Vers l’infini et au-delà

En fait, il y a l'explication 'vulgarisée' des mathématiques (où des termes flous et non définis comme 'épuiser' sont employés) et il y a les mathématiques.
Plus précisément, 'dénombrer'/'dénombrable' est défini en mathématiques (et qui perd directement son usage dans le langage courant): Un ensemble $E$ est dénombrable := $\exists f:\mathbb{N} \rightarrow E$ telle que $f$ est bijective (le mot bijective est lui même défini).
L'argument diaogonal de Cantor montre que $\mathbb{R}$ n'est pas dénombrable. En d'autres termes, il est tautologique, en admettant l'ensemble des hypothèses des mathématiques, et en utilisant la notion de 'dénombrable' telle que définie plus haut, que $\mathbb{R}$ n'est pas dénombrable.

Pour le dire encore plus clairement, les mathématiques 'parlent' un langage particulier qui n'est pas le langage usuel. Les liens entre le langage mathématique et le langage usuel sont complexes et sont l'objet de beaucoup d'incompréhensions d'ailleurs. D'un côté, le langage usuel doit être traduit en langage mathématique (c'est ce dont je parlais ci-dessus); d'un autre côté, le langage usuel est utilisé pour expliquer l'usage du langage mathématique dans les démonstrations, mais cela peut être assez problématique, car donner de mauvaises représentations (mais on ne peut pas faire autrement, à moins de lire directement les mathématiques, ce qui n'est pas évident, en tout cas dans un premier temps).

Sneg,

tant que tu baratines sur des idées fausses vulgarisatrices, tu ne peux avancer. Depuis le début, pas mal de gens ont essayé de te faire avancer vers les maths, mais tu refuses d'en faire : Tu refuses l'abstrait, et les maths ce n'est que de l'abstrait. Tu te comportes comme quelqu'un qui voudrait absolument jouer au football, mais prendrait le ballon dans les mains pour l'emmener à l'autre bout du terrain.
J'ai renoncé à te faire changer de comportement, d'autres (souvent nouveaux, n'ayant pas vécu le début de tes questions) essaient. Je me contente de leur signaler que tu refuses de comprendre. Si constater la réalité est te dénigrer, alors oui je te dénigre. Et ceux qui essaient de te répondre perdent leur temps : Tu n'es même pas vraiment honnête, quand tu dis que tu as compris le raisonnement de Cantor alors que tu passes ton temps à en refuser la conclusion.
Il est possible que cette conclusion ne te plaise pas, les maths ne cherchent pas à plaire.

Et ta question "j’aimerais que gerard0 en personne fasse savoir à tout le monde ici comment il fait pour « avoir fini d’utiliser les nombres entiers, il n’en reste plus » au cours d’un raisonnement. " est soit incompréhensible (je ne sais pas d'où tu sors ce bout de phrase, peut-être d'une explication que j'ai donnée, mais il manque le reste), soit élémentaire (on fait ça dès le collège, de traiter tous les cas, une infinité de cas, avec une variable).

Et "J’émets une idée dont la théorie me laisse penser qu’elle présente un défaut, mais je ne sais pas où. " est assez amusant : Dès le départ, on t'a dit que tu restais dans le flou. Tu n'émets pas une idée, tu joues avec des mots. Chaque fois qu'on a essayé de te faire préciser ton idée, tu as refusé de le faire, tu es resté dans le baratin. Et c'est toi qui est venu sur un forum de maths, on n'est pas au café du commerce. Et on ne t'a pas dit "ton idée est mauvaise parce qu’elle est en désaccord avec la théorie" on t'a dit que tu ne faisait pas des maths. Que tu restais dans le flou, que tu n'avais pas compris la démonstration de Cantor, que tu ne comprenais même pas ce qu'est une bijection. Et tu es maintenant revenu au point de départ. A quoi servait de remercier ceux (les autres que moi) qui t'avaient "aidé à comprendre".

Je confirme, tu n'es pas venu sérieusement ici pour comprendre la preuve de Cantor, seulement pour critiquer les maths parce que tu ne les as pas étudiées ni comprises.

Mais tu vas continuer à baratiner, tu aimes ça ...

Sneg a écrit:

Cela dit, il n'a pas encore été répondu à ma première question, qui est de savoir si ma conception naïve du dénombrement est viable

Le problème est celui pointé par @l et gerard0 (à sa façon). En résumé, ta conception n'est pas exprimée en termes mathématiques et donc il est difficile de comprendre ce que tu veux exactement transmettre (à moins de pouvoir lire dans ton cerveau).

Par exemple j'avoue que personnellement je ne comprends pas ta "définition" : On appelle "dénombrement parfait" un dénombrement qui peut être mené jusqu'à son terme, c'est-à-dire jusqu'au dernier élément à dénombrer.

