Liberté mathématique
Je suis tombé sur un fil qui me tord un peu le coeur et je vois qu'il y en a un deuxième. bon, je ne les ai parcourus qu'en diagonale, mais je ré-expose ici un message qui me tient à coeur et qui je l'espère, à terme, en finira avec les atermoiements autour de la notion d'objets libres.
Quand on voit les discussions dans le fil de boule et bil, on a le vertige tellement ça semble complexe et "industrielle".
Il ne faut pas écouter la pub. Aucune spécialité n'est la panacée, les maths sont mystérieuses. Les catégories communiquent beaucoup ces dernières décennies et elles ont des qualités, mais il y a une tendance chez des novices à compter sur elles pour ce qu'elles ne peuvent pas donner.
Probablement plus de 90% des résultats catégoriques sont de totales évidences .... une fois traduits en logique, mais hélas, c'est la traduction qui peut prendre 150ans. A l'inverse il existe probablement un certain nombre de résultats de logique qui ont donné du mal à leurs découvreurs et qui sont triviaux en catégories. Evidemment moins, puisqu'un certain nombre de théorèmes logiques "n'existent pas" en consistance forte demandée (ie ils utilisent des axiomes "sulfureux", et ne proviennent pas de réordonnancement des lettres dans des chaines de caractères comme le reste des maths)
On peut aller beaucoup plus loin d'ailleurs, je ré-énonce un de mes théorèmes fétiche sous une forme, que j'espère n'avoir pas trop souvent donnée, histoire de varier les formes:
Tout théorème de maths est un cas particulier d'évidence, dans le sens (aujourd'hui :-D ) précis suivant:
1/ Vous prenez une parfaite évidence
2/ Vous appliquez un morphisme alphabétique
3/ Si vous obtenez un énoncé qui commence par "si X alors " où $X$ est un des axiomes "(A et A)=A", "(A et
=>A" + idem au 1er ordre, vous retirez ce préfixe et recommencez à 3
Cette procédure permet d'obtenir tous les théorèmes de toutes les sciences.
Autrement dit, ce qui fait qu'un théorème est difficile n'est pas sa généralité, mais son côté trop particulier, c'est à dire le fait qu'il soit de la forme $R(x,x,x)$ alors que l'évidence est de la forme $R(x,y,z)$ et se voit mieux + le fait que des blocs de la forme $<x,x>$ sont souvent compressés en $x$
Bref, tout ceci pour dire que vos choix ne doivent pas être guidé par la pub. Chaque spécialité va se vanter, mais ça ne donnera pas d'information fiable.
J'en viens ainsi à la liberté. Le grand avantage du paradigme catégorique ici est de donner LA DEFINITION. Autrement dit, ici, (ce n'est pas général), l'approche catégorique joue le rôle de "juge de chaise". Dans de nombreux cas, c'est la logique qui le joue, mais pas ici. Par contre, le juge de chaise est en costard et il ne bat pas Nadal sur le terrain.
La définition (je caricature, vu qu'il y a déjà les autres fils et que je veux envoyer un message) d'objets "(rouge, vert)-libre" c'est d'être un couple $(X,A)$ et une flèche rouge $g$ allant de $X$ vers $A$ tel que pour tout $B$ et toute fonction $f$ rouge allant de $X$ vers $B$, il existe une unique flèche verte $w$ allant de $A$ vers $B$ tel que $w\circ g = f$. Lire l'autre fil si vous voulez de la rigueur.
Cette définition donne un critère pour donner le diplôme libre ou pas à quelque chose. Elle ne les donne pas.
Alors souvent on voit diverses constructions usines à gaz (la palme au produit tensoriel, mais il est loin d'être le seul) dans les livres qui envoient les étudiants se noyer bien comme il faut dans des faux cinémas. Pour certaines structures algébriques, ce n'est pas bien méchant de l'ignorer, mais par exemple, pour trouver les compacts universels "au dessus de", par exemple , celui de Stone Cech, c'est vraiment dommage de garde ça confidentiel. Je n'y étais pas mais j'imagine la souffrance inutile d'étudiants de M2 en train de se taper une construction ad hoc du compactifié de Stone avec des ultrafiltres, une bite et un couteau.
