Exercice de terminale C
Bonjour
Je suis en train de relire mon vieux manuel de Tle C, programme de 1982. J'ai besoin de replonger dans ces vieux programmes pour enseigner à des élèves de 1ère du bac européen. Je n'ai pas fait de logique depuis plus de 30 ans ...
Le premier chapitre concerne les tables de vérités, les parties d'un ensemble, le raisonnement par récurrence, les ensembles finis et le dénombrement.
Un des exercices demande de démontrer que les propositions $A \subset B ,\ A \cap B = A ,\ A \cup B = B ,\ A \cap \overline B = \emptyset $ sont logiquement équivalentes.
Est-ce qu'ils attendent de faire ça avec des tables de vérité ? Et si oui, comment ?
Je suis en train de relire mon vieux manuel de Tle C, programme de 1982. J'ai besoin de replonger dans ces vieux programmes pour enseigner à des élèves de 1ère du bac européen. Je n'ai pas fait de logique depuis plus de 30 ans ...
Le premier chapitre concerne les tables de vérités, les parties d'un ensemble, le raisonnement par récurrence, les ensembles finis et le dénombrement.
Un des exercices demande de démontrer que les propositions $A \subset B ,\ A \cap B = A ,\ A \cup B = B ,\ A \cap \overline B = \emptyset $ sont logiquement équivalentes.
Est-ce qu'ils attendent de faire ça avec des tables de vérité ? Et si oui, comment ?
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Réponses
-- Schnoebelen, Philippe
Mais est-ce que ça suffit à démontrer qu'elles sont "logiquement équivalentes" ?
Sinon, les tables de vérité se font bien avec un tableau assez large pour tout y écrire (une colonne par lettre et par opérateur) mais c’est plus long.
-- Schnoebelen, Philippe
Une table de vérité sous forme de table de Karnaugh est un carré 2x2, avec (par exemple) A sur le côté valant 0 (1ère ligne) ou 1 (2ème ligne) et B au dessus valant 0 (1ère colonne) et 1 (2ème colonne).
Chaque case vaut 1 si la proposition est vraie et 0 sinon.
On doit donc obtenir quatre tables identiques.
Alain
Comment écrire $A \subset B$ dans une table de vérité ?
$\begin{matrix}
A & B & || & A & \cap & B & = & A \\
== & == & == & == & == & == & == & == \\
F & F & || & F & F & F & V & F \\
F & V & || & F & F & V & V & F \\
V & F & || & V & F & F & V & F \\
V & V & || & V & V & V & V & V
\end{matrix}$
Ceux qui comptent sont les V sous le dernier opérateur calculé, ici l’égalité.
$A \subset B$ s’écrit $B \implies A$.
-- Schnoebelen, Philippe
Tu peux essayer de démontrer :
$A \subset B \Longrightarrow A \cap B = A \Longrightarrow A
\cup B = B \Longrightarrow A \cap \overline B = \emptyset \Longrightarrow A \subset B$.
Je suppose que $A \subset B$, autrement dit $\forall x, \; x\in A \Longrightarrow x\in B \qquad (\star)$.
L'inclusion $A \cap B \subset A$ est acquise.
Soit $x \in A$, on a donc $x\in B$ d'après $(\star)$. Donc $x \in A \cap B$.
Ainsi on a $\forall x, \; x \in A \Longrightarrow x\in A \cap B$. Autrement dit $A\subset A \cap B$
Finalement on a bien $A \cap B = A$.
On a donc démontré $~\boxed{A \subset B \Longrightarrow A \cap B = A.~}$
Courage et huile de coude.
e.v.
[Merci à Dom pour la correction]
Ev m'a devancé, fort heureusement. Je vois mal comment l'on peut affecter une valeur de vérité à un ensemble. A la rigueur, l'affecter à un énoncé du style $x\in{}A$ ne m'aurait pas choqué du tout. Enfin, $A\subset{}B\Leftrightarrow(\forall\,x)(x\in{}A\Rightarrow{}x\in{}B)$.
