Vers l’infini et au-delà
Réponses
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Bonjour,
Existe-t-il des nombres naturels possédant une infinité (dénombrable) de chiffres ?
Si oui, ces nombres sont-ils en quantité infinie (dénombrable) ?
Merci d’avance. -
Bonjour.
Qu'appelles-tu "nombres naturels" et comment définis-tu leurs chiffres ?
Cordialement. -
Existe-t-il des nombres naturels possédant une infinité (dénombrable) de chiffres ?
Quelle drôle d'idée ! Bien sûr que non, tout entier naturel sauf 0 et 1 est plus grand que son nombre de chiffres.
Les entiers p-adiques peuvent avoir une infinité de chiffres (qui s'écrivent de la droite vers la gauche), mais c'est une toute autre histoire. L'anneau des entiers p-adiques n'est pas dénombrable. -
... + milliers + centaines + dizaines + unités.
Peut-on imaginer des nombres entiers qui auraient une infinité de chiffres « à gauche » des milliers ? -
[large]tout entier naturel sauf 0 et 1 est plus grand que son nombre de chiffres[/large]
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Merci à vous.
Prenons un exemple concret :
Les cinq premiers termes de la suite des « repunits » (entiers naturels uniquement constitués du chiffre 1) sont :
1
11
111
1111
11111
Dans cet exemple, je souhaiterais savoir si l’on peut imaginer un « repunit » possédant une infinité de chiffres et que l’on écrirait par exemple comme ceci :
... 11111. -
Il faut s’entendre par ce que signifie « nombre de chiffres ».
Déjà, s’agit-il de l’écriture décimale ? Je suppose que oui.
Ensuite, on a le droit de considérer « le nombre de chiffres » comme dénombrable en considérant une infinité (dénombrable) de $0$ (ceux qui sont « devant »).
Ne nombre $dix$ a pour écriture $00000000010$. Et plein d’autres, notamment si on utilise la virgule…
Le développement décimal est la suite (infinie) de ses chiffres. Et on peut encore affiner en jouant avec l’écriture de la partie entière.
Bon, après avoir pinaillé, j’imagine qu’on voulait dire « nombre de chiffres dans l’écriture décimale qui demande le moins de symbole ». -
Bonjour, Dom, et merci.
Je reformule ma question sous une forme plus mathématique, j’espère :
L’esprit humain semble capable d’imaginer qu’un réel possède une infinité de décimales. Est-il capable d’imaginer qu’un réel puisse posséder une partie entière infiniment grande, c’est-à-dire plus grande que n’importe quelle valeur arbitrairement choisie ?
Merci. -
[size=x-large]tout entier naturel sauf 0 et 1 est plus grand que son nombre de chiffres[/size]
Sneg, tu ne parles donc pas d'entiers naturels. De quoi parles-tu ? -
La "forme mathématique", ce n'est toujours pas ça. Qu'est-ce qu'une "valeur" ?Est-il capable d’imaginer qu’un réel puisse posséder une partie entière infiniment grande, c’est-à-dire plus grande que n’importe quelle valeur arbitrairement choisie ? -
Comme déjà dit : les nombres p-adiques, avec un nombre infini de chiffres à gauche de la virgule et fini à droite
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L’idée des nombres p-adiques me plaît beaucoup. Merci, Médiat. Et GaBuZoMeu, qui en a parlé aussi. Merci à tous.
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Si j'ai bien compris tout ce qui précède, l'argument diagonal fonctionne comme ceci :
1) On s'imagine devant une liste de nombres infinie dénombrable, donc en bijection avec $\mathbb{N}$.
2) Grâce à l'argument diagonal, on exhibe un nombre censé se trouver dans la liste mais qui, par construction, ne peut pas s'y trouver.
3) On conclut alors que la liste n'est pas en bijection avec $\mathbb{N}$.
Un point crucial, c'est que le nombre exhibé doit être de même nature que les nombres appartenant à la liste. Par exemple, si la liste compte tous les nombres pairs et que je viens, d'une façon ou d'une autre, à exhiber un nombre impair, je ne prouve pas pour autant que l'ensemble des nombres pairs est non-dénombrable, évidemment.