J'émets donc dans le présent post, le désir de faire savoir quelques lignes systématiques qui devraient éviter ça. Je vais énumérer des slogans exagérés et informels et les commenter.
1/ L'objet libre existe toujours. C'est un slogan et il est "presque vrai". En fait, ce qu'il se passe, quand il existe mais que la définition n'en veut pas, c'est parce qu'il n'est pas dans "la bonne catégorie", c'est à peu près tout. Et c'est ce slogan numéro1 qui justifie le plus mon présent post. Je le construis:
Soit $X$ (pour prendre une même lettre que celle utilisée dans la définition). Soit $A'$ le produit de TOUS les $(f,B)$ tels que $f$ est une flèche rouge menant $X$ vers $B$ et $\phi$ la flèche partant de $X$ et allant vers $A'$ définie par $\phi(f,B)(x)=f(x)$ pour tout $(f,B)$ et $x\in X$. Et bien $A'$ est certes très gros, mais au moins pour n'importe quel couple $(f,B)$ où $f$ est une flèche rouge allant de $X$ dans $B$, vous avez le diagramme commutatif (pffff, je ne me rappelle plus comment faire des diagrammes en latex), je l'écris en ligne:
$$ f = p \circ \phi$$
où $p: t\mapsto t(f,B)$
Ca a l'air un peu abstrait, mais c'est juste la prise d'une bête et méchante ... borne inférieure.
Une fois ça défini, vous ne gardez pas $A'$ qui est trop gros, mais la sous-structure de $A'$ engendré par les $\phi(x)$ quand $x$ parcourt $X$.
C'est juste ça votre objet universel ou votre objet libre. Rien de plus.
Par exemple, votre "corps libre au dessus de l'ensemble $H$" (je fais exprès de prendre une structure sans objet libre), c'est juste (presque) le produit de tous les corps $K$ donnés possiblement avec une fonction qui va de $H$ dans $K$. "Presque", parce qu'une fois qu'on a fait le produit, il faut "redescendre" et ne se contenter de prendre que les éléments du plus petit sous-corps de cette grosse structure qui contient les image universelles de $H$.
Ce que vous obtiendrez n'est pas un corps (je vais résumer pourquoi ensuite), mais l'anneau libre au dessus de $H$ parmi les anneaux où tout élément est multiple de son carré.
2/ Sur le plan logique pourquoi c'est trivial?
J'ai souvent eu l'occasion de le dire, mais chaque fois ça avait l'air un peu gratuit, pour le coup, là ça ne le sera pas. On parle sans cesse de théories et de modèles. Mais c'est très maladroit car c'est désinformant sur la nature même des maths. En maths, il n'y a pas franchement de modèles, mais plutôt que des théories. Hélas certaines théories ne peuvent pas être vues comme des modèles pour une raison bête et méchante, c'est qu'elles ne nomment pas tous leurs individus. Précisément, une théorie peut très bien démontrer $\exists xR(x)$, mais ne contenir aucune constante $c$ telle que $R(c)$.
J'appellerai "théorie qui s'assume" (ou plutôt diagramme, mais cet homonyme est dangereux, donc je dirai TQA) une théorie qui nomme tous ses objets, ie chaque fois que $\exists xR(x)$ est un théorème, il y a une contante $c$ tel que $R(x)$ est lui aussi un théorème. Il est célébrissime que ces théorie sont très faciles à obtenir (et les obtenir s'appelle "skolémiser")
Maintenant, je suis prêt pour vous donner la définition du mot "modèle".
3/ << ETRE UN MODELE >> ABREGE << ETRE UNE TQA COMPLETE>>
En logique classique, "complet" veut juste dire que pour toute phrase P, la théorie démontre P ou démontre nonP
Quand vous avez un modèle dans le sens que je viens de définir, bin ..... vous avez un modèle :-D :-D et il est en quelque sorte "automatiquement libre".
Du coup, qu'est-ce qui empêche une TQA d'être déjà elle-même sa structure libre? Et bien la réponse est simple: être incomplète.
