Propriétés des cardinaux

De mon téléphone : tu as le spectaculaire et facile fait qu'il existe des cardinaux arbitrairement grands tels que X^IN = 2^X. Essaie d'en construire quelques uns seul ça te fera plaisir.

@max, ta phrase est ambigue, on la lit comme si tu disais que "tout est trivial" les concernant à partir du fait que $+;\times$ valent le sup?

De toute façon, maintenant que tu as précisé, tout va mieux pour les visiteurs.

Ta phrase : "c'est parce que l'arithmétique basique des cardinaux est triviale que celle générale l'est aussi"

Moi, personnellement, je la comprenais comme suit:

"c'est parce que la cuisine des desserts de ce restaurant est excellente, comme le dit Poirot, que celle générale** l'est aussi"

** sous-entendu "en particulier celle de ses poissons"

@Martial: même sans Martin. En rajoutant génériquement $\omega_2$ réels (aléatoires ou de Cohen) de manière ccc, tu ne vas pas changer le fait que $2^{\omega_1}=\omega_2$, mais auras que $2^{\omega_0}=\omega_2$

Rappel : $\mathbb{N} = \omega_0$

Bin en fait tu es en train de décrire un sketch de la preuve de la consistance de l'axiome de Martin. Ca consiste à satisfaire toutes les ccc (tu en as satisfait 79) possible. Un argument académique dit qu'il n'y en a "que peu" à satisfaire.

Merci pour la précision

Bin si $M$ est un modèle transitif bien fondé de $ZFC$ et $B\in M$ est une algèbre de Boole telle que $M\models B$complète et si $G$ est une partie de $B$ qui est un filtre et tel que toute disjonction $\in M$ qui $\in G$ est telle que l'un de ses items $\in G$, alors en notant pour tout $x$ :

$$\phi(x):=\{\phi(y) \mid \exists p\in G : (y,p) \in x\} $$

on obtient que $ImParDe(\phi,M)$ est un modèle de ZFC (exercice fastidieux mais "continu")

En choisissant bien $B$ (et $M$ on le prend dénombrable), on obtient que $M\models $ tout un tas de trucs cool, bien souvent très différents de ceux vérifiés par $M$.

Par exemple l'algèbre de Boole des intérieurs de leur adhérence de $\R^k$ ajoute $k$ réels sans changer les cardinaux (ie n'ajoute pas de surjection de $a$ dans $b$ quand il n'y a pas dans $M$ et que $a,b$ sont des ordinaux. Etc...

Cette découverte s'appelle "le forcing" et a été faite par Paul Cohen en 1963 (et lui a valu la médaille Field).

Ah ok, mais c'est vachement chronophage!!!

La seule chose délicate c'est l'extensionalité dans les transferts "calculs dans $M [ G ]$" <---> Calculs dans $M$.

Fais abstraction de l'extensionalité.

Démontre le lemme "pour tout générique $G\in q$: M[G] \model P$ ssi $<P>\geq q$ en considérant la phrase $<P>$ comme un élément de $B$ via la traduction:

1/ $<a\in b> := sup$ des $p\in B$ tels que $(a,p)\in b$

2/ $<\forall xR(x)> := inf$ des $<R(a)>$ quand $a$ parcourt $M$.

3/ connecteurs as usual

J'ai déjà lu des choses là-dessus Christophe, mais je ne suis jamais parvenu à "comprendre" pourquoi ça marche, à me forger une intuition et une aisance dessus. Je réessaierai (pour la 10ème fois :-D ) un peu plus tard.

@Poirot : je vois "un peu mieux" quand on part d'un modèle transitif dénombrable $M$ de ZFC et qu'on en construit des extensions génériques $M[G]$ qui vérifient blablabla.
Par contre j'ai beaucoup plus de mal avec les algèbres de Boole complètes.

Quant à l'itération de forcing c'est vraiment très technique, je suis très vite noyé.

Pratiquement personne ne cherche à savoir comment va se dérouler le calcul sur les algèbres de Boole. Ce serait comme produire des preuves sans coupure.

Ce qui est important est de prouver "une fois pour toute" que le modèle $M$ SAIT ce qu'il se passe dans le modèle $M[G]$ avec la seul aide de l'ultrafiltre "magique" $G$.

Pourquoi j'ajoute magique et pourquoi c'est important? Bin parce que $G$ est "totalement additif" (les seuls qui seraient dans $M$ à l'étre sont les principaux). Autrement dit il contient un item dans chaque partition, et c'est cohérent (il est filtrant).

Je le redis dans le forcing tout est trivial, il suffit de suivre les flèches SAUF l'extensionalité. Les grands mots intimident, mais ce sont des petites souris: "forcing itérés", etc. Ce n'est qu'une traduction du fait que de toute façon "M sait déjà tout", donc il sait que $M[G]$ est lui même un modèle qui SAIT ce qu'il se passera dans $M[G][H]$ :-D

Je rappelle pourquoi en rajoutant $k$ réels, $\omega_1$ reste non dénombrable. On ajouté de manière ccc une injection de $k$ dans $\R$. Soit maintenant une application $f\in M[G]$ de $\N$ dans $\omega_1$. Pour chaque $n$, il existe pour chaque ordinal $a$ une "proba" $u(n,a)$ de valoir $f(n)$ que $M$ connait. Autrement dit $u\in M$. C'est une partition ($f(n)$ ne peut pas valoir deux valeurs différentes, donc $u(n,a)\wedge u(n,b) = 0_B$

Par ccc, l'ensemble $E(n)$ des $a$ tels que $u(n,a)$ est non nul est dénombrable. La suite est triviale, puisque*** $\forall n: f(n) \in E(n)$, donc $f$ sera bornée.

Etc, etc.

Il faudrait 30 pages pour dire ça en termes de calculs booléens.

Le "bon $a$" à valoir $f(n)$ est tel l'unique tel que $u(n,a)\in G$, où $u(n,a)$ est la valeur de l'énoncé $Toto(n)=a$, avec $Toto$ choisi pour que $\phi(Toto)=f$.

[large]König[/large] dit que si tous les $a_i<b_i$ pour chaque $i\in J$ alors:

la somme des $a_i$

est strictement inférieure

au produit des $b_i$

Preuve, pour chaque $i$ tu prends (axiome du choix) $x(i)\in b_i$ différent de tous les $f(y)(i)$ quand $y$ parcourt $a_i$. Alors $x$ n'a aucun antécédent dans quelque $a_i$ que ce soit.

@Titi le curieux : je te remercie pour tes remerciements.

C'est déjà bien que tu sois arrivé jusqu'au chapitre 12, d'autres néophytes ont craqué bien avant. (Je dis ça mais je ne sais pas si tu es néophyte, ni si tu as tout lu avant, bref).

Pour info j'ai fait une mise à jour récemment du chap 12, il y a quelques nouveautés. (Des bricoles).