Dans cette vidéo
un monsieur prétend infirmer l'argument diagonal. Comment le contrer ?
Je pense que le nombre qu'il exhibe est un nombre p-adique ("fait d'une suite infinie de chiffres à gauche de la virgule") et que, pour que son raisonnement soit valable, il faut que les nombres de sa liste soient eux aussi p-adiques. Or, je lis que l'ensemble des nombres p-adiques a la puissance du continu, ce qui expliquerait bien pourquoi les nombres de sa liste ne sont pas dénombrables.
Est-ce que ce que j'écris est juste ?
Merci d'avance. -
Cela me paraît correct, le nombre qu'il exhibe aura une infinité de chiffres donc pas dans IN
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Comment justifie-t-on que ce nombre qui a une infinité de chiffres n’est pas dans $\mathbb{N}$ ?
Parce qu’il n’a pas de successeur direct ? -
Bonsoir.
Comment établir simplement une bijection entre les nombres p-adiques ayant une partie décimale nulle et l'intervalle ]0, 1[ ?
Ensuite, comment comprendre la notion de successeur immédiat d'un nombre p-adique donné comme précédemment et l'opération équivalente sur le réel de ]0, 1[ en bijection avec lui ?
La notion de successeur à-t-elle encore un sens dans ce contexte ?
À bientôt.Cherche livres et objets du domaine mathématique :
Intégraphes, règles log et calculateurs électromécaniques.
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Tu veux parler des entiers $p$--adiques ?
À un élément de $[0,1$[ écrit en base $p$ tu peux faire correspondre un entier $p$ -adique en écrivant la suite des "décimales" de droite à gauche. C'est injectif, presque surjectif.
Tu obtiens une injection dans l'autre sens en prenant un entier $p$-adique $\ldots c_n\ldots c_2c_1c_0$ et en l'envoyant sur le réel $0,c_00c_10c_20,\ldots$. Tu charges ensuite Messieurs Cantor et Bernstein de te fabriquer une bijection.
Pas compris.Ensuite, comment comprendre la notion de successeur immédiat d'un nombre p-adique donné comme précédemment et l'opération équivalente sur le réel de ]0, 1[ en bijection avec lui ?
Non, je ne vois pas. Quel ordre ?La notion de successeur à-t-elle encore un sens dans ce contexte ? -
J'ai posé ces questions là car je n'ai pas assez de maturité dans ce domaine pour y apporter les réponses adéquates.
Pour le successeur immédiat, j'ai juste en tête l'opération '+1' sur les nombres p-adiques, comme décrite par Sneg.
Quand même content qu'on soit à peu près d'accord au sujet de la bijection.
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Vous avez le choix :Comment justifie-t-on que ce nombre qui a une infinité de chiffres n’est pas dans N ?
1) ce n'est pas ainsi que l'on note les entiers
2) il y en a trop (non dénombrable)
3) ...999 + 1 = 0 -
Comment justifie-t-on que ce nombre qui a une infinité de chiffres n’est pas dans N ?
Parce qu’il n’a pas de successeur direct ?
Encore une fois : pour tout entier naturel n différent de 0 et 1, le nombre de chiffres de n est strictement plus petit que n.
C'est du chinois pour toi ? -
GaBuZoMeu,
Ce que j’ai cherché à savoir par moi-même cette après-midi, c’est si l’affirmation que tu as faite à plusieurs reprises à propos du nombre de chiffres des entiers naturels fait partie de la construction des entiers par Peano. Je n’ai rien trouvé. Mais j’ai peut-être mal cherché.
Merci de me renseigner. -
Essayons déjà avec l’écriture en base « un » (mais écartons alors le nombre zéro).
Faisons la remarque qu’avec une écriture dans une autre base, cela demande moins de symboles qu’avec la base « un ». -
C'est un énoncé lié à la base de numération.
Par exemple, dans la base primitive 'unitaire', le nombre de bâtons (je les appelle comme cela plutôt que de parler de chiffres 1) est égal au nombre représenté pour tout naturel.