Mais qu'est-ce qui empêche la complétude? Et bien généralement ce sont les "ou". Vous parvenez à prouver X ou Y, mais vous ne parvenez pas à prouver X, ni à prouver Y.
Or en algèbre qu'est-ce qui se passe? Et bien avec beaucoup de théories célèbres, pour la rendre complète, vous n'avez rien d'autre à faire que de dire <<je considère que tout énoncé sans quantificateur ni connecteur logique est vrai, seulement quand il est prouvé>>
Et ça règle la question, vous venez de fabriquer votre structure libre. En fait, une TQA est complète dès qu'elle décide ses énoncés sans quantificateurs ni connecteurs.
Et tout ceci est bien évidemment évident dès que vous aurez compris ce que j'ai raconté, avec compris entendu comme "dès que ce sera précis pour vous, rien de plus". En espérant donc n'avoir pas été difficile à comprendre.
Quand on voit les discussions dans le fil de boule et bil, on a le vertige tellement ça semble complexe et "industrielle".
Il ne faut pas écouter la pub. Aucune spécialité n'est la panacée, les maths sont mystérieuses. Les catégories communiquent beaucoup ces dernières décennies et elles ont des qualités, mais il y a une tendance chez des novices à compter sur elles pour ce qu'elles ne peuvent pas donner.
Probablement plus de 90% des résultats catégoriques sont de totales évidences .... une fois traduits en logique, mais hélas, c'est la traduction qui peut prendre 150ans. A l'inverse il existe probablement un certain nombre de résultats de logique qui ont donné du mal à leurs découvreurs et qui sont triviaux en catégories. Evidemment moins, puisqu'un certain nombre de théorèmes logiques "n'existent pas" en consistance forte demandée (ie ils utilisent des axiomes "sulfureux", et ne proviennent pas de réordonnancement des lettres dans des chaines de caractères comme le reste des maths)
On peut aller beaucoup plus loin d'ailleurs, je ré-énonce un de mes théorèmes fétiche sous une forme, que j'espère n'avoir pas trop souvent donnée, histoire de varier les formes:
Tout théorème de maths est un cas particulier d'évidence, dans le sens (aujourd'hui :-D ) précis suivant:
1/ Vous prenez une parfaite évidence
2/ Vous appliquez un morphisme alphabétique
3/ Si vous obtenez un énoncé qui commence par "si X alors " où $X$ est un des axiomes "(A et A)=A", "(A et
=>A" + idem au 1er ordre, vous retirez ce préfixe et recommencez à 3Cette procédure permet d'obtenir tous les théorèmes de toutes les sciences.
Autrement dit, ce qui fait qu'un théorème est difficile n'est pas sa généralité, mais son côté trop particulier, c'est à dire le fait qu'il soit de la forme $R(x,x,x)$ alors que l'évidence est de la forme $R(x,y,z)$ et se voit mieux + le fait que des blocs de la forme $<x,x>$ sont souvent compressés en $x$
Bref, tout ceci pour dire que vos choix ne doivent pas être guidé par la pub. Chaque spécialité va se vanter, mais ça ne donnera pas d'information fiable.
J'en viens ainsi à la liberté. Le grand avantage du paradigme catégorique ici est de donner LA DEFINITION. Autrement dit, ici, (ce n'est pas général), l'approche catégorique joue le rôle de "juge de chaise". Dans de nombreux cas, c'est la logique qui le joue, mais pas ici. Par contre, le juge de chaise est en costard et il ne bat pas Nadal sur le terrain.
La définition (je caricature, vu qu'il y a déjà les autres fils et que je veux envoyer un message) d'objets "(rouge, vert)-libre" c'est d'être un couple $(X,A)$ et une flèche rouge $g$ allant de $X$ vers $A$ tel que pour tout $B$ et toute fonction $f$ rouge allant de $X$ vers $B$, il existe une unique flèche verte $w$ allant de $A$ vers $B$ tel que $w\circ g = f$. Lire l'autre fil si vous voulez de la rigueur.
Cette définition donne un critère pour donner le diplôme libre ou pas à quelque chose. Elle ne les donne pas.
