Image directe, image réciproque
Bonjour,
Je m'étais déjà posé la question et avait trouvé une réponse qui me satisfaisait, malheureusement je ne la retrouve plus : pourquoi la définition des fonctions (un argument donne une seule image) fait que les images réciproques se comportent parfaitement bien, pour l'union, l'intersection, le complémentaire, etc ... (exemple : l'image réciproque de l'intersection est l'intersection des images réciproques), a contrario des images directes ?
Il me semble que c'est entièrement lié au fait qu'un argument donne une seule image. Je ne cherche pas une démonstration, ou une justification issue de bac +8, mais une phrase dans le langage courant qui justifie ce fait.
Merci d'avance.
Je m'étais déjà posé la question et avait trouvé une réponse qui me satisfaisait, malheureusement je ne la retrouve plus : pourquoi la définition des fonctions (un argument donne une seule image) fait que les images réciproques se comportent parfaitement bien, pour l'union, l'intersection, le complémentaire, etc ... (exemple : l'image réciproque de l'intersection est l'intersection des images réciproques), a contrario des images directes ?
Il me semble que c'est entièrement lié au fait qu'un argument donne une seule image. Je ne cherche pas une démonstration, ou une justification issue de bac +8, mais une phrase dans le langage courant qui justifie ce fait.
Merci d'avance.
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Réponses
En revanche, l'information $x \in f^{-1}(Truc)$ est très forte : elle te dit exactement où se promène $f(x)$.
Cela rejoint ce que tu dis : "Il me semble que c'est entièrement lié au fait qu'un argument donne une seule image.".
Ce que je dis n'est pas très intéressant, mais au moins je suis sûr de ne pas avoir atteint le niveau Bac + 8.
Ce que j'ai trouvé entre-temps, et cela rejoint ce que tu dis, mais bof aussi :
si $f^{-1}(B)=A$, alors $x \in A \Leftrightarrow f(x) \in B$,
mais si $f(A)=B$, on ne peut plus l'affirmer.
Donc $f^{-1}(B)=A$ est plus précis (dit plus de choses) que $f(A)=B$.
C'est peut-être là http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?14,2173066 ce que tu cherches et que tu as oublié.
Et aussi, $f^{-1}$ a un "aspect" injectif (du fait qu'un argument a une seule image) : si $x$ et $x'$ ont pour images respectives $y$ et $y'$ par $f$, donc sont des "images" de $y$ et $y'$ par $f^{-1}$, alors $y \ne y' \Rightarrow x \ne x'$, et un aspect surjectif : $f^{-1}(Y)=X$ ; donc par son "aspect" bijectif, elle respecte les unions, intersections, ..., bof aussi.
Voici un montage d'un texte extrait du livre d'algèbre de Monsieur Michel Queysanne, où il y est question d'une application $f:A\to{}B$. Si j'ai bien compris ton interrogation, le comportement exceptionnel et inconditionnel dont tu parles a fait en sorte que l'on choisisse les applications continues, a contrario des applications ouvertes, comme morphismes de la catégorie des espaces topologiques. Il en va également de même pour la catégorie des espaces mesurables et des fonctions mesurables. Le choix est loin d'être hasardeux, mais bien motivé.
Bonne soirée.
Thierry
Les derniers exercices ne sont pas invisibles. Les vois-tu ?
$f(A)$ n'est pas précis : des éléments peuvent provenir ailleurs que de $A$ : si $y \in f(A)$, alors $\exists x \in A$ tel que $f(x)=y$ (pas précis : il peut exister $x' \notin A$ tel que $f(x')=y$) ;
si on a $f(A \cap \subset f(A) \cap f(B)$ (car $A \cap B \subset A$ et $B$), l'inverse est faux car les éléments de $f(A) \cap f(B)$ peuvent provenir ailleurs que de $A \cap B$.
$f^{-1}(B)$ est précis : ses éléments ne peuvent provenir que de $B$, il est sans déperdition, les éléments de $f^{-1}(A) \cap f^{-1}(B)$ ne peuvent provenir que de $A \cap B$.
