Vers l’infini et au-delà

Bonsoir.

Parler de "La crise des fondements", c'est occulter les autres.

Désolé, je n'ai pas trouvé cet article en accès libre, mais le résumé est suffisamment explicite.

À noter que l'argument diagonal a, semble-t-il, d'abord été perçu comme un outil de recherche avant d'être l'origine de la crise du XXième siècle de par son application en théorie naïve des ensembles, via le paradoxe dont on a déjà parlé.

À bientôt.

Pas de soucis, il n'y a donc plus de crise.

À bientôt.

@Foys : je suis évidemment d'accord avec toi. Quand je disais qu'on a résolu les paradoxes j'aurais dû préciser "au moins momentanément".
Quant à la question de la consistance de ZF on ne saura probablement jamais. Enfin ça dépend : s'il y a une contradiction on finira sans doute par la découvrir un jour, à condition que l'humanité survive suffisamment longtemps sans retomber dans la barbarie comme dans certains romans de SF. Par contre si elle est consistante on ne pourra jamais en être sûrs à 100%.
C'est comme l'existence de Dieu : s'il existe il nous le fera bien savoir un jour ou l'autre. S'il n'existe pas on n'arrivera jamais à la démontrer.

"Ces problèmes sont provoqués par la nature, non pas par les gens qui attirent l'attention sur eux."
Excuse-moi mais là je ne comprends pas bien ce que tu veux dire.

Le premier texte que j'ai cité concerne son hospitalisation de 84, donc aucune n'est due à Kronnecker.

Bonjour

@Sneg: je ne suis pas sûr que Cantor ait été le seul mathématicien à avoir été étonné voire déstabilisé par un résultat qu'il venait de démontrer. Sa phrase est restée célèbre pour des raisons diverses et variées, pas forcément des plus mathématiques d'ailleurs. Cela ne remet pas en question les mathématiques à chaque fois. Ca indique juste une différence entre notre intuition et le monde mathématique.
En fait, l'adéquation souhaitée, attendue, etc. entre le monde bien réglé des mathématiques, nos intuitions et le monde physique est un certain parti pris et fait l'objet de pas mal de travaux notamment philosophiques.
Et dès qu'on rentre dans l'infini, les choses se compliquent encore plus: comme je le disais dans un autre post, si le monde est totalement quantique, alors la notion même d'infini pourrait n'être qu'un construit mental, une sorte de "complétion" du monde, bien pratique au jour le jour, mais peut-être simplement une astuce sans autre portée. Mais là encore, beaucoup de débats sur ce point.

Enfin, on en revient encore à des histoires de définition des termes mathématiques. En effet, la notion de "plus gros" n'a pas de sens intrinsèque: ce n'est qu'une fois posée une définition, forcément construite, qu'on peut l'utiliser.
Plus clairement, pour un ensemble A, si je définis C(A) comme la borne sup des cardinaux des sous-ensembles finis de A, alors je peux aussi définir "plus gros" ainsi:
A est plus gros que B si $C(A) \geq C(B)$.

C(A) correspond littéralement au "comptage" du nombre de points de A et "plus gros" est donc une vision très intuitive de la grosseur. Avec cette définition, tous les ensembles infinis sont équivalents (plus gros entre eux).

Et inversement, si on définit "plus gros" en posant des structures plus riches sur les ensembles, comme celle d'espace vectoriel, alors, par exemple, $\mathbb{R}$ et $\mathbb{R}^2$ ne plus sont "équivalents en taille".

Du coup, l'étonnement de Cantor provient de la façon dont nous construisons/définissons la notion de "grosseur" entre ensembles et du problème de l'infini.

@l

"problème de la lettre"

J'ai beaucoup utilisé (avec un bon pourcentage de réussite) avec mes élèves l'histoire suivante :

1) $x = y$ si et seulement pour toute formule $\varphi : \varphi(x) \Leftrightarrow \varphi(y)$
2) Jocaste = mère d'Œdipe.
3) La phrase "Œdipe sait qu'il épouse Jocaste" est manifestement vraie
4) La phrase "Œdipe sait qu'il épouse sa mère est manifestement fausse

Tout cela pour montrer qu'en mathématique le nom donné aux variables et aux constantes est non significatif (on peut même parler d'ontologie si on veut frimer)

La lettre $x$ n'a pas le même rôle dans "$x \mapsto x^3-x+1$" que dans "$x,y$ désignent ci-après des nombres réels; on a $x^2 - y^2 =(x-y)(x+y)$".
C'est un auxiliaire grammatical dans le premier exemple et un nom propre dans le deuxième.

