Ultrafiltres

Aline Delves
Aline Delves
dans Fondements et Logique
Bonjour,
plus particulièrement destiné à Christophe C
J’ai vu que vous aviez donné des cours, dans le cadre du séminaire Clé, sur les ultrafiltres (je ne les ai pas encore visionnés).
En fait, il est aussi question très succinctement de ces ultrafiltres dans un article de La recherche transcrit ici :
Réalité archaïque
J’ai aussi lu rapidement ailleurs qu’il était question pour certains ensembles de la propriété des intersections finies, et que dans ce cadre, on pouvait démontrer qu’une certaine intersection d’ensembles pouvait être démontrée comme étant non vide.
Cette propriété ne pourrait-elle pas être utilisée dans le cadre de ces dernières modélisations que j’ai proposées pour CG.
Vous pouvez trouver les 4 schémas et le pdf qui explicite dans 3 posts récents sur Shtam.
expliciter, cas96,cas98,cas100
Cordialement,
Aline

Réponses

  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Une phrase attribuée à Alain Connes dans le texte mis en lien :
    Or un théorème dit : si une proposition existentielle est vraie, elle est démontrable. Mais la réciproque est fausse.
    Lapsus ? Erreur de transcription ?
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Sur les ultrafiltres :
    Les ultrafiltres, par exemple. Jamais personne ne sera capable d’isoler un ultrafiltre. On sait qu’on ne peut nommer que des classes d’ultrafiltres. Lebesgue, qui a élaboré la théorie des fonctions mesurables, savait bien qu’on ne pourra jamais nommer une fonction non mesurable. C’est un objet chimérique, comme les ultrafiltres.
    Ultrafiltre non principal de parties de $\mathbb N$, je veux bien. Mais c'est factuellement faux pour d'autres contextes. Par exemple, on peut parfaitement "isoler" des ultrafiltres de parties semi-algébriques de $\mathbb R^n$ par exemple ; autrement dit, on peut bien décrire des $n$ types complets sur $(\mathbb R,0,1,+ \times,\leq)$ non réalisés dans $\mathbb R^n$, qu'on peut effectivement voir comme "éléments idéaux".
  • christophe c
    christophe c
    @GBZM de mon téléphone. Contrairement à bcp de mathématiciens pros je pense su'Alain Connes n'est ni incompétent en logique ni capricieux (par exemple certaines AUTRES sommités refusent CAPRICIEUSEMENT de faire attention par coquetterie antilogique).

    Il peut s'agir plutôt D'UNE SORTIE DE CONTEXTE.

    Par exemple une équation diophantienne ayant des solutions est une ED dont il est DEMONTRABLE qu'elle en a.

    Je verifierai d'un PC.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • christophe c
    christophe c
    Je répondais à ton premier post.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Aline Delves
    Aline Delves
    Bonjour,
    Et concernant les intersections finies non vides ?
    Merci.
    Cordialement,
    Denise Chemla
  • GaBuZoMeu
    GaBuZoMeu
    Quelle est la question ?
    Tu fais référence au fait que si la topologie est quasi compacte, alors toute famille de fermés dont toute sous-famille finie est d'intersection non vide est elle-même d'intersection non vide ? (C'est d'ailleurs en fait la définition de quasi-compacité).
    Franchement, je ne vois pas quel pourrait être le rapport avec la conjecture de Goldbach.
  • Aline Delves
    Aline Delves
    Bonjour,

    réponse à Gabuzomeu : j'ai lu dans l'un des cours sur les ultrafiltres trouvés sur la toile la phrase suivante : "on dit qu'une famille $\mathcal{A} \subseteq \mathcal{P}(X)$ est une $\textit{base de filtre}$ si toutes les intersections finies d'éléments de $\mathcal{A}$ sont non vides.".

    Je ne connais pas la topologie mais j'ai pensé que peut-être, comme il s'agissait, par exemple pour trouver les décomposants de Goldbach de 98, de filtrer les $3x$, les $5x$, les $7x$ (pour trouver un nombre premier $p_1$ compris entre $\sqrt{98}$ et $49$, la moitié de 98) d'une part, et de filtrer les $3x+2$ et les $5x+3$ (ce qu'est 98) pour obtenir que le complémentaire $p_2=n-p_1$ soit premier aussi, les ensembles en question (les $3x$, ou bien les $5x+3$) auraient pu constituer des filtres, et leur intersection aurait pu être non vide à cause de la phrase en question. En fait, si l'on regarde l'exemple que j'ai appelé crible400, les droites reliant les $3x+k$ sont parallèles, les droites reliant les $5x+k'$ le sont aussi dans une autre direction, les $7x+k''$ parallèles dans une troisième direction etc. et on filtre selon autant de directions que de nombres premiers différents inférieurs à $\sqrt{400}$ et ce sont peut-être toutes ces directions qui correspondent à l'idée de base de filtre.

