Axiome du choix

Bien ouej, Poirot.

Une autre image : on suppose une jeune fille très coquette, qui a besoin d'une infinité de fringues pour s'habiller, et qui, à l'occasion d'un départ en vacances, emmène avec elle une infinité de valises. L'une de ces valises contient une infinité de robes, une autre une infinité de corsages, etc.
Une fois arrivée à l'hôtel elle décide de se changer complètement.
Question : va-t-elle réussir à choisir une fringue dans chaque valise de façon à s'habiller complètement ?

Ne pas oublier l'aphorisme :

Jerry Bona a écrit:

L'axiome du choix est évidemment vrai, le principe du bon ordre est évidemment faux, et le lemme de Zorn personne n'en sait rien

Voyez-vous, le genre de boutade de Jerry Bona, cité par Médiat, c'est bien ce qui est de nature à nourrir mon scepticisme bien connu à l'égard de la logique telle qu'elle apparaît bien souvent sur ce forum.
Pour ma part j'admets volontiers Zorn, Choix, Bon Ordre, etc., et je fais des maths avec, algèbre, analyse, théorie des nombres, géométrie, et tout ça.
Pendant ce temps, les logiciens, c'est comme les trotskystes, dès qu'il y en a trois, ça fait une scission ;-). Mais s'ils aiment ça, moi je n'ai rien contre, que chacun continue à faire ce qu'il aime, et tout ira bien.
Bonne nuit.
Fr. Ch.

Dom a écrit:

S'il en existe, pourquoi est-ce "mal" de dire qu'on peut en choisir un (dont on se fout) ?

Pour chaque $i\in I$ tu peux "choisir au bol" un $a_i\in A_i$ mais tu ne peux pas dire ensuite que $\{(i,a_i), i\in I\}$ est un ensemble au sens de ZF et donc que $i\mapsto a_i$ est une fonction.

C'est une question de respecter les axiomes de ZF, on ne peut pas construire des ensembles n'importe comment.

Mais il est difficile de comprendre si on n'a jamais fait au moins un peu de théorie des ensembles. Je parle par expérience personnelle. La notion d'ensemble intuitif peut être tellement enracinée qu'il est difficile d'accepter qu'il ne suffit pas de "mettre des objets ensemble" pour obtenir... un ensemble.

Petit parenthèse pub : pour se cultiver un peu en théorie des ensembles il y a le document de Martial https://sites.google.com/view/martial-leroy/théorie-des-ensembles?authuser=0 ou le livre de Dehornoy https://www.amazon.fr/Théorie-ensembles-Introduction-théorie-cardinaux/dp/2916352406

De mon téléphone, en passant sur l'erreur de raisonnement déjà signalée, les axiomes, c'est ce qu'on admet. Par exemple on utilise souvent l'axiome A implique (A et A).

Le nom de ce que tu admets, Julia, est "axiome du choix".

De manière générale, tu n'es pas la seule à demander "pourquoi c'est un axiome puisque c'est vrai?"

Cette question, souvent posée par des non scientifiques, vient de ce qu'ils oublient que axiome et hypothèses désignent ce qu'on admet. Le fait de les admettre est neutre et pas forcément signe qu'on a peur qu'ils soient faux.

Christophe, je ne suis pas fan du verbe admettre dans ce contexte, car il sous-entend une vérité transcendante à laquelle on n'a pas accès mais que l'on essaye de cerner malgré tout ; je ne me vois pas dire "j'admets l'existence d'un élément neutre" pour la théorie des groupes, c'est juste la définition (choisie) des groupes, et j'ai le même ressenti pour tous les axiomes de toutes les théories.

1) Alesha, « Mais il est difficile de comprendre si on n'a jamais fait au moins un peu de théorie des ensembles. »

C’est cela je pense, pour mon cas. Il faut que je regarde de près tout ça.

2) Raoul, au sujet de l’exemple sur la famille fini :

Beaucoup de raisonnements utilisent ce genre de rédaction (j’écris n’importe quoi pour illustrer) : « quel que soit $\varepsilon >0$, il existe $\eta >0$, alors … ».
Ceci est-il correct ? (question a.) je me dis que oui.