Bonne soirée.
Thierry
nicolas.patrois , le "$A \subset B $ s’écrit $B \implies A$" est une convention admise en logique ou juste dans ce contexte précis où le $\forall x$ serait sous-entendu ? J'ai justement cherché un peu partout si c'était le cas, intuitivement ça me paraissait évident, mais je n'ai rien trouvé.
Comme tu as utilisé les notations ensemblistes, j’ai proposé les notations de Venn. Si tu préfères, tu peux traduire les notations ensemblistes mot à mot et remplaçant $\cup$ par OU, $\cap$ par ET, $=$ par équivalent, etc.
-- Schnoebelen, Philippe
-- Schnoebelen, Philippe
1/ $f\leq g$
2/ $f= \inf(f,g)$
3/ $g=\sup(f,g)$
4/ $f(1-g)=Cste(0)$
Après avoir porté les opérations sous la règle de définition $(f*g):=[x\mapsto (f(x) \ *\ g(x))]$.
Est-ce que pédagogiquement il est vraiment important de ne pas faire la confusion entre l'inclusion et une opération ensembliste (il va s'agir d'élèves de 1ère et je ne vais passer que quelques séances sur ce thème) ou ce n'est pas si choquant que ça et ça se corrigera très bien pour un éventuel élève qui ferait de la logique plus tard ?
Il n'y a rien de pire quand les sphères prétendent s'occuper de logique.
-- Schnoebelen, Philippe
René est un de mes amis, et j'ai moi-même "co-écrit" des livres dans lesquels je désapprouve TOTALEMENT des endroits que je n'ai pas écrit, et ça n'a pas empêché de me taire et de respecter le co-travail. Même des endroits qui sont classés "sous ma plume" je les désapprouve car ne les ai en fait que corrigés partiellement, etc. La co-écriture ne garantit rien.
Mais de toute façon, je proposais un principe général qui est : quand tu prouves un truc à des gens, ta preuve doit AUSSI te convaincre toi-même. Rien de plus. Comme dit les sphères pédagos sont les mires qui soient pour parler de logique et il y a des raisons rationnelles à ça:
- à la différence de sujet ultra-techniques, elles ont tendance à "revendiquer un droit de parole" sous le prétexte que logique = fondement = on en parle aux enfants
- du fait des fortes idéologies et des gros planquages (beaucoup de gens en échec se "sont redirigés" en pédagogie), puis du recul et des prises de conscience des erreurs qu'elles veulent maintenir cachées, elles font du "Ségolène-Royal-nucléaire-iranien", c'est à dire "organisent" a posteriori des "justifications" de choses qu'elles n'avaient pas comprises en faisant semblant de les avoir "comprises-et-rejetées"
etc.
Bref, pour des plans, des extraits de programme ou d'exercices ouverts, des transmissions d'ordre hiérarchiques, ces documents ont un intérêt je dirais "hiérarchique". Mais pour dido sur son sujet précis sa SINCERITE vaudra toujours 10 fois plus.
Cet exo est un exo d'algèbres de Boole déguisé.
Faisons un topo rapide.
1°) Une algèbre de Boole $(A,+,\times)$ est un anneau dans lequel $x^2=x$ pour tout $x\in A$. Cela équivaut (on ne va pas le prouver ici mais c'est pour donner la motivation derrière le concept) à ce qu'il existe un ensemble $I$ tel que $(A,+,\times)$ est isomorphe à un sous-anneau de l'anneau produit $(\Z/2\Z)^I$.
Notamment, $A$ est commutatif est de caractéristique $2$ (c'est un exo connu, traitable directement à partir de la définition; on va admettre ses conclusions dans le reste de ce qui suit mais si vous ne l'avez jamais vu, je vous le recommande).
2°) Bien évidemment, $(\Z/2\Z,+,\times)$ est une algèbre de Boole, la plus simple de toutes (on emploie parfois les notations $"faux":=0$ et $"vrai":=1$).