Au début je pensais que tu parlais de "dénombrement parfait" seulement dans le cas des ensembles fini, sauf que tu dis : On remarquera que l'argument diagonal, valable quand on imagine possible un "dénombrement parfait" de $\mathbb{R}$, n'est dans ce cas-ci pas d'application

et donc tu laisses penser que l'argument diagonal est utilisé lorsqu'on a un "dénombrement parfait" de $\mathbb{R}$. Sauf que $\mathbb{R}$ est infini...

Bref je confirme ce que dit @l, si tu n'utilises pas le langage mathématique tu auras des difficultés à te faire comprendre.

Mais il y a une solution : tu lis par exemple un document comme celui-ci https://www.math.sciences.univ-nantes.fr/~pajitnov/home_page/teaching/formar/ch1.pdf qui présente la base de la théorie naïve des ensembles, tu t'appropries les notions qui y sont présentées, puis tu reformules tes questions en utilisant le type de langage mathématiques que tu trouves dans ce document et là il y a plus de chances qu'on te comprenne.


Edit : je n'avais pas vu le message de Poirot ci-dessus... bon je dis la même chose mais en plus long.

Bonjour,

De toutes façons, tant que nous n'avons pas une définition mathématique, "épuiser" n'a aucun sens.
Dire que $\mathbb{R}$ n'est pas dénombrable signifie uniquement qu'il n'existe pas de bijection entre $\mathbb{N}$ et $\mathbb{R}$.
Et dire "il n'existe pas" ne signifie pas "on n'en a pas trouvé" mais "il est impossible d'en trouver".

Cordialement,

Rescassol

Tu répètes ta question, on répète notre réponse : on ne peut pas répondre tant que tu ne définis pas ce dont tu parles. C'est l'essence même des mathématiques.

Ou ils font semblant de ne pas comprendre.

Après ce genre de remaque insultante (surtout au vu du nombre de réponses que vous avez reçues), dorénavant, je vais prétendre ne pas vous comprendre, ce qui va m'empécher de vous répondre !

Finalement, Sneg n'accepte pas l'infini actuel (la considération de tous les entiers à la fois). C'est bien pour cela qu'il ne comprend pas l'idée de Cantor et que tous nos arguments ne servent à rien : Il ne parle pas de la même chose. Là où il a un problème (et pas nous, lui seul) c'est qu'il parle de $\mathbb N$, qu'il utilise l'expression "l'ensemble des entiers" alors qu'en fait, il s'agit seulement d'une partie finie.
Caractéristique aussi de cette incompréhension : le fait de se dire "incrédule" (notez qu'il a dit qu'il avait compris, à un moment), ce qui n'a rien à voir avec la question : Il n'y a pas de croyance ici.
Notons quand même que la plupart des mathématiciens jusqu'au dix-septième siècle refusaient de considérer des "totalités infinies", à la suite d'Euclide et des grecs anciens, laissant de côté tout un pan de la géométrie (comment sont les points d'un segment ?); et qu'il a fallu des besoins forts (l'étude des séries trigonométriques et de leurs fonctions sommes) pour obliger les mathématiciens à accepter cette façon de faire, l'infini actuel.

Après cet aveu, on ne peut rien faire pour lui, nos explications mathématiques ne servent à rien. Tout comme aucun argument scientifique ne peut convaincre un platiste, puisqu'avec sa Terre plate il refuse la science; aucun argument médical ne peut convaincre un complotiste anti-vaccin, puisque la science médicale fait pour lui partie du complot, aucun argument ne peut convaincre celui qui a le pistolet ("il y a deux sortes de gens : ceux qui ont un pistolet et ceux qui creusent. Toi, tu creuses"), alors on creuse ...

Cordialement.

NB : Sneg me met toujours en dehors, simplement parce que je dis le vrai, je révèle ses trucs et ses défauts.

Bonjour,

L'argument diagonal de Cantor a un caractère entièrement constructif. À ce titre, il fonctionne même si l'on n'accepte pas l'infini actuel.

Que signifie alors "énumérer $[0,1[$", d'autant plus que les réels de $[0,1[$ sont eux-mêmes des suites infinies de décimales ? Disons que c'est remplir, par un procédé quelconque, un tableau de chiffres dont les lignes sont les décimales de réels en construction. Et vous espérez que pour tout nombre réel de $[0,1[$, vous aurez au cours de la construction du tableau une ligne où les décimales de ce nombre apparaîtront petit à petit, sans jamais révéler de diffférence.

Le vilain diable Cantor, pendant ce temps là, vous observe et remplit les décimales de son nombre que vous n'attraperez jamais, même en rêve. Chaque fois que vous posez la $n$-ème décimale dans la $n$-ème ligne, il pose la $n$-ème décimale de son nombre : 1 si vous avez posé 0, 0 si vous avez posé un autre chiffre que 0.
Pour tout entier $n$, vous aurez à un certain moment rempli les $n$ premières décimales des $n$ premières lignes de votre tableau (toute partie finie du tableau doit être remplie à un certain moment).
Et donc jamais, au grand jamais, le nombre construit par ce diable de Cantor ne pourra être égal à un des nombres que vous construisez dans ces $n$ premières lignes. Et ceci, quel que soit l'entier $n$.