Ce qui ne serait pas correct est « posons $f : \mathbb R \rightarrow \mathbb R$,$f(\epsilon)= \eta$ ».
En effet, en écrivant ce message, je me rends compte d’un problème, ma fonction est mal définie. Je ne peux pas « travailler avec ». Le $\eta$ n’est pas « clair ».
Ainsi, ne pas admettre AC dit seulement qu’on ne peut pas parler d’une telle fonction mais on peut conserver un raisonnement qui s’en passe, comme en « a. ». (question b. C’est ça ?).

3) Christophe, oui, ça je le comprends, les axiomes ne sont pas toujours des choses « puissantes » dans leurs compréhensions. Ce sont aussi des évidences qu’on s’autorise. Comme l’a écrit Julia, ça tombe tellement sous le sens qu’on ne comprend même pas qu’on en parle (avec la réserve de Raoul : chasser la théorie naïve qui nous empoisonne dans ces moments là).

4) chers intervenants :-)
Pour sentir que ce n’est pas si évident, a-t-on des théorèmes qui disent « AC <=> $truc$ » où justement, $truc$ n’est pas du tout évident ?

Personnellement j'utiliserais "choisir"

Dom a écrit:

Un exemple qui m’a frappé il y a un an ou deux : dans le théorème des accroissements finis, on a bien « pour tout $x$, il existe $c_x$ tel que… ».
Je trouvais évident le fait qu’il existe une fonction $f : x \mapsto c_x$.
Et c’est exactement AC, d’admettre l’existence de cette fonction

Non même avec AC, tu ne peux pas parler de "cette" fonction. En revanche, si tu prouves : pour tout $x$, il existe $c_x$ tel que $P(x, c_x)$, alors, avec AC, tu peux en déduire qu'il existe une fonction $f$ telle que, pour tout $x$, on a $P(x, f(x))$.

Le mot "choix" fait référence à des opérations manuelles et donc il est mal choisi, en théorie des ensembles une fonction est juste un ensemble particulier (un ensemble de couples $f$ tels que pour tous $x,y,z$ si $(x,y)$ et $(x,z)$ sont dans $f$ alors $y=z$). L'axiome dit du choix affirme donc l'existence d'un certain type d'ensemble dans certains cas.

Donnons une formulation équivalente de cet axiome sans référence aux fonctions (on rappelle qu'en théorie des ensembles, tous les éléments d'ensembles sont eux-mêmes des ensembles, il n'y a que des ensembles en fait):
(AC): Pour tout ensemble $X$ dont les éléments sont non vdes et disjoints deux à deux, il existe un ensemble $Y$ dont l'intersection avec chacun des éléments de $X$ possède exactement un élément.

En formules ça donnerait quelque chose comme : $$\forall X \langle \left [\forall p, \forall q,(p\in X \wedge q\in X) \Rightarrow \left [\left (p=q \vee \neg \left (\forall r,r \in p \wedge r \in q \right )\right] \wedge (\exists v, v \in p) \right )\right ] \Rightarrow \left (\exists Y, \forall s \in X, \exists ! t, \left (t \in s \wedge t \in Y \right )\right ) \rangle \tag 1$$

Lorsque $X$ est fini, on peut se convaincre (et l'argument suivant peut être transformé en preuve formelle dans la théorie des ensembles formalisée et ans axiome du choix) de l'existence de $Y$ par récurrence sur le nombre d'éléments $n$ de $X$ (lorsque $n=0$ on prend simplement $Y:=\emptyset$, sinon si $n=m+1$ pour un entier $m$ et si $X$ est de cardinal $m+1$, il existe un élément $a$ appartenant à $X$, on construit $Z$ rencontrant une fois chaque élément de $X\backslash\{a\}$ puis comme il existe un $b$ dans $t$, on considère alors $Z\cup \{b\}$).

Mais cet argument ne marche pas pour $X$ quelconque (infini).

@ Dom
Dans le théorème des accroissements finis, il y a un argument basique pour qu'on ne parle pas de la fonction $x \mapsto c_x$, c’est que ce théorème conclut à l’existence de ce réel $c$ mais non à son unicité. Dans la pratique des mathématiques telles qu'elles se font, ce théorème est généralement utilisé pour majorer ou minorer une certaine expression, et l'existence de ce $c$ suffit, on n'a pas besoin de « choisir » parmi les divers $c$ dont le théorème affirme l'existence. D'ailleurs, on énonce parfois ce théorème sous forme d'inégalité, obligatoirement quand il s'agit de fonctions à valeurs complexes ou vectorielles, et la question disparaît.

