Vers l’infini et au-delà

Bonsoir, Poirot,

Si j’ai écrit $2^{\aleph_{0}} = \aleph_{1}$, c’est pour la raison suivante :

- Si un ensemble possède $n$ éléments, l’ensemble de ses parties possède $2^{n}$ éléments.
- Le cardinal de l’ensemble des parties de $\aleph_{k}$ est le cardinal $\aleph_{k+1}$.
- Ce qui conduit à écrire $\aleph_{1}=2^{\aleph_{0}}$.

J’ignore si tu approuveras.

D’accord, Médiat !

S’il vous plaît, encore un peu d’histoire des mathématiques !

De tout ce qui précède, je retiens ceci :
Si un ensemble infini est non dénombrable, alors son cardinal est strictement supérieur au cardinal de $\mathbb{N}$.

Cela dit, y a-t-il, ou y a-t-il eu, des mathématiciens pensant comme ceci ?
Si nous rencontrons des ensembles infinis non dénombrables, c’est que nos mathématiques ne sont pas suffisamment développées encore que pour pouvoir les dénombrer.

Merci d’avance.

Une fois de plus, grand merci, Médiat !

Bonsoir,

D'abord, grand merci pour la patience dont vous faites preuve à mon égard. C'est très gentil.

Heureusement pour vous, je n'aurai plus de temps à consacrer aux mathématiques avant un moment et je n'ai plus que deux questions à vous poser.
Attention à vous ! La première risque de vous faire étouffer de rire ou d'indignation. Quant à la seconde, elle me semble beaucoup plus sérieuse. Je devrais donc sauter la première et passer directement à la seconde mais, sans la première, la seconde manque à mes yeux de quelque chose. Alors, je me lance, voici la première question :

On trouvera ci-dessous une très courte approche de la notion de "dénombrement". Une approche fort naïve, j'en ai bien conscience.

Il n'y a aucune chance pour que vous l'approuviez. Alors, à supposer que les définitions proposées soient claires pour vous, j'aimerais juste savoir si cette approche conduit vraiment à une contradiction interne (puisque la non-contradiction est un point crucial en mathématiques).

Merci d'avance à quiconque aura la gentillesse de répondre à cette question avec sérieux.

Définitions :

1) On appelle "nombre de Cantor" le nombre que l'on construit afin de faire valoir l'argument diagonal.

2) On appelle "dénombrement parfait" un dénombrement qui peut être mené jusqu'à son terme, c'est-à-dire jusqu'au dernier élément à dénombrer.

3) On appelle "dénombrement imparfait" un dénombrement qui ne peut pas être mené jusqu'à son terme, c'est-à-dire un dénombrement qui est et restera toujours en cours d'exécution, un dénombrement "qui tend continûment vers la fin, mais sans jamais l'atteindre", car il n'y a pas de dernier élément.

Mise en application :

De ces définitions, on tire que :

a) les éléments d'un ensemble fini peuvent faire l'objet d'un "dénombrement parfait" car, à un moment donné, on sera arrivé au bout du dénombrement, étant donné le nombre fini d'éléments à dénombrer.

b) les éléments d'un ensemble infini ne peuvent faire l'objet que d'un "dénombrement imparfait" car, étant donné le nombre infini d'éléments à dénombrer, ce dénombrement restera toujours en cours d'exécution. Il tendra continûment vers la fin sans jamais l'atteindre.

C'est ainsi que, tout comme $\mathbb{N}$, l'ensemble $\mathbb{R}$ peut faire l'objet d'un "dénombrement imparfait".
On remarquera que l'argument diagonal, valable quand on imagine possible un "dénombrement parfait" de $\mathbb{R}$, n'est dans ce cas-ci pas d'application. En effet, en quoi serait-ce contradictoire que le nombre de Cantor soit absent de la liste des réels où l'on s'attend qu'il soit, alors même que cette liste n'est et ne sera jamais terminée, donc jamais complète ?

Encore merci d'avance.

Merci beaucoup, raoul.S.

Si, si, je pense avoir compris l'idée de Cantor, concernant la différence entre $\mathbb{N}$ et $\mathbb{R}$.
Je pense que ta réaction vient de ce que, comme lui, tu imagines possible un "dénombrement parfait" (selon mon message précédent) de $\mathbb{R}$. Je comprends l'idée mais ne peux l'approuver, tout comme on comprend Zénon quand il "démontre" que Achille ne rattrapera jamais la tortue à la course, mais qu'on ne l'approuve pas.

Merci également, Poirot.

Pour gagner du temps, et ne pas vous faire perdre votre temps, mieux vaut passer directement à la seconde question.

Concentrons-nous dorénavant sur ce que vous avez écrit, vous.

A plusieurs reprises dans ce fil, l'idée "d'épuiser $\mathbb{N}$" a été évoquée. Un message de gerard0 est on ne peut plus clair sur la question, quand il écrit : "Pour pouvoir utiliser l'idée de Cantor, il faut avoir fini d'utiliser les nombres entiers, il n'en reste plus."

Mais encore faudrait-il (me) démontrer que épuiser $\mathbb{N}$ est une chose possible car, comme l'a écrit Poirot quelque part dans ce fil : "Bah oui, si on part de quelque chose de faux on peut tout en déduire, ce n'est pas un scoop."

D'accord, raoul.S, sur l'idée de lire un peu de théorie. :-)

Cela dit, il n'a pas encore été répondu à ma première question, qui est de savoir si ma conception naïve du dénombrement est viable, c'est-à-dire sans contradiction avec elle-même (je me doute bien qu'elle est en contradiction avec la théorie officielle).

Je pense que tu rédigeais quand j'ai posté ma seconde question, pour faire gagner du temps à tout le monde.

Bonjour, Médiat,

Vous me dites que, mathématiquement, on peut épuiser $\mathbb{N}$ ?

Comme toujours, gerard0 ne fait que me dénigrer.

Encore une fois, il n’a pas compris pas mon intention :
J’émets une idée dont la théorie me laisse penser qu’elle présente un défaut, mais je ne sais pas où.
La seule réponse qu’il puisse me donner est : ton idée est mauvaise parce qu’elle est en désaccord avec la théorie.
Hautement pédagogique !

Poirot a au moins pointé la « temporalité », comme défaut. J’en tiens compte.

[Ajout]
Définir « épuiser » ? Ah, mais j’aimerais que quelqu’un le fasse. C’est la question primordiale.

[Ajout 2]
Merci, @|, pour votre remarque sur la notion de dénombrement que j’ai proposée (et qui ne vous convient pas).