Maintenant, pourquoi $f^{-1}(B)$ est précis et $f(A)$ ne l'est pas ? Car $f$ est une fonction (les éléments de $f^{-1}(B)$ sont renvoyés dans $B$) tandis que $f^{-1}$ ne l'est pas (les éléments de $f(A)$ ne sont pas renvoyés sur $A$).
Donc les opérations sur les ensembles (intersection, union, complémentarité) commutent mieux avec $f^{-1}$ qu'avec $f$. Pour une opération sur des ensembles avec $f^{-1}$, on se moque de la surjectivité et on a l'injectivité, donc ça fonctionne, tandis que pour une opération avec $f$, on ne se moque pas de l'injectivité (par exemple pour l'intersection et la complémentarité), donc ça ne fonctionne pas toujours.
Bof, trop long de toute façon.
Je les récris à ma sauce.
$f(A)$ ne contient pas (forcément) des images qui proviennent seulement d’éléments de $A$ (i.e. : peut contenir des images d’éléments qui ne sont pas dans $A$).
$f^{-1}(B)$ contient tous les éléments dont l’image est dans $B$ et uniquement ceux-là grâce à l’unicité de l’image pour une fonction.
Remarque : pour la première phrase, « la quête » est de parler de l’ensemble $f(A)$ mais auquel on enlève les $f(x)$ pour les $x$ qui ne sont pas dans $A$.
$$f(A) \setminus \{ f(x)\mid x\notin A\}
$$ Si toutefois j’ai bien cerné le fond du sujet.
Édit : on peut aussi s’intéresser à l’ensemble dont l’intersection avec $A$ est vide et dont l’image est incluse dans $f(A)$.
$$\{ x\mid x\notin A,\ f(x) \in A \}
$$ Si je ne me trompe pas, c’est l’image réciproque du précédent.
Lexique à revoir pour moi : je ne sais pas si ça touche ce sujet ou pas mais j’avais entendu parler de « fibre » et il me semble que ça faisait le lien avec cela…
En supposant $A=f^{-1}(B)$, tu as $\forall x: [A(x)\iff B(f(x))]$, ce qui fait que "la plupart des choses" qui se passent*** pour $B$ seront héritées par $A$. En particulier, la complexité de $A$ ne peut pas dépasser celle de $B$ (en supposant $f$ dans le kit).
Par contre, dans l'autre sens, il ne se passe pas grand chose puisque la projection ne conserve pas grand chose (elle aplatit beaucoup de chose, dont la complexité, un ensemble d'une complexité inoui, peut devenir trivial (par exemple se projeter surjectivement)
*** Par exemple les opérations passent toutes, ie
$$(A*A')(x) = (A(x))*(A'(x)) = (B(f(x)))*(B'(f(x))) = (B*B')(f(x))$$
Je comprends que l'information $x \in f^{-1}(B)$ est plus riche que l'information $y \in f(A)$. Ou encore que la déformation de l'information entre $B$ et $f^{-1}(B)$ est moins grande qu'entre $A$ et $f(A)$.
Tu n'as pas du tout ça pour l'image directe.
Précision : un ensemble est une fonction, celle définie par $\forall x:(E(x):=[$ if $x\in E$ then vrai else faux$)]$
J'espère que tu vas bien. Quand je lis : "if $x\in E$ then vrai else faux", j'ai l'impression d'avoir affaire à un algorithme, donc à un objet purement métamathématique, ce qui me semble incompatible avec un ensemble qui est un objet mathématique. Que tu identifies un ensemble avec sa fonction indicatrice, je n'y vois aucun problème. Mais là, ça ne passe pas.
Amitiés,
Thierry
[if vrai then x else y] := x
[if faux then x else y] := y
(Quantificateur existentiel correspond ici à l'union et universel à l'intersection bien sûr)
Bon le point de vue catégorique étant que $f^{-1}$ est adjoint à droite et à gauche donc préserve intersections et unions.