Par contre, si pour une certaine fonction réelle cette unicité est établie, je ne vois pas ce qui pourrait empêcher de définir cette application $x \mapsto c_x$. C'est le cas par exemple pour les fonctions strictement convexes ou strictement concaves.

Pour être tout à fait honnête, il me vient en souvenance un seul exemple où il est utile de poser un tel « $c_x$ », c'est lorsqu'on cherche le développement limité d'une somme de Riemann d'une fonction réelle de classe $\mathcal C^1$ ou $\mathcal C^2$, et qu'on applique la formule de Taylor-Lagrange affirmant l'existence d'un réel $\xi_k \in [ \frac kn, \frac {k+1}n]$ tel que $blabla$ (pour rédiger comme Christophe ;-)). On pose ce $\xi_k$, et vogue la galère. On trouve ça par exemple dans : Edmond Ramis, Exercices d'analyse, Masson 1968, 1972 (orange), p. 62. Il s'est dispensé d'insèrer une phrase rituelle affirmant qu'il fait ça au nom de l'Axiome du Choix. On peut rajouter une telle phrase si c'est obligatoire, la suite de la démonstration est la même, je pense.

Bonne journée.
Fr. Ch.

Comme il y a eu beaucoup de posts depuis ce matin et qu'en diagonale, j'ai repéré quelques erreurs dans presque chaque post, je vais répondre à un seul paragraphe qui me parait significatif, mais tourner ma réponse de manière qu'elle réponde à tout le reste.

1/ Le paragraphe cité:

dom a écrit:

Christophe, oui, ça je le comprends, les axiomes ne sont pas toujours des choses « puissantes » dans leurs compréhensions. Ce sont aussi des évidences qu’on s’autorise. Comme l’a écrit Julia, ça tombe tellement sous le sens qu’on ne comprends même pas qu’on en parle (avec la réserve de Raoul : chasser la théorie naïve qui nous empoisonne dans ces moments là).

1/

les axiomes ne sont pas toujours des choses « puissantes » dans leurs compréhensions. Ce sont aussi des évidences qu’on s’autorise

TOUT, absolument TOUT ce qu'on utilise dans une preuve que ce soit explicitement ou sous forme d'enchainements est un axiome.. C'est neutre, formel et technique. Il n'y a pas de philosophie derrière ou quoique ce soit à comprendre, c'est la règle numéro1, voire numéro0 de la science.

2/

qu’on ne comprend* même pas qu’on en parle

[size=x-small]* si tu as le temps, barre ton "s"[/size]

Mais si si justement, on le comprend et c'est BANAL: on en parle parce qu'on l'écrit, point à la ligne. Dès lors qu'apparait "A donc B", l'axiome "A=>B" est PRESENT, donc un axiome (s'il n'a pas été prouvé avant). Par exemple, Julia écrit :

"comme pour chaque $i$, j'ai $\exists a_i\in A_i$,
c'est "donc" que j'ai $a$ tel que $\forall i: a_i\in A_i$"

Et bien, elle UTILISE l'axiome

SI pour chaque $i$, j'ai $\exists a_i\in A_i$ ALORS j'ai $a$ tel que $\forall i: a_i\in A_i$"

Et je n'ai fait qu'un copié-collé.

Et ATTENTION, le copié-collé n'est pas un "luxe" de ma part, il est OBLIGATOIRE si je cite le raisonnement de Julia. Je n'ai pas à "transformer" son inférence pour en faire un axiome.

Voici un autre exemple, fictif.

"Comme 2+TROIS = 5, donc on a $2+3=5"

Et bien, J'ai utilisé l'axiome qui dit :

"SI 2+TROIS = 5, ALORS on a $2+3=5"


3/

"avec la réserve de Raoul : chasser la théorie naïve qui nous empoisonne dans ces moments là"

Et bien non, pas du tout: PAS DE RESERVE. La théorie naive (qui est de toute façon essentiellement égale à la théorie formelle, donc ce n'est qu'une illusion) ne change rien à la chourcroute. L'ORIGINE d'un axiome relèvedes .. historiens à la rigueur. Un axiome ne devient pas "autre chose" (et quoi?) sous l'alibi qu'il aurait une origine plus subconsciente. Il n'y a aucune réserve, et nullement besoin de s'y conaitre dans quoique ce soit pour recenser ce qu'on a utilisé dans un texte argumentatif. C'est simple, c'est TOUT ce qui n'a pas été justifié (autrement dit, "tout" au sens propre, à quelques exceptions de connections, de type pointeurs)

