Parties majorées de N
Bonjour
Selon plusieurs articles lus sur Internet, par exemple celui-ci, les 5 axiomes de Peano sont équivalents aux 3 axiomes suivants :
(N1) : Toute partie non vide de N admet un plus petit élément,
(N2) : Toute partie non vide et majorée de N admet un plus grand élément,
(N3) : N n'a pas de plus grand élément.
Or il me semble que (N2) se démontre à partir de (N1) :
Où est l'erreur ?
Merci, Pierre
Selon plusieurs articles lus sur Internet, par exemple celui-ci, les 5 axiomes de Peano sont équivalents aux 3 axiomes suivants :
(N1) : Toute partie non vide de N admet un plus petit élément,
(N2) : Toute partie non vide et majorée de N admet un plus grand élément,
(N3) : N n'a pas de plus grand élément.
Or il me semble que (N2) se démontre à partir de (N1) :
Soit A une partie non vide de N et soit M un majorant de A. Soit B l'ensemble des entiers <= à M et >= à tous les éléments de A B n'est pas vide puisqu'il contient l'entier M B possède un plus petit élément, qui est le plus grand élément de A
Où est l'erreur ?
Merci, Pierre
Réponses
-
Il faut encore prouver que le plus petit élément de $B$ appartient à $A$.
Les axiomes N1 et N3 ont plein de modèles qui ne ressemblent pas à $\N$ (en particulier ne vérifient pas N2), comme par exemple deux copies de $\N$, mise l'une en dessous de l'autre, et donc il sera impossible de prouver N2 à partir de N1 et N3 -
Tape "ordinal" sur googleAide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
-
Considère $\N\times \{0,1\}$ (tu peux y penser comme deux copies de $\N$, l'une est affublée de l'étiquette $0$, l'autre de l'étiquette $1$) muni de l'ordre suivant : je définis $(n,0)< (m,1)$ quels que soient $n,m$, et ensuite $(n,0)<(m,0)$ si et seulement si $n<m$, et pareil avec $1$. Il faut vérifier, mais c'est routinier, il n'y aucune difficulté autre que l'épuisement, que cela définit bien un ordre sur notre ensemble.
Visuellement, cet ordre ressemble à $0_0<1_0<2_0< .... <0_1<1_1<2_1< ...$ où j'ai mis des indices pour désigner les étiquettes.
C'est ensuite assez facile de vérifier N3, et aussi de vérifier que N2 n'est pas vérifié dans cet ordre. La vérification que N1 est satisfaite est plus ou moins facile, selon ton niveau en mathématiques : si tu as travaillé avec ce genre de choses avant ça ne posera aucun problème, ça peut être plus subtil si c'est la première fois que tu joues avec N1.
La morale est que N1 et N3 y sont vrais, mais pas N2 : donc impossible de déduire N2 de N1 et N3.
Bien sûr ce n'est pas le seul contrexemple: tu peux encore coller un troisième $\N$ tout en haut, un quatrième; une infinité dénombrable, une infinité indénombrable, etc. (à chaque fois il faudra que l'ensemble infini par lequel tu indexes tes copies vérifie lui-même N1). Tu obtiens ainsi toute une tripotée d'ordres, appelés les bons ordres. En fait, à isomorphisme près, tu les obtiens tous (enfin presque, tu obtiens tous ceux qui n'ont pas de maximum) - comme le dit christophe, le mot clé est "ordinal" ou "bon ordre".
(En réalité je triche un peu parce qu'il y a certains de ces bons ordres tels que pour les obtenir à partir de cette construction, il faut les connaître au préalable et indexer par eux, mais ce que j'ai dit reste vrai) -
Maxtimax a écrit:Il faut encore prouver que le plus petit élément de B appartient à A.
Pourtant que penses-tu de ce raisonnement ?
Appelons m le plus petit élément de B.
Si m = 0, alors A = {0} et le plus grand élément est 0.
Si m n'est pas nul, appelons q son prédécesseur.
q est plus petit que M mais n'est pas dans B
q n'est donc pas supérieur ou égal à tous les éléments de A.
Il existe donc dans A un entier a > q, c'est à dire a >= m
Donc m = a
Pierre
P.S. Notons m est le plus petit majorant de A : j'aurais peut être pu définir B comme l'ensemble des majorants de A. -
Prédécesseur ????????Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
-
Pierre : comme la question de christophe te le fais remarquer, d'où sors-tu l'existence d'un prédécesseur ?
Petite astuce pour plus tard : quand tu as fait une "preuve" d'un résultat, et que tu te rends compte que ce résultat est faux via un exemple, en général (pas tout le temps) tu peux tester les étapes de ton raisonnement face à l'exemple en question. Ici tu as un exemple, et tu peux donc regarder comment chaque étape de ton raisonnement s'y déroule -
Effectivement ton exemple est très instructif, je n'avais pas du tout imaginé ce cas de figure
)
Je vois que c'est la notion de prédécesseur qui cloche puisque (0,1) n'a pas de prédécesseur.
je te remercie beaucoup.
Pierre -
N2 te l'offre comme étant les max des elets < tant. Elle est suffisante ET nécessaire . Tu as apporté tout seul sa suffisance (enfin j'ai lu jusqu'à prédécesseur ta preuve mais j'imagine que les 3-4 lignes ensuite marchaient. )Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
-
Bonsoir,
je glisse une question sur N3:
si on souhaite travailler avec des réels infinitésimaux, on est bien d'accord que l'on perd l'aspect archimédien de $\R$? il faut donc être clair sur le modèle au départ des raisonnements, non?