Alors souvent on voit diverses constructions usines à gaz (la palme au produit tensoriel, mais il est loin d'être le seul) dans les livres qui envoient les étudiants se noyer bien comme il faut dans des faux cinémas. Pour certaines structures algébriques, ce n'est pas bien méchant de l'ignorer, mais par exemple, pour trouver les compacts universels "au dessus de", par exemple , celui de Stone Cech, c'est vraiment dommage de garde ça confidentiel. Je n'y étais pas mais j'imagine la souffrance inutile d'étudiants de M2 en train de se taper une construction ad hoc du compactifié de Stone avec des ultrafiltres, une bite et un couteau.
J'émets donc dans le présent post, le désir de faire savoir quelques lignes systématiques qui devraient éviter ça. Je vais énumérer des slogans exagérés et informels et les commenter.
1/ L'objet libre existe toujours. C'est un slogan et il est "presque vrai". En fait, ce qu'il se passe, quand il existe mais que la définition n'en veut pas, c'est parce qu'il n'est pas dans "la bonne catégorie", c'est à peu près tout. Et c'est ce slogan numéro1 qui justifie le plus mon présent post. Je le construis:
Soit $X$ (pour prendre une même lettre que celle utilisée dans la définition). Soit $A'$ le produit de TOUS les $(f,B)$ tels que $f$ est une flèche rouge menant $X$ vers $B$ et $\phi$ la flèche partant de $X$ et allant vers $A'$ définie par $\phi(f,B)(x)=f(x)$ pour tout $(f,B)$ et $x\in X$. Et bien $A'$ est certes très gros, mais au moins pour n'importe quel couple $(f,B)$ où $f$ est une flèche rouge allant de $X$ dans $B$, vous avez le diagramme commutatif (pffff, je ne me rappelle plus comment faire des diagrammes en latex), je l'écris en ligne:
$$ f = p \circ \phi$$
où $p: t\mapsto t(f,B)$
Ca a l'air un peu abstrait, mais c'est juste la prise d'une bête et méchante ... borne inférieure.
Une fois ça défini, vous ne gardez pas $A'$ qui est trop gros, mais la sous-structure de $A'$ engendré par les $\phi(x)$ quand $x$ parcourt $X$.
C'est juste ça votre objet universel ou votre objet libre. Rien de plus.
Par exemple, votre "corps libre au dessus de l'ensemble $H$" (je fais exprès de prendre une structure sans objet libre), c'est juste (presque) le produit de tous les corps $K$ donnés possiblement avec une fonction qui va de $H$ dans $K$. "Presque", parce qu'une fois qu'on a fait le produit, il faut "redescendre" et ne se contenter de prendre que les éléments du plus petit sous-corps de cette grosse structure qui contient les image universelles de $H$.
Ce que vous obtiendrez n'est pas un corps (je vais résumer pourquoi ensuite), mais l'anneau libre au dessus de $H$ parmi les anneaux où tout élément est multiple de son carré.
2/ Sur le plan logique pourquoi c'est trivial?
J'ai souvent eu l'occasion de le dire, mais chaque fois ça avait l'air un peu gratuit, pour le coup, là ça ne le sera pas. On parle sans cesse de théories et de modèles. Mais c'est très maladroit car c'est désinformant sur la nature même des maths. En maths, il n'y a pas franchement de modèles, mais plutôt que des théories. Hélas certaines théories ne peuvent pas être vues comme des modèles pour une raison bête et méchante, c'est qu'elles ne nomment pas tous leurs individus. Précisément, une théorie peut très bien démontrer $\exists xR(x)$, mais ne contenir aucune constante $c$ telle que $R(c)$.
J'appellerai "théorie qui s'assume" (ou plutôt diagramme, mais cet homonyme est dangereux, donc je dirai TQA) une théorie qui nomme tous ses objets, ie chaque fois que $\exists xR(x)$ est un théorème, il y a une contante $c$ tel que $R(x)$ est lui aussi un théorème. Il est célébrissime que ces théorie sont très faciles à obtenir (et les obtenir s'appelle "skolémiser")
Maintenant, je suis prêt pour vous donner la définition du mot "modèle".
