Fonction borélienne de classe $\xi$

Bonjour,

Soient $X$ un espace métrique, $Y$ un espace topologique, et $\xi \in [0,\omega_1[$ un ordinal. On dit qu'une fonction $f \colon X \to Y$ est borélienne de classe $\xi$ si $f^{-1}(O) \in {\boldsymbol\Sigma}^0_{\xi+1}(X)$ pour tout ouvert $O$ de $Y$, où ${\boldsymbol\Sigma}^0_{\xi+1}(X)$ est défini dans Hiérarchie de Borel.

Maintenant, supposons que $Y$ est un espace métrique fini, et notons $d$ la métrique sur $Y$. Soient $f, g \colon X \to Y$ deux fonctions boréliennes de classe $\xi$ et $a > 0$ un nombre réel. On définit $g' \colon X \to Y$ par $$
g'(x) = \begin{cases}
g(x) & \text{si } d\bigl(f(x),g(x)\bigr) \leqslant a \\
f(x) & \text{sinon}
\end{cases}.
$$Comment démontrer que $g'$ est borélienne de classe $\xi$ ?

Début de preuve. Si $Y$ est fini, on peut démontrer que $h \colon X \to Y$ est borélienne de classe $\xi$ si et seulement si $h^{-1}\bigl(\{y\}\bigr) \in {\boldsymbol\Sigma}^0_{\xi+1}(X)$ pour chaque $y \in Y$. Posons $A = \Bigl\{x \in X \mid d\bigl(f(x),g(x)\bigr) \leqslant a\Bigr\}$. On a $$
{(g')}^{-1}\bigl(\{y\}\bigr) = \Bigl(g^{-1}\bigl(\{y\}\bigr) \cap A\Bigr) \cup \Bigl(f^{-1}\bigl(\{y\}\bigr) \cap A^c\Bigr).
$$On sait que ${\boldsymbol\Sigma}^0_{\xi+1}(X)$ est stable pour l'intersection finie et la réunion dénombrable. Le résultat serait alors obtenu si on savait démontrer que $A, A^c \in {\boldsymbol\Sigma}^0_{\xi+1}(X)$.