Exo résumant ces notions: donner une CNS portant sur les ensembles $X,Y$ pour qu'il existe une surjection de $Y$ dans $X^Y$.

GaBuZoMeu: Oui c'est vrai, ce n'est pas que le procédé diagonal lui-même fait appel à l'infini. C'est plutôt l'énoncé de ce que fait Cantor qui sans l'infini semble s'affaiblir, mais en fait cela reflète plutôt une confusion de ma part.

Il me semble que l'argument original de Cantor pour la non dénombrabilité de $\mathbb R$ n'était pas l'argument diagonal, mais était le suivant :

Soit (par l'absurde) $(a_n)_{n \in \mathbb N}$ une énumération de $[0, 1]$. Parmi les trois segments $[0, 1/3], [1/3, 2/3], [2/3, 1]$, l'un au moins, disons $I_0$ ne contient pas $a_0$. On redécoupe $I_0$ en trois morceaux, et l'un au moins ne contient pas $a_1$, etc. On construit ainsi une suite décroissante $(I_n)_{n \in \mathbb N}$ de segments dont le diamètre tend vers $0$. La complétude de $\mathbb R$ (ou directement le théorème des segments emboîtés) montre que l'intersection de ces segments est un singleton $\{x\}$. Par construction, $x$ est un élément de $[0, 1]$, différent de tous les $a_n$, contradiction !

Bien sûr, comme pour l'argument diagonal, inutile de procéder par l'absurde, l'argument montre qu'aucune suite $(a_n)_{n \in \mathbb N}$ ne remplit $[0, 1]$.

L'argument rapporté par Poirot n'est pas très différent de l'argument diagonal pour les "décimales" en base 3.

Oui bien sûr, ça concerne tout ensemble. En théorie des ensembles, tout (ou presque) est ensemble, donc ça concerne tout objet mathématique si on veut. :-D

Sans formation spécialisée il n'est pas possible d'aborder de tels sujets dans la vulgarisation, sans raconter de bêtises.

Et voilà une remarque de John Baez sur un équivalent anglais de cet article et affirmant, aussi, que nonHC

Or, they conclude that mathematicians have finally answered Cantor's question... showing up Gödel and Cohen for the arrogant bastards they were.

Précisons quand même que seuls les journalistes à l'affut de scoops accrocheurs sont en cause mais pas Shelah ni Malliaris

Voici l'histoire : j'étais en cours avec mes 2ème année d'IUT. Un étudiant (très sympa mais pas très fort en maths) me dit : "Vous savez pas, m'sieur, j'ai un scoop ! On croyait qu'il y avait plusieurs sortes d'infinis, vous savez ça ?"
Moi : "Oui, j'suis un peu au courant de la question".
Lui : "Eh ben c'est faux ! On vient de démontrer qu'ils sont tous égaux".

Vous pensez bien qu'en tant que settheorist invétéré ça m'a fait un choc thermique. Il me montre une notification facebook (source hautement fiable s'il en fût, surtout en théorie des ensembles, lol) avec un lien vers un site a priori chelou. Je lui dis de refermer son portable et on fait cours. Evidemment à la pause je me rue dans mon bureau pour faire une recherche google... et je tombe sur le torchon fourni par Sneg. Un peu plus loin je tombe sur une discussion où quelques personnes plus ou moins spécialistes pointent du doigt les erreurs manifestes de l'article : l'auteur affirme une chose, et 3 lignes plus loin son contraire. Je retourne en cours et rassure mon étudiant : la vie continue, les choses n'ont pas changé, il y a toujours plusieurs sortes d'infini. Il admet bien volontiers que facebook n'est pas la panacée universelle.

Un peu plus tard Patrick m'a raconté les coulisses de l'histoire. Il appelle ça une fusée à 3 étages. En 2014 paraît le papier de Malliaris et Shelah avec la preuve de $\mathfrak{p} = \mathfrak{t}$, qui bien sûr est imbittable pour le commun des mortels. Deux ans plus tard quelqu'un publie une recension de l'article, admettant certains lemmes techniques mais plus facile à comprendre. Un an plus tard un autre quelqu'un publie une 2ème recension, pour ainsi dire vulgarisée mais supposant quand même quelques bases de set theory... Et cet imbécile de journaliste, croyant comprendre le dernier papier alors qu'il n'y connaît rien, clame haut et fort qu'on s'est trompés depuis le début, et qu'il n'y a qu'une sorte d'infini. J'imagine que ce jour-là Cantor a dû se retourner dans sa tombe. Paix à son âme !

@Martial : recension, pas rétension (ni même rétention). ;-)