3/ << ETRE UN MODELE >> ABREGE << ETRE UNE TQA COMPLETE>>
En logique classique, "complet" veut juste dire que pour toute phrase P, la théorie démontre P ou démontre nonP
Quand vous avez un modèle dans le sens que je viens de définir, bin ..... vous avez un modèle :-D :-D et il est en quelque sorte "automatiquement libre".
Du coup, qu'est-ce qui empêche une TQA d'être déjà elle-même sa structure libre? Et bien la réponse est simple: être incomplète.
Mais qu'est-ce qui empêche la complétude? Et bien généralement ce sont les "ou". Vous parvenez à prouver X ou Y, mais vous ne parvenez pas à prouver X, ni à prouver Y.
Or en algèbre qu'est-ce qui se passe? Et bien avec beaucoup de théories célèbres, pour la rendre complète, vous n'avez rien d'autre à faire que de dire <<je considère que tout énoncé sans quantificateur ni connecteur logique est vrai, seulement quand il est prouvé>>
Et ça règle la question, vous venez de fabriquer votre structure libre. En fait, une TQA est complète dès qu'elle décide ses énoncés sans quantificateurs ni connecteurs.
Et tout ceci est bien évidemment évident dès que vous aurez compris ce que j'ai raconté, avec compris entendu comme "dès que ce sera précis pour vous, rien de plus". En espérant donc n'avoir pas été difficile à comprendre.
Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
Réponses
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Les fils dont je parle sont:
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1699282,1705102,page=2#msg-1705102
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1703744,1705124#msg-1705124Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
J'ajoute des slogans dont j'espère qu'ils marqueront!!!
[large]L'anneau libre sur c'est le produit de tous les anneau sur
Le compact libre sur, c'est le produit de tous les compacts sur
Le produit tensoriel $E\otimes F$ c'est le produit de toutes les images bilinéaires de $E\times F$
Le machin libre sur c'est le produit de tous les machins libres sur[/large]Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Et il n'y a que DEUX exceptions (pas 3) qui empêche d'avoir l'objet:
1/ Le produit est trop gros même quand on prend le sous-truc engendré: exemple les anneaux de Boole complets
2/ La catégorie (ou le machin si ce n'est pas une catégorie) n'est pas stable par produits quelconques.
En dehors de ces deux obstructions, l'objet universel existe toujours et dans le cas 1, il existe dynamiquement, il force juste à agrandir l'univers, ce qui est routinier.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
J'en termine par un exemple "VIP". Le groupe libre sur $A$ est le sous-groupe du produit de tous les groupes donnés avec une applications qui les a comme but et partant de $A$ engendré par les images de $A$.
D'une manière générale et non pas pour une structure précise, le théorème de complétude de Godel dit: si un truc est vrai sur le produit, il existe une preuve formelle qu'il est vrai (cette deuxième chose étant une conclusion syntaxique)Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Un truc auquel tu me fais penser, puisque tu parles de "rendre des évidences difficiles à comprendre".
Il y a un paquet d'objets qu'on m'a introduits au fur et à mesure de mes cours de maths, dont le comportement est en principe assez simple, mais la façon dont on nous les montre quand on les découvre nous donne une image tordue de l'objet... l'idée de présenter les choses en algèbre universelle, théorie des catégories etc a l'avantage de décrire les objets de façon "très simple" (on n'utilise qu'un vocabulaire auquel on est habitué : ensembles, structures, morphismes) mais cette façon "très simple" n'est pas imagée, pas visuelle. Exemple : la définition de monoïde libre qu'on a utilisée dans mon fil de discussion que tu as cité, elle est très simple, c'est une propriété universelle qui ne fait intervenir que des ensembles, des monoïdes, des applications et des morphismes. Par contre, pour se demander "à quoi il ressemble, cet objet", on a fait une construction "ad hoc" avec des mots, la concaténation, des bidouillages à droite à gauche qui rendent l'objet certes "plus explicite" mais qui cachent en fait qu'il est très simple à utiliser (il est défini par une propriété universelle, et c'est sa SEULE propriété justement).