4/ Ca ne concerne plus ton propos mais ce que j'ai flash-aperçu après :

ne pas confondre ce qu'on fait et ce qu'on pourrait faire à la place. Soit $E$ un ensemble contenant 5 éléments et tel que :

$$ \forall x\in E\exists y: R(x,y)$$

j'utilise l'axiome du choix pour dire :

donc
$$\exists f: \forall x\in E: R(x,f(x))$$

Je répète, J'UTILISE L AXIOME DU CHOIX

Ceci ne doit pas être confondu avec le fait que j'aurais pu le prouver. Certes, j'aurais pu le prouver, mais je ne l'ai pas fait et j'ai utilisé l'axiome du choix à la place.

Bref, ne pas confondre forme et fond et VIRER SANS MENAGEMENT les recherche d'implicites quand ce n'est pas ABSOLUMENT INDISPENSABLE. Les maths, c'est "WYSWYG", c'est à dire "what you see is what you get". Ce n'est pas de la philosophie

PS: @dom : tu as le théorème de Banach Tarski si tu veux des énoncés "choice"

Ok Christophe.
Sur « la réserve » je voulais juste dire que la théorie naïve donne parfois de mauvais réflexes.
[small]Un peu comme pour étudier la logique intuitionniste où les réflexes non(non(.))=id sont courants et j’avais eu du mal me « reformer ».[/small]

Ton dernier point est très utile avec « il existe $f$ … $R(x;f(x))$ ».
Ça banalise le truc sans effort.

@alesha, je n'ai pas vu ce que je considère des erreurs dans le tien.

J'en profite pour préciser qu'ici j'appelle "erreur" les choses qui allaient contre ce que j'ai dit à mon post, c'est à dire les confusion "forme/fond" du genre "ah ce n'est pas l'axiome du choix parce que c'est prouvable" ou "ah, le problème c'est que c'est un axiome implicite", etc, bref, je ne me rappelle plus les détails (peu de temps pour relire, peu d'intérêt),

mais par "erreur" j'entends les trucs hyper-robustes qui reviennent tout le temps dans les propos non issus de logiciens (confusion maths/physique, croyance à l'existence d'implicites forts, intensité accordée à la consistance (ie distinction collection ensemble, tendance à doter les fonctions de leurs supports), confusion "présence de négation de X, avec absence d'affirmation de X", etc

Je ferai peut-être un fil si ça intéresse des gens car au fond ce n'est pas tant sur les forums de matheux (même s'ils ne sont pas logiciens) qu'on les rencontre le plus, mais dans les rhétoriques courantes, et j'ai "des heures de vol" :-D dans l'analyse de ces "bagarres" au bout de 15 mois d'enquête sur les arnaques religieuses. Il y a même des fautes "inédites" qu'on dont on ne trouve JAMAIS d'occurrence chez les matheux (bon, c'est rare)

Julia Paule a écrit:

Pourquoi du coup cela serait-il valable dans le cas fini et pas dans le cas infini ?

Voilà une excellente question : peut-on démontrer l'axiome du choix fini? Autrement dit, en supposant que $(A_i)_{i \in I}$ est une famille d'ensembles non-vides et $I$ est un ensemble fini, peut-on montrer que $\Pi_{i \in I} A_i$ est non-vide?

Je te laisse chercher un peu? Ensuite, tu verras pourquoi on ne peut pas étendre ta preuve au cas $I$ infini.

Je marche sur des œufs par méconnaissance…

Je précise ce que j'avais en tête. Si $I$ est fini, alors on peut montrer que $\prod_{i \in I} A_i$ est non-vide par récurrence sur la cardinalité de $I$ en étendant une fonction de choix. La récurrence est une méthode qui permet de montrer des propriétés sur des objets finis (pour tout entier $n$, etc...). Si on veut appliquer cette méthode sur des objets infinis, on doit utiliser la récurrence transfinie, mais ça demande à ce qu'ils soient bien ordonnés.

Attention Julia, la question n'est pas de trouver une fonction qui à $x$ fait correspondre un $y$ de la même classe (sinon $x \to x$ conviendrait) mais une fonction qui à une classe $X$ fait correspondre un de ses éléments, pour le cas $\mathbb Z$, vous avez trouvé la réponse