En base deux, c'est à partir de 3 que le nombre est plus grand que son nombre de chiffres.
Pour les bases supérieures, il en va effectivement comme l'a dit GaBuZoMeu.
Donc, si l'on excepte la fameuse représentation primitive, pour les autres bases de numération il existe une valeur finie à partir de laquelle le nombre est plus grand que le nombre de ses chiffres.
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D’accord, Dreamer, c’est une constatation. Mais c’est un axiome écrit quelque part ?
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A mon sens non car tel qu'écrit et sans précautions il y a deux exceptions (base primitive et base deux), ce qui est moyen pour un axiome.
Au delà de ça, tout n'est pas toujours écrit explicitement ou alors on en arrive à des écrits comme ceux de Bertrand Russell où "1+1=2" est défini à la 379ème page.
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Je répète qu’il s’agit d’une convention jamais vraiment écrite « le nombre de chiffres de $seize$ est 2 » alors qu’on peut très bien l’écrire « 000016 » et même « 0016,00000 ».
Dans ce cas on a des difficultés à définir « le » nombre de chiffres. -
Oui, mais respecter les conventions, c’est être conventionnel, pas mathématicien. :-)
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Il faut effectivement d'abord préciser qu'un naturel n'a pas de partie décimale, cela évite les écritures problématiques après la virgule. Ensuite, dans une base positive donnée, l'écriture d'un naturel donné est finie.
Moyennant ces préambules il est possible de manipuler le nombre de chiffres d'un naturel.
Je ne vois pas ce qu'il y a d'extravagant.
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Qui veut noyer son chien l'accuse de la rage.
Qui veut faire apparaître l'infini là où il n'est pas demande un axiome.
Il faut être raisonnable, la démonstration à partir des axiomes de Peano du nombre fini de chiffres d'un entier écrit en base 10 est assez simple et se fait par récurrence, une fois définis l'écriture en base 10 et le nombre de chiffres : $a_0+10a_1+10^2 a_2+ ... +10^k a_k + 1 = ...$
Cordialement. -
L'existence de -1 (un prédécesseur de 0) ne gène personne ?
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Tu veux dire les entiers négatifs ? Je ne vois pas le problème.
Cordialement. -
Dans IN, je le vois très bien.
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Si tu as quelque chose à dire, dis-le, au lieu de faire le mystérieux.
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Si vous trouvez que l'existence d'un prédécesseur de 0 dans IN n'est pas un problème, je ne peux rien pour vous.
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Je ne comprends toujours pas : A quoi faites vous allusion ? Sans doute pas à mon message, donc il faudrait le signaler, modifier ce message pour dire à quoi il répond.
Cordialement. -
12 messages sur le nombre de chiffres d'un entier (sans jamais y voir de démonstration, votre message dit seulement qu'elle existe), pour monrer que les p-adiques ne sont pas des entiers, alors qu'en une ligne et en utilisant que les concepts de base de AP on a la réponse.
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Ah, mon message n'étant pas sur ce sujet, je ne risquais pas de comprendre !! Je ne parlais pas des p-adiques.
Et la tradition ici est de rédiger soi-même la démonstration quand on pense qu'elle s'impose (pour ma part, je me suis contenté du point central). Donc on attend cette ligne ...
Cordialement. -
cf mon message d'il y a 22h
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?16,2277624,2293996#msg-2293996 [? AD]
[Pour obtenir l'adresse d'un message, mets la souris sur la recopie du titre du fil, sous le nom de l'auteur du message, Clic droit > Copier l'adresse du lien, que tu colles où tu veux. AD] -
OK.
Mais il fallait dire de quoi tu parlais. Pour moi, la question des p-adiques était réglée, par ton message et le suivant; et personne n'était revenu sur les p-adiques ensuite. -
Bonjour,
J'ai une dernière question à vous poser, encore une fois en rapport avec l'histoire des mathématiques.