Je ne pense pas être le seul à essayer de me faire une image mentale d'un objet nouveau qu'on m'introduit, et c'est piégeux parce qu'on finit par mettre des "constructions ad hoc" devant des définitions à priori simples.
Encore un exemple : le déterminant. Le déterminant, c'est pas compliqué. Il est défini comme une somme de coefficients sur le groupe symétrique. Il a des propriétés remarquables, mais, juste avec la définition, on a du mal à voir pourquoi le déterminant les a. Alors on introduit le déterminant (et les règles qui permettent de le développer et calculer) en montrant "voilà ça c'est une aire orientée, ça c'est un volume orienté, et quand on généralise ça donne cette formule"... ça donne l'impression qu'on comprend mieux l'objet parce qu'on en a une image mentale, mais cette image n'explique pas pourquoi une somme sur des coefficients bizarres avec du groupe symétrique ça donne un truc utile sur les matrices. J'ai un bac+5 en maths et j'ai toujours l'impression de ne pas exactement savoir ce qu'est un déterminant parce qu'on ne m'en a pas donné une définition "simple" (d'ailleurs, quelqu'un avait fait un topic sur ça cet été, où on avait défini le déterminant comme une certaine flèche en théorie des catégories je crois).
Des exemples comme ça, il y en a plein... le produit tensoriel bien sûr (mon dieu, quelle horreur, les définitions que j'ai pu en trouver), les polynômes en plusieurs indéterminées ( :-D ), les structures libres on en a déjà parlé, j'ai fait un topic pour avoir une définition "simple" (topologique) de la dérivabilité parce que j'avais toujours eu l'impression que le nombre dérivé c'est un truc construit "ad hoc parce que ça marche" alors qu'on peut très bien expliquer d'où ça sort et pourquoi ça a les propriétés que ça a, l'espérance conditionnelle c'est l'une des pires définitions "faussement rendues simples" que j'ai rencontrées... la liste est longue.
D'un côté, je comprends d'où ça vient, si on faisait des études de maths en commençant par la théorie des ensembles, puis l'algèbre universelle et la topologie générale, personne ne passerait le premier semestre. Mais le fait est qu'on construit notre culture mathématique en attachant les nouvelles notions à celles qu'on connapit déjà, et si on a une mauvaise image mentale d'un certain objet, tout ce qu'on construit par-dessus n'aura pas une base solide.
C'est en partie pour clarifier les idées que j'ai de certains objets que je me suis inscrit sur le forum. Je ne sais pas si je finirai à être un philosophe-logicien comme toi, ni si je trouverai toutes les réponses à mes questions en changeant de formalisme (théorie des catégories, algèbre universelle...), mais j'essaie tout doucement d'apprendre à utiliser des objets même sans avoir d'image en tête de ce à quoi ils ressemblent, en gardant en tête seulement ce qu'ils font à d'autres objets (j'espère que Max sera fier de moi :-D )
J'avais un prof à la fac, un prof de géométrie complètement aveugle (et un très bon prof, d'ailleurs !), je me suis longtemps demandé comment il faisait de la géométrie s'il n'a jamais pu faire de dessin (que ce soit dans sa tête ou sur papier), seulement avec les propriétés des objets... ben, il a peut-être fait comme ça. Pas de projection mentale, juste des interactions abstraites entre des objets abstraits dont il n'avait qu'une définition "purement abstraite" (a fortiori "plus simple" car moins "explicite", c'est ce que je disais avant) -
Je serais curieux d'avoir ton avis sur ça, par exemple... J'ai connu deux définitions du déterminant.
La première c'est "c'est la seule application multilinéaire alternée qui vaut 1 sur une base fixée", la deuxième c'est la définition avec la grosse somme sur le groupe symétrique. La définition avec la somme, certes, permet de calculer plus facilement le déterminant d'une matrice quand on est en première année (puisque l'autre définition n'en donne pas immédiatement une formule, même si on peut la déduire rapidement), mais la définition avec la somme (qui est en principe un théorème qu'on obtient en partant de la première définition...) rend les démonstrations des autres propriétés "géométriques" du déterminant non seulement plus difficiles à démontrer, mais surtout à voir/interpréter.
