez en argument une classe d'équivalence d'histoire incomplète, et ce quelle que soit l'histoire.

Preuve: vous mettez un bon ordre $X$ sur l'ensemble des histoires complètes. Je note $R(a,b)$ pour dire que l'histoire incomplète $a$ est plus incomplète que l'histoire $b$. Etant donné une histoire incomplète $h$, vous lui associez l'histoire complète la plus petit selon $X$ qui la complète. Cette fonction marche

J'avais détaillé un exemple ici : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?12,352935,page=1

Je redonne un exercice que j'avais déjà donné qui fera rager (à la vue de la solution) les personnes qui n'auront pas trouvé :-D

Exercice: prouver que sans l'extensionalité, l'axiome du choix n'est rien

Je me reconnecterai pour donner la solution en blanc sur blanc;-) La formulation sous forme de slogan est pour faire de la pub aux maths adressée aux gens visitant le forum, mais il est facile à traduire.

@Maxtimax: oui, mais toute la question est de savoir ce qu'on abandonne ou pas. Par exemple, sauf erreur de ma part (à vérifier), mais avec Axiome du Choix Dépendant, on conserve Krull dans les anneaux noethériens par exemple. Donc, en supposant un modèle à la Solovay, on aurait juste quelques vérifications à faire en amont (notamment regarder si on travaille avec des structures fortement pathologiques - ce qui est en fait rarement le cas).
Mais je ne veux pas défendre coûte que coûte Solovay c'est juste que le choix de partir d'AC n'est pas forcément hyper naturel et qu'une analyse de AC versus d'autres versions (comme Solovay) serait intéressante (je parle dans la vie de tous les jours des mathématiciens).

Je ne sais à quel moment démarre votre débat, Max et @I, mais j'ai lu les derniers posts et donc vous informe que de toute façon le problème est déjà résolu au niveau recherche, depuis assez longtemps. Jevais très vite car ne me suis reloggué que pour tenir une promesse de répondre à foys dans un autre fil.

1/ On fait cohabiter les 2 territoires comme suit:

2/ On taffe dans un univers vérifiant ZFC + quelques grands cardinaux qui entrainent $L|\R] \models AD$

3/ Si on veut n'étudier que $L[\R]$, on le peut, et il vérifie Solovay (conséquence de AD), etc..

4/ Etc, etc..

Pour $\mathbb R$ c'est normal de ne pas voir de bon ordre, ça me semble équivalent à une certaine forme de choix.

Pour $\mathbb Q$ il suffit de passer par une bijection avec $\mathbb N$, et ça on sait en décrire explicitement.