(un élève de TS m'a glissé la peau de banane d'un infinitésimal dans un raisonnement et j'ai affirmé que ce n'était pas possible dans le modèle des réels "standards" que nous utilisions en TS même si ça ne pouvait être exclu).
Bonne soirée,
F.D. -
François : je ne vois pas bien le rapport avec N3; mais effectivement c'est presque la définition d'un infinitésimal que de rompre le caractère archimédien.
Pour autant, les raisonnements avec les infinitésimaux peuvent aider l'analyse "standard", Christophe en est un grand fan . Plus précisément, si tu obtiens un énoncé du premier ordre que tu peux prouver en utiliser des infinitésimaux, il est valable dans $\R$ (il faut préciser plein de trucs, mais c'est l'idée) -
christophe c a écrit:N2 te l'offre comme étant les max des elets < tant. Elle est suffisante ET nécessaire . Tu as apporté tout seul sa suffisance (enfin j'ai lu jusqu'à prédécesseur ta preuve mais j'imagine que les 3-4 lignes ensuite marchaient. )
Dans l'ensemble N x {0,1} donné par Martimax l'axiome N2 n'est pas respecté puisque par exemple la partie {x < (0,1)} n'a pas de plus grand élément.
Par contre, dans l'ensemble N on peut effectivement construire une fonction n --> S(n) de N dans N :
Grâce à N1 on pose S(n) = le plus petit élément de la partie {x > n} et on montre que S est injective
En utilisant N2 on démontre que tout n non nul possède un antécédent qui le plus grand élément de {x<n}
On retrouve ainsi la fonction successeur des axiomes de Peano. -
En analyse non standard on introduit carrément un nouveau symbole de prédicat $S$ (pour "standard") et les règles comme l'axiome de récurrence ne s'appliquent qu'aux énoncés qui s'écrivent SANS aucune occurrence de $S$ (sinon on a des paradoxes immédiatement).
En fait même si ça peut surprendre, l'analyse non standard axiomatique (celle introduite par Edward Nelson) est d'inspiration ultra-finitiste ($S$ désigne en fait l'ensemble fini des objets mathématiques accessibles maintenant à l'intelligence humaine- on n'a jamais manipulé autre chose que des suites finies de symboles, les autres objets sont considérés comme des idéalisations. Vu comme ça un nombre est énorme s'il est plus grand que tout ce qui est concevable, infinitésimal s'il est non nul et plus petit en valeur absolue que tout ce qui est concevable etc). Regarder la page de wikipédia"internal set theory" pour plus de précision.Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$. -
J'ai une autre question sur le même sujet.
Soit A une partie non vide de N. Pouvez-vous me confirmer (ou non) qu'on a bien les équivalences suivantes :
"A est fini" <==> "A a un plus grand élément" <==> "A est majoré"
Merci,
Pierre -
Oui, il suffit de le montrer par implications circulaires.
-
Merci beaucoup
Pierre -
Passant par là, tant qu'à faire, je donne les 3 axiomes de l'ANS (ils s'ajoutent à ceux de ZFC, mais attention, les schémas de ZFC continuent de ne s'appliquer qu'aux formules où le symbole "std" n'apparait pas):
1/ Idéalisation: si $\forall^s F\ fini, \exists y \forall z\in F: R(z,y)$ alors $\exists y\forall^s x: R(x,y)$
(Valable pour tout R à paramètres quelconques ne contenant pas le prédicat std dans son écriture)
2/ Transfert: $P\iff Q$
où on remplace dans $P$ les $\forall $ par $\forall^s$ pour obtenir $Q$. Valable pour toute $P$ à params tous standards, et n'ayant pas le symbole std dans son écriture
3/ Standardisation: $\exists^s a\forall ^s b: [(b\in a)\iff (R(b))]$
Valable pour toute $R$ sans strictement aucune restriction.
edit: je n'efface pas, je précise, voir question de maxtimax
3correct/ .................. Valable pour toute $R$ sans strictement aucune restriction sauf qu'elle doit être de la forme $[x\in c\wedge S(x)]$
$\forall^s x: A(x)$ abrège $\forall x: $ si $x$ est standard alors $A(x)$
Remarque: à epsilon près, (2) + (3) => quasiment (1). Je laisse cet aspect en exercice (c'est assez intéressant de le faire)Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Christophe : ton 3 me surprend, tu ne veux pas dire $\exists a$ plutôt ?
-
De mon téléphone enn fait j'avais tapé "pour tout à" puis ai corrigé. Maintenant il ne reste que la compréhension non bridée c'est vrai mais j'y reviendrai d'un PC, flemme de faire du latex de mon téléphone. L'esprit est bon de toute façon (en dehors du côté TDE originelle vs ZFC = TDE bridée)Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
-
@Christophe : au risque d'abuser, pourrais-tu m'expliquer en quelques mots ce que veulent dire "philosophiquement" les axiomes d'Idéalisation, Standardisation, Transfert ?
Je ne sais pas si c'est humainement faisable, mais j'aimerais bien comprendre ce qu'il y a derrière ces axiomes mystérieux... -
Analyse non Standard ?
-
-
Christophe : c'était la cohabitation de l'exposant et du non bridage :-D
-
Soit (dans ZFC ordinaire) $I $ un ensemble. $I$ est fini si et seulement si: pour toute famille $E=(E_i)_{i \in I}$, $E$ est d'intersection non vide si et seulement si toute intersection d'une sous famille finie de $E$ est non vide.
L'axiome d'idéalisation est une variante de ce critère de finitude pas très utile... Il dit en quelque sorte que la collection des objets standards est finie (non standarde).Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 7 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 52 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres
Qui est en ligne 2
2 Invités