Et là je me demande s'il existe une définition encore plus "simple" du déterminant (avec encore moins de mots, une définition style propriété universelle mais avec un vocabulaire encore plus épuré, sans "multiliéaire", "alternée" et "base") qui permet encore mieux de voir l'interaction de cet objet déterminant avec les objets avec lesquels il a une interaction. -
J'ai appris sur le forum justement que le déterminant s'obtient en abelinisant GLn(K). Hélas encore faut-il prouver que c'est vrai (ce n'est pas très dur avec la notion de volume puisque on voit qu'en rendant commutatif la composition des applications linéaires il ne reste que le volume pour en distinguer 2 mais hélas c'est dans les corps).
Sur le déterminant j'ai d'autre trucs en magasin vu le temps que je l'ai observé mais pas de mon téléphone...Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Si on peut définir le déterminant par une propriété universelle (type c'est la seule application qui rend un certain diagramme commutatif, ou quelque chose de ce calibre) je trouve ça intéressant. Je pense comme ça qu'il y a plein d'objets dont on croit qu'ils sont simples à utiliser alors qu'en vrai ils viennent de quelque chose de profond, et plein d'objets dont on croit qu'ils viennent de quelque chose de profond parce que leur construction ou présentation est compliquée/alambiquée alors qu'ils ne sont pas très méchants. C'est trompeur...
Là par exemple, si on garde en tête qu'un objet libre c'est "le machin dont la seule propriété est sa définition", paradoxalement (en tout cas, a priori paradoxalement) c'est plus simple à manipuler que la forme explicite que j'essaie de dégager pour chacun de ces objets libres. La construction est hyper alambiquée (il suffit de lire le gros post de Max) pour un objet qui n'a pratiquement aucune propriété (je ne dis pas que sa propriété fondamentale est faible, je dis que c'est la seule).
Pour moi, à ce stade, j'ai encore du mal avec le fait que les définitions courtes et très abstraites sont parfois les plus "efficaces", mais, je pense que c'est une étape à franchir dans ma maturité en tant que mathématicien en herbe. -
De mon téléphone je te redis qu'un objet libre c'est juste le produit de tout le monde (concerné), et c'est une notion sans mystère. Je n'ai pas vraiment lu l'autre fil mais j'ai réagi justement parce qu'il m'est vite fait apparu comme u e grosse usine à gaz. Après j'avoue que maxtimax qui doit à peine avoir 20 ans et sortait du lycée quand il a débarqué sur le forum est devenu 10 fois plus fort que moi en à peine 2-3 ans donc je lui fais largement confiance pour te renseigner mais ça n'enlève rien au caractère "essentiellement produits" des objets libres (et même de tous les objets universels !!! La liberté n'est qu'un cas particulier)
La meilleure compréhension d'eux bin c'est d'imaginer des indices :-D :-D en bas de leurs éléments. Exercice: à quoi ressemblent ces indices?Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
:-X Pardon j'oublie à chaque fois de dire "le sous truc du produit engendre par"
Le produit lui est légèrement trop gros :-DAide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
C'est un peu trop abstrait pour moi à ce stade...
Quand tu dis "c'est le produit de tout le monde concerné", je ne vois pas trop par quel moyen on fait le tri de qui est "concerné" ou non -
Bin par exemple le groupe libre généré par a,b est juste obtenu en faisant le produit de tous les groupes G quand (u,v,G) parcourt les triplets où u,v sont des éléments de G. Puis dans ce produit tu prends le groupe engendré par a et b où a(u,v,G):=u et b(u,v,G):=v.
Écoute d'un PC je t'ecrirai tout en détail.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Mon message est à moitié HS mais il existe une 3e définition du déterminant : c'est le produit des valeurs propres !
Bien sûr, vous me direz que pour trouver les valeurs propres, on se ramène à un déterminant. En fait, pas forcément : c'est l'objet d'un article remarquable intitulé Down with Determinants (d'où mon titre) et d'un manuel Linear Algebra Done Right qui montrent comment se passer presque complètement du déterminant pour un cours d'algèbre linéaire, ce qui simplifie certaines preuves et met l'accent sur le côté géométrique ou dynamique de l'algèbre linéaire.