Je ne suis pas d'accord. L'emploi de locutions telles que "auxiliaire grammatical", dont on ne sait pas très bien ce qu'elle veut dire, ou "nom propre", i.e. le nom d'une personne ou d'un lieu, ne fait qu'embrouiller les choses et contribue précisément au pédagogisme que tu dénonces !

L'expression "$x \mapsto x^3-x+1$" est une abréviation, celle qui désigne l'unique ensemble $f$ tel que

$f \subset \R^{2} \wedge \forall x, y \in \R,\ \big((x,y) \in f \Leftrightarrow y = x^3-x+1\big)$.

Quant au second exemple, c'est l'énoncé

$\forall x, y \in \R ,\ x^2 - y^2 =(x-y)(x+y)$.

Dans les deux expressions, la lettre $x$ est exactement la même chose : une variable avec trois occurrences liées au même quantificateur (et aucune de libre).
À ce titre, elle est "muette", en ce sens qu'on peut la remplacer par n'importe quelle autre variable (qui ne figure pas dans l'expression), en vertu du théorème que l'étudiant devrait avoir vu et démontré au moins une fois :

$(\forall x ,\ P(x)) \Leftrightarrow (\forall t ,\ P(t))$

ce qui devrait le convaincre une fois pour toutes (en se donnant la peine d'écrire explicitement les deux formules abrégées) que

"$x \mapsto x^3-x+1$" et "$t \mapsto t^3-t+1$"

désignent le même objet.

Si je n'ai pas introduit de (disons réel) $x$, alors la lettre $x$ est une variable libre dans la formule $x^5-x-1=0$.

En fait cela dépend de l'expression dans laquelle on se place. Par exemple, dans l'expression, $\forall x,\ f(x)=f(y)$, la variable $y$ est libre (fixée antérieurement) et la variable $x$ est liée (muette), et dans l'expression, $\exists y,\ \forall x,\ f(x)=f(y)$, les deux variables $x$ et $y$ sont liées (muettes) ?

Bonjour.

Foys, tu as écrit une quantification dans la phrase que tu as écrite. Tu l'as écrite en français, mais elle est là.

Moi, je ne considère donc pas cela comme une distraction.

À bientôt.

Dreamer: introduction de contexte et quantifications ne sont pas la même chose (si ce que tu dis est ce à quoi je pense).

Médiat a écrit:

Ou alors c'est l'usage implicite d'une règle d'inférence du calcul des prédicats (la règle de généralisation)

Dans ce cas on fait les choses en deux temps:
$\mathcal C$ est un ensemble de lettres (un "contexte"), $x$ est une lettre, $\Gamma$ est un ensemble d'énoncés dont toutes les lettres (libres) sont dans $\mathcal C$ et $F$ est un énoncé dont toutes les lettres libres sont dans $\mathcal C \cup \{x\}$

Ce qu'on fait sans le dire:
1° On établit $\Gamma \vdash_{\mathcal C \cup \{x\}} F$
2° On invoque une certaine règle pour en conclure que $\Gamma \vdash_{\mathcal C} \forall x F$

Il y a une sorte d'enfumage consistant à dire que ces deux étapes sont en fait une seule alors qu'on manipule des objets de type différent et pour que ça passe on dit que $x$ est un objet magique.
Tant qu'on est conscient du mécanisme sous-jacent ça va.
Mais sinon, on entretient des confusions et après on ne sait plus d'où proviennent les problèmes.

Ne pas confondre $\vdash_{(x:\R); (y:\R)} x^2-y^2 = (x-y)(x+y)$ et $\vdash_{\emptyset} \forall x,y:\R, x^2-y^2 = (x-y)(x+y)$.