    Cordialement,
    Denise
  • christophe c
    christophe c
    @Aline: les ultrafiltres comme outil pour prouver CG à mon avis ne peuvent que donner des énoncés de la forme "le nombre de contre exemples est fini". Bon en mode science fiction de toute façon. La filtration qui justement semble te plaire permet hélas de prouver qu'ils ne peuvent faire sur des ensembles finis fixés. De mon téléphone
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Martial
    Martial
    @Aline Denise : à mon avis tu te fourvoies.
    Les filtres (et ultrafiltres) servent essentiellement à étudier l'infini.
    Je ne vois pas de quel secours ils peuvent être dans la conjecture de Goldbach.
  • Aline Delves
    Aline Delves
    Merci Martial, cette réponse est claire et nette.
    Je lis : Soit $X$ un ensemble infini. Un filtre sur $X$ est une famille $\mathcal{F} \subset \mathcal{P}(X)$ vérifiant 3 propriétés (une sur l'intersection, une sur une sorte de sur-ensemble et une sur l'ensemble vide).
    Est-ce que je peux prendre $\mathbb{N}$ pour $X$ et les $3x+2$ comme filtre.
    Sinon, pourriez-vous me fournir un exemple le plus simple possible de filtre pour que je puisse me faire une idée. Merci.
    Cordialement,
    Denise
  • Martial
    Martial
    @Aline : ce que tu écris n'a aucun sens.
    Ce que tu appelles les 3x+2 est une partie de $\N$, l'ensemble des nombres qui congruent à 2 modulo 3.
    Or, un filtre est une partie de l'ensemble des parties de $\N$.
    Tu as là 2 objets de nature différente.
    Il faut que tu te documentes plus sérieusement sur les filtres.
    Exemple :
    https://sites.google.com/view/martial-leroy
    Chapitre 11.

    P.S. : Je ne cherche pas à me faire de la pub, je veux juste aider.
    Je ne pense pas qu'Aline va résoudre son pb à coups de filtres, mais si elle comprend vraiment ce qu'est un filtre ou un ultrafiltre j'aurai servi à qqch...
  • Martial
    Martial
    Inutile de lui faire acheter un bouquin à 50€ qui lui servira juste à comprendre qu'elle n'a pas emprunté la bonne piste...
  • Aline Delves
    Aline Delves
    Merci de ton aide Martial : vois-tu que l’ensemble des parties de $\mathbb{N}$ qui interviennent dans la recherche des décomposants de 98 est
    $\{\{3x\},\{5x\},\{7x\},\{3x+2\},\{5x+3\},\{2x+1\},\{x<=49\}\}$ alors que pour 100, il faudra remplacer la partie $\{3x+2\}$ par la partie $\{3x+1\}$ et la partie
    $\{5x+3\}$ par $\{7x+2\}$.
    Les droites de l’exemple $n=400$ correspondent aux parties de $\mathbb{N}$ à considérer, j’ai placé les nombres dans un carré de côté $\sqrt{400}$ (seuls les points correspondant aux nombres impairs apparaissent).
    C’est très marrant d’être préoccupé par mes dépenses de librairie.
    Je regarderai les éléments fournis dès que possible.
    Merci bien pour le cours. Ce serait vraiment bien que tu aies la possibilité de regarder attentivement les 4 exemples traités géométriquement (96, 98, 100, dessinés sur 3 fibres présentées horizontalement modulo 3 et 400 présenté sur un carré).
    La démonstration qu’on « filtre » bien ce qu’on veut est là : premiers >= sqrt(n) non congrus à n selon tout p premier < sqrt(n)
    Denise
  • Martial
    Martial
    @Denise : c'est avec grand plaisir que je t'aiderais mais je ne connais vraiment rien à la recherche sur CG.
    Je ne connais même pas le vocabulaire...
    Bon, si j'ai 5 minutes je vais quand même aller jeter un oeil sur ton papier, mais hélas je partage le point de vue de Christophe quand il dit que les ultrafiltres ne peuvent t'être d'aucun secours dans la mesure où ton problème est typiquement finitiste.
  • gerard0
    gerard0
    Bonjour à tous.

    ne s'agit-il pas ici tout simplement d'une confusion entre les mots "crible" et "filtre". En français courant, ils ont des sens différents : Le filtre laisse passer ce qui nous intéresse, le crible laisse passer ce dont on veut se débarrasser et garde ce qui est utile.

    Cordialement.
  • Aline Delves
    Aline Delves
    Bonjour,
    pour Martial, (oublions les nombres pairs, seul 2 étant premier parmi eux, je sais que les matheux apprécient la généralité mais cela raccourcira l'exposé) : tu connais le crible d'Eratosthène, qui permet de trouver les nombres premiers compris entre $\sqrt {100} $ et 100 en éliminant les multiples de 3, 5 et 7, qui sont les nombres premiers (impairs) $\leq 100$.
    Pour trouver les décomposants de Goldbach de 100 (les nombres premiers plus petits que 50 dont le complémentaire à 100 est premier aussi), il suffit de cribler / filtrer (si l'un est simplement le complémentaire de l'autre, ne chipotons pas ;-)) les $3x+1$ car 100 est un $3x+1$, (les $5x$, déjà fait), et les $7x+2$ car 100 est un $7x+2$.
    En terme de congruences de Gauss, cela s'écrit $p \not \equiv n \;(mod \;p_k) \iff n-p \not\equiv 0 \;(mod \;p_k)$ pour tout $p_k$ premier inférieur ou égal à $\sqrt n$ (on prend $p$ inférieur ou égal à la moitié de $n$). Si on veut être plus général, on peut travailler modulo tout le monde mais se restreindre aux premiers suffit.
    Cordialement,
    Denise
  • Aline Delves
    Aline Delves
    Bonsoir,
    Ce post pour répondre au "erreur de transcription ?" : je viens de vérifier que la transcription correspond bien à ce que contient l'article de magazine.
    J'ai criblé / filtré / enlevé géométriquement les $p_k \times x \pm 1$ pour trouver les nombres premiers jumeaux jusqu'à 600.
    jum600.png
    Cordialement,
    Denise
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