Vers l’infini et au-delà

Bonjour,

Je me permets de revenir sur ce sujet intriguant (pendant que d'autres sont à la plage).

L'intervalle des réels $[0, 1]$ est visiblement un ensemble infini. En effet, on y trouve déjà rien que :
$0,1$
$0,01$
$0,001$
$0,0001$
$0,00001$
etc. (à l'infini)

Donc, si on vient à penser que cet ensemble possède, sans forcément les nommer, un premier élément, un deuxième, un troisième, un quatrième, un cinquième, etc. (à l'infini), ne peut-on pas considérer que cet ensemble est en bijection avec $\mathbb{N}$ ?

Je devine que la réponse sera non.
Mais j'aimerais savoir pourquoi.

Encore merci d'avance.

Bonjour, Poirot, et merci d’intervenir.

Dans mon message précédent, je n’énumère pas les éléments de l’ensemble, car je sais que je ne peux pas les énumérer. Je dis simplement qu’il y a un premier élément, un deuxième, un troisième, etc. (à l’infini).

Donc, d’après mon message précédent, les éléments de l’intervalle des réels $[0, 1]$ seraient non énumérables, oui, mais quand même en bijection avec $\mathbb{N}$, puisqu’il y en a un premier, un deuxième, un troisième, etc. (à l’infini).

Finalement, on s’en fiche de ne pas pouvoir les énumérer. C’est juste amusant à remarquer. Ce qui compte, c’est qu’il y en ait un premier, un deuxième (distinct du premier), un troisième (distinct des deux premiers), etc. (à l’infini). Donc, qu’ils soient en bijection avec $\mathbb{N}$.
Non ?

Pardon à l’avance.

Mais, si, gerard0, j’ai compris qu’il manquera des nombres à mon énumération prétendument exhaustive.
Mais, comme dans « l’hôtel de Hilbert » où l’on peut accueillir une infinité de voyageurs supplémentaires bien qu’il soit déjà complet, ne peut-on pas ajouter une infinité de nombres à ma liste prétendument exhaustive ?

Voilà un argument intéressant, Médiat. Merci.

Gerard0 a écrit : "Donc, que veux-tu dire ????"

D'abord, gerard0, en mathématiques, je n'affirme jamais rien. Je ne me le permettrais pas. (Sauf au moment du jeu Hocus Pocus, auquel claude quitté en personne a eu la gentillesse de s'intéresser de très près. Avant de prendre la fuite ? J'espère que non.)
Sur ce forum, j'exprime juste ce que je pense sur un sujet mathématique précis, afin de savoir si ce que je pense peut être compris et approuvé par les vrais mathématiciens, dont je ne fais pas partie.

Un exemple concret : Ce qui suit est-il compréhensible et acceptable, aux yeux des mathématiciens ?

Pour "compter" (un, deux, trois, ...) les nombres qu'il y a dans un ensemble infini, il faut pouvoir les "écrire".
Par exemple, je peux compter les nombres pairs qu'il y a dans $\mathbb{N}$ parce que je peux (en théorie) les écrire tous grâce à la méthode suivante :
Je commence par prendre le $0$, auquel j'ajoute $2$ : $0+2=2$. Ensuite, j'ajoute toujours $2$ à chaque somme obtenue, ce qui donne :
$0$
$0+2=2$
$2+2=4$
$4+2=6$
$6+2=8$
etc.
Idem pour les nombres impairs qu'il y a dans $\mathbb{N}$, sauf que je commence par prendre le $1$ et pas le $0$.

Il se fait qu'on peut aussi compter les nombres rationnels car on peut, encore une fois, les écrire tous (en théorie).
Une méthode employée pour ce faire est celle d'un tableau à double entrée, une entrée pour le numérateur, une pour le dénominateur...(Je n'entre pas dans les détails que vous connaissez mieux que moi.)

En revanche, avec les nombres irrationnels, surgit un problème : On ne peut pas les compter parce qu'on ne peut pas les écrire. En tout cas, dans l'état actuel de mes connaissances/mon ignorance, je ne connais aucun moyen permettant de les écrire tous (en théorie). Pas de tableau à double entrée, par exemple. Et si on veut les écrire les uns en-dessous des autres, comme les choses à acheter dans une liste de commissions, l'argument diagonal nous fait comprendre que c'est peine perdue.

Dire qu'on peut "compter" les éléments d'un ensemble $E$ infini, revient à dire que $E$ est en bijection avec $\mathbb{N}$.
Dire qu'on ne peut pas "compter" les éléments d'un ensemble $E'$ infini, revient à dire que $E'$ n'est pas en bijection avec $\mathbb{N}$.

Ainsi, l'ensemble des réels compris entre $0$ et $1$ n'est pas en bijection avec $\mathbb{N}$ parce qu'on ne peut pas compter les nombres irrationnels qui en font partie, vu qu'on ne connait pas de méthode permettant de les écrire tous (en théorie).

(Ici, "compter" est synonyme de "dénombrer", mais je n'aime pas l'expression "dénombrer des nombres".)

Merci d'avance.

Décidément, les mathématiciens et moi, c’est l’incommunicabilité totale.

Parler de moi, surtout à des inconnus, ne m’est d’aucun intérêt.

Au risque de passer encore une fois pour quelqu'un qui raconte sa vie, voici les faits :
Je lis des livres de mathématiques par goût mais, afin de savoir si j’ai bien compris, je m’efforce d’expliquer à d’autres personnes et avec d’autres mots ce que j’ai lu.

Ces autres personnes, c’est vous.

Et pourquoi avec d’autres mots ? Parce que c’est le meilleur moyen de savoir si on a compris une matière. Je pourrais effectivement me contenter de répéter par cœur ce que j’ai lu, mais cela ne présenterait à mes yeux aucune utilité.
Le problème, c’est que le formalisme a pris tellement d’importance, en mathématiques, que les mathématiciens ne sont pas du tout friands du genre d’exercice de traduction « avec d’autres mots ».
Est-ce Gauss qui aurait écrit en latin : « Les notions priment sur les notations » ? En tout cas, c’était bien dit.

J’ignore pourquoi, mais claude quitté s’est toujours efforcé de comprendre mon charabia. Il lui est même arrivé d’y trouver du sens.
Une occasion supplémentaire d’exprimer ici ma tristesse face à son départ. Mais au fond, comme je le comprends !

Tout à coup, Poirot, j’ai une fulgurance, et me range à ton avis.

Merci pour la précision que tu apportes, Médiat.

Toute à mon émotion d’avoir compris, j’ai oublié de vous remercier chaleureusement pour votre patience.
C’est ce que je fais dans ce message : merci beaucoup !