Quand à l'incorrect $\vdash_{\emptyset} x^2-y^2 = (x-y)(x+y)$, il appelle très justement les plaintes que vous connaissez bien: "Monsieur c'est quoi $x$ et $y$ ?"

Foys, il y a deux choses :

- Généralement distrait : Tel quel, c'est faux. Si tu considères qu'une distraction ou coquille en moyenne par 500 messages, c'est être "généralement distrait", alors il n'y a personne sur le forum qui ne l'est pas.

Pour information, on considère qu'un texte mathématique relu par les pairs est de très bonne qualité quand il n'y a pas plus d'une distraction par 50 pages de texte. Ton exigence personnelle est élevée.

- Introduction de contexte : Si l'écriture en français de la quantification est une introduction de contexte, tu ne peux pas ensuite écrire en rouge et gras qu'il n'y a pas de quantification implicite, car c'est ce que ton introduction de contexte souligne justement.

On a parlé récemment de la difficulté de tout écrire uniquement en langage mathématique.
Tu maintiens donc cette position ?

À bientôt.

Foys, j'ai trop de considérations pour les personnes avec lesquelles je dialogue que pour tronquer ce qu'ils écrivent.

Tu as par contre implicitement répondu à ma question. Merci.

À bientôt.

Bonjour,

Sneg, ça n'existe pas, par définition.
Il y a une bijection naturelle entre les décimales d'un nombre décimal et $\mathbb{N}$.

Cordialement,

Rescassol

Je suis très étonné par tes questions. Un jour tu demandes un entier naturel avec une infinité de chiffres, maintenant tu demandes un réel avec une infinité non dénombrable de décimales. Tu n'as jamais vu ces notions au collège ?

De manière générale, on ne peut décemment généraliser les réels en des nombres possédant une infinité non dénombrable de "décimales" car une famille sommable a un support au plus dénombrable, et les décimales proviennent par définition d'un développement en série de notre nombre.

Si on considère les nombres ayant une infinité non dénombrable de décimales"en base 2", vous tombez sur la définition des nombres surréels donnée par Gonshor (bien que le terme décimales ne soit pas approprié).

Déjà, dans les rationnels, certaines opérations sont difficiles à mener en n'utilisant que le développement décimal

Par exemple $1.\underline 2 \times 0.\underline{81}$

Encore de la temporalité. Il ne s'agit toujours pas de maths.

Il me semble aussi qu'une des façons d'envisager les surréels de Conway est de faire la même construction mais en partant de la classe de tous les ordinaux au lieu de $\omega_1$.

Oui c'est la construction de Gonshor dont je parlais plus haut (en base 2)

Gonshor lui-même dans son bouquin définit les opérations en utilisant l'équivalence avec la méthode Conway

Je corrige:

1) On ne dit pas "décimale en base $2$" :-D

2) On peut écrire tout nombre surréel comme une somme $\sum \limits_{\gamma<\lambda} \iota_{\gamma} 2^{x_{\gamma}}$ où $(x_{\gamma})_{\gamma<\lambda}$ est une suite décroissante de surréels (avec une condition supplémentaire), les $\iota_{\gamma}$ sont dans $\{-1;1\}$, et $2^{.}$ désigne l'exponentiation en base $2$ définie à partir de l'exponentielle de Gonshor. Voir Ressayre, Integer parts of real closed exponential fields.

3) Cependant ce n'est pas la façon classique de les représenter, et comme l'écrit Médiat les bit dans la représentation de Gonshor ne peuvent pas s'interpréter directement comme des chiffres binaires (sauf cas très particuliers).

4) En général il existe des moyens de donner du sens à des suites de décimales indexées par des ensembles non-dénombrables, ce dans certains systèmes de nombres qui ne sont donc pas les réels (à Sneg). Et le meilleur conseil qu'on pourrait donner à Sneg est de se renseigner sur les définitions des termes qu'elle emploie pour guider ses expériences de pensée mathématiques.