Citons aussi (c'est l'exemple du présent fil) $(\mathcal P(E),\Delta, \cap)$ où $X\Delta Y := (X \cup Y) \backslash (X \cap Y)$, l'isomorphisme entre $\mathcal P(E)$ étant donné par l'application qui à $A\in \mathcal P(E)$ fait correspondre sa fonction caractéristique (si vous ne voyez pas ou ne savez plus à quoi correspond la mystérieuse opération "$\Delta$", dite "différence symétrique", pensez à cet isomorphisme).
3° ) Dans une algèbre de Boole $(A,+,\times)$, les opérations qui importent ne sont pas $+$ et $\times$ mais plutôt $\vee$, $\times$ (et $\times $ est renommé en $\wedge$) où $x\vee y:= x+y + (x \times y)$ (à nouveau songez à la différence symétrique) et $\neg$ donnée par $\neg z := 1-z$ pour tout $z\in A$.
Bien sûr d'autres opérations dérivées de ces opérations sont définissables, par exemple:
$x \Rightarrow y:=(\neg x) \vee y$
$x \Leftrightarrow y := (x \Rightarrow y) \wedge (y \Rightarrow x)$.
$x|y:= \neg (x \wedge y)$. ("nand")
4°) Noter qu'on aurait pu définir "$+$" à partir de $\wedge,\vee,\neg$, via $a+b:=(a \vee b) \wedge \neg (a \wedge b)$ pour tous $a,b$ (le lecteur peut vérifier cette égalité; on retrouve la définition de la différence symétrique plus haut comme cas particulier). Cependant définir les algèbres de Boole avec des axiomes portant sur $\wedge,\vee,\neg$ est plus délicat, j'ai choisi cette présentation pour que ça aille vite (encore que voir plus bas).
Maintenant que nous avons les opérations basiques internes à $A$, définissons sur $A$ une relation binaire qui s'avèrera être une relation d'ordre.
5°) On pose pour tous $x,y\in A$, $x \leq y:= x = xy$. C'est-à-dire qu'on décrète que "$x$ est plus petit que $y$" si $x=xy = x \wedge y$.
On vérifie qu'il s'agit d'un ordre (exercice routinier), qui est précisément l'inclusion lorsque $A$ est un sous anneau de $\mathcal P(E)$.
L'exo dont le fil est l'objet se traduit intégralement dans ce formalisme.
-Une valeur de vérité est un morphisme d'anneau entre une algèbre de Boole et $\Z/2\Z$ (pourquoi? expliquer)
###########################
BONUS: Algèbres de Heyting.
6°) On appelle algèbre de Heyting un ensemble ordonné $(H,\leq)$ pour lequel:
(i) Toute partie finie (même vide) de $H$ possède une borne supérieure et une borne inférieure dans $H$ (pour tous $x,y\in H$, les notations $x\vee y:= \sup \{x,y\}$ et $x \wedge y:= \inf \{x,y\}$ sont couramment employées).
(ii) Pour tous $a,b\in H$, l'ensemble des $x\in H$ tels que $a\wedge x\leq b$ possède un plus grand élément noté $a\Rightarrow b$.
Il se trouve que les algèbres de Heyting généralisent les algèbres de Boole:
7°) montrer (exo) qu'avec l'ordre défini au paragraphe précédent, tout algèbre de Boole est une algèbre de Heyting (avec les mêmes notations).
La réciproque est fausse: pour tout espace topologique $X$, l'ensemble des ouverts de $X$ ordonné par l'inclusion est une algèbre de Heyting (exo) mais n'est pas une algèbre de Boole en général ($\R$ fournit déjà un contre exemple).
Cependant:
8°) Toute algèbre de Heyting $(H,\leq)$ est aussi une algèbre de Boole si et seulement si $(x \Rightarrow y) \Rightarrow y = x \vee y$ pour tous $x,y$ (ce n'est pas vraiment immédiat avec les seuls résultats évoquées dans ce message).
Il y a d'autres caractérisations.
ICI
à dido.
L'étoffage étant laissé à sa discrétion que je lui ai recommandée de faire en priorité sincère.