J'aimerais savoir si, dans ses échanges avec Dedekind, Cantor avait envisagé l'hypothèse suivante :
"Cher Confrère,
Notre intelligence humaine nous dicte qu'il n'existe pas d'infini "plus grand" qu'un autre infini, pour employer le langage courant.
Or, mes récents travaux contredisent de façon irréfutable ce que nous dicte notre intelligence.
Alors, afin que tout rentre dans l'ordre, je me demande s'il ne serait pas impératif que nous révisions de fond en comble notre conception actuelle des nombres, car c'est évidemment sur cette conception que reposent mes incroyables résultats."
(Bref, l'évocation d'une sorte de "crise des fondements".)
Merci pour vos réactions. -
@Sneg : il faudrait que tu précises ta question. C'est quoi ce texte entre guillemets ? C'est la traduction d'une lettre de Cantor à Dedekind, ou c'est une fiction de ta part ?
A ma connaissance, Cantor n'a jamais remis en cause ses résultats, même s'il a été rudement secoué par Kronecker et qu'une grave dépression l'a obligé à suspendre ses recherches pendant plusieurs années. Dans sa lettre à Dedekind du 7 décembre 1873 (de mémoire), celle où il montre que l'ensemble des nombres algébriques est dénombrable alors que $\mathbb{R}$ ne l'est pas, il se rend bien compte qu'il vient de faire une découverte majeure : il existe au moins 2 sortes d'infini. Un peu plus tard, quand il démontre que $[0,1]$ a la même taille que $[0,1]^2$, il écrit (traduction approximative) : "je le vois, mais je ne le comprends pas". -
Dépression qui n'est pas due à Kronecker, mais principalement au décès de son filsune grave dépression l'a obligé à suspendre ses recherches pendant plusieurs années -
Moi, c'est le contraire je n'ai le souvenir que de réfutation de cette idée :-Dwikipedia a écrit:Selon Joseph Dauben, cette crise n'aurait pas été causée par les attaques de Kronecker, même si ces dernières l'avaient sans doute fortement amplifiéewikipedia en a écrit:Cantor's youngest son Rudolph died suddenly on December 16 (Cantor was delivering a lecture on his views on Baconian theory and William Shakespeare), and this tragedy drained Cantor of much of his passion for mathematics.
La-dessus, je ne me considère pas un expert du sujet -
Bonjour, Martial et Médiat,
Il s’agit d’une fiction de ma part.
Je cherche juste à savoir jusqu’à quel point Cantor, que j’aurais tendance à considérer comme quelqu’un de posé, a été troublé par ses propres résultats (comme tu l’as rappelé, il s’étonne lui-même de l’un d’entre eux). Serait-il allé, dans ses lettres à Dedekind, jusqu’à remettre en question les fondements des mathématiques ?
Voilà ma question, rédigée d’une façon plus académique. :-) -
Bonsoir.
Cela dépend ce que l'on entend par fondement.
Pendant près de deux millénaires, le fondement des mathématiques à été la Géométrie.
Pour info, il y a au moins un autre mathématicien nommé Cantor (spécialiste en théorie des nombres, co-auteur de l'algorithme de Cantor-Zassenhaus) et un historien et professeur d'histoire des mathématiques (contemporain patriote de celui dont on parle).
À bientôt.Cherche livres et objets du domaine mathématique :
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Je suis assez d'accord avec Raoul. A part l'axiomatisation de la géométrie par Euclide, à ma connaissance à l'époque de Cantor il n'y avait pas de réels fondements des maths, en particulier de l'analyse. D'une certaine façon on pourrait dire que c'est Cantor (et sa théorie naïve qui n'a jamais existé) qui est à l'origine de la crise des fondements... et donc des fondements eux-mêmes.
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Sneg, ce qui a remis en question "les fondements" des mathématiques n'a pas été la découverte de Cantor que $\mathbb{R}$ n'est pas dénombrable. C'est plutôt certains paradoxes apparus dans la théorie des ensembles de Cantor, comme le paradoxe de Russell https://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_de_Russell.
Tu devrais chercher des infos sur La crise des fondements sur le web.
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