5) Parler d'"expansions à droite" pour les $p$-adiques est une convention, qui permet notamment de souligner l'étrangeté des $p$-adiques par rapport aux réels. Mais les chiffres les plus à droite donnent des approximations de plus en plus fines du nombre $p$-adique donné selon la topologie des $p$-adiques. Ainsi ce n'est pas vraiment un renversement de la notion de suite décimale et d'aucuns se les représenteront à gauche comme le reste.

6) Avec un peu de détermination, on peut venir à bout de tout. Cependant si l'on veut comprendre comment fonctionnent les expansions décimales ou binaires des nombres réels, il vaut peut-être mieux éviter de plonger dans les expansions des surréels, qui contiennent des subtilités et même des irrégularités.

7) La construction de Dedekind à partir d'un corps ordonné non-archimédien produit seulement un ensemble totalement ordonné (complet ou complet aux extrémités près). On perd notamment le caractère régulier à-droite-à-gauche de la somme car (la coupure des nombres finis) +1 = la coupure des nombres finis.

8) Si l'on restreint cette construction en ne considérant que les coupures $(A,B)$ où pour tout $\varepsilon>0$ dans le corps d'origine, on trouve $(a,b) \in A \times B$ avec $b-a<\varepsilon$, alors on obtient bien un corps ordonné qui étend naturellement le premier. Cependant cela n'ajoute rien dans le cas du corps décrit par Martial, car il ne contient aucune coupure vide de ce genre (il est déjà "Cauchy-complet").

9) L'opération $\alpha \oplus \beta$ donnée par Martial n'est pas la "somme de Hessenberg", ou "somme naturelle", qui par exemple donnerait $(\omega+1) \oplus (\omega+1)=\omega.2 + 2$.

10) La somme de Hessenberg peut être définie à la Conway par $\alpha \oplus \beta = \sup \ \{(\alpha \oplus \beta')+ 1;(\alpha' \oplus \beta) + 1 \ | \ \alpha' \in \alpha \wedge \beta'\in \beta\}$.
Pour le produit, il y a une formule similaire, mais elle implique d'aller dans le symmétrisé de $(\mathbf{On},\oplus)$.

11) Les opérations de Hessenberg sont en général définies en utilisant la forme normale de Cantor, commençant par la somme.

Dreamer: Les irrégularités sont relatives à la représentation par suites de signes de Gonshor. Que se passe-t-il si l'on ajoute un signe $\iota \in \{+1;-1\}$ à la fin de la séquence de signe d'un nombre surréel $a$? Lorsque la longueur de $a$ est finie, cela revient à un détail près à ajouter $\frac{\iota}{2^n}$ où $n$ est l'emplacement du signe. Mais lorsque la longueur de $a$ est infinie cela peut aller d'ajouter un tout petit infinitésimal à ajouter $1$.
On peut abolir cette irrégularité en prenant de la hauteur, mais alors s'en pose une autre: l'exponentiation en base $2$ n'est pas "la plus simple façon" de définir une opération à croissance sur-polynomiale, bien qu'elle apparaisse naturellement pour représenter les surréels de longueur finie et donc les plus simples. En somme la représentation binaire est naturelle dans certains cas, et pas dans d'autres.

Sinon les sommes telles qu'écrites en 2) se comportent comme on s'y attend.

La subtilité principale est que ce qui indexe les chiffres binaires (les $x_{\gamma}$) n'est pas un ordinal, de sorte que l'expansion $a= 0,+-+++ ... -+--+--+-- ... -+-$ est ambigüe en tant qu'expansion binaire: on ne sait pas à quoi correspond le premier chiffre/signe après les premiers pointillés.

@Palabra, vous trouvez que le comportement des suites finies (de Gonshor) est différent suivant que l'on parle de suite finie ou infinie

1) c'est assez usuel
2) tant qu'à parler d'irrégulrarité c'est plutôt le cas fini qui n'est pas comme les autres
3) l'opération dont vous parlez n'est pas une opération usuelle ("ajouter à la fin")

Si ce que vous voulez dire c'est que la présentation de Gonshor n'est pas la plus pratique à manipuler, nous seront d'accord, le fait que Gonshor, lui-même, définisse les opérations usuelles à l'aide de la corresondance avec la présentation de Conway en est une bonne illustration