L'interprétation du produit des valeurs propres comme un volume est d'ailleurs assez limpide, au moins dans le cas diagonalisable. -
@CC,
Dans tous les manuels de logique qui me sont passés entre les mains, je n'ai jamais vu une définition de "théorème" qui ne puisse, d'une manière ou d'une autre, se ramener à la définition (inductive) suivante :
a) un axiome est un théorème.
b) une proposition obtenue par l'application d'une règle de déduction à des théorèmes est un théorème.
c) rien n'est un théorème qui ne résulte de a) ou de b).
À partir du modus ponens et des axiomes (spécifiques) suivants:
$x $
$ x \Rightarrow y $
$ x \Rightarrow (y \Rightarrow z) $
un enfant de 10 ans peut comprendre et voir immédiatement que z est un théorème.
Lorsque je t'avais demandé une démonstration de z avec TA CONTRAINTE, à savoir se forcer à n'appliquer le modus ponens qu'à un AXIOME A et un théorème A $\Rightarrow $B pour obtenir un théorème B, tu m'avais répondu que tu ne pouvais le faire de tête , mais que tu pouvais écrire un programme pour l'obtenir, ce qui m'était apparu surréaliste.
Pourrais-tu me donner une piste (juste une piste, pas des explications trop techniques que mon vieux cerveau ne pourra pas suivre) pour avoir ne serait-ce qu'une idée de ta motivation à introduire cette contrainte, à quoi elle sert, et si tu as déjà vu une démonstration écrite la respectant. -
@christophe : ça a l'air d'une usine à gaz mais si tu lis attentivement tu verras qu'il n'y a rien de profond ni de compliqué/technique. Je profite simplement de ce qu'on connaît le monoïde libre pour obtenir le groupe libre : cela permet notamment de ne pas avoir à écrire proprement ton histoire de produits (même si je suis bien d'accord qu'elle marche aussi, je l'ai utilisée pour mon mémoire pour des systèmes dynamiques cette année :-D) (et tu me flattes trop à dire que je suis 10 fois plus fort que toi - mais c'est vrai que mes 20 ans approchent à grands pas...)
-
@GG ce sont les axiomes célèbres de la logique intuitionniste, attention et les axiomes sont:
1) A=>(B=>A)
2) (A=>(B=>C))=>((A=>B)=>(A=>C))
et non ceux que tu as donnés (probablement problème d'éditeur)
Pour avoir la logique classique, tu ajoutes, par exemple, moi je l'aime bien:
3) ((A=>B)=>B)=>((B=>A)=>A)
Et oui je te mettrai ce que tu demandes (une preuve tout bêtement), mais je suis un peu mal à l'aise sur un pc clavier anglais dans un bahut que je découvreAide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
@max, donc tu n'as que 19ans ou moins :-D
@homotopi, je t'écris proprement les choses.
Soit $E$ un ensemble et tu veux faire, disons, quoi l'anneau libre au dessus.
1/ Soit C "la collection de tous les couples" (en fait "un ensemble de") $(f,A)$ où $A$ est un anneau et $f:E\to A$ est une application de $E$ dans $A$.
2/ Soit D l'ensemble des fonctions choix qui à chaque $(f,A)\in C$ associe un élément de $A$
3/ Pour $u,v$ dans $D$, tu définis $(u+v)(f,A):=u(f,A)+_A\ v(f,A)$ et idem avec $\times$.
4/ Ca fait de $D$ un anneau. Tu envoies $E$ dans $D$ par $\phi(e)(f,A):= f(e)$
5/ Tu peux considérer que l'anneau $D$ est trop gros (enfin tu peux, même "tu dois"). Tu prends le sous-anneau $Y$ de $D$ engendré par les $\phi(e)$ quand $e$ parcourt $E$, et piCtou.
6/ Now look, on ne peut rêver meilleur pari :-D : soit $(f,A) \in C$ et $p: u\in Y\mapsto u(f,A)$. Et bien tu $p\circ \phi=f$, fin de l'histoire (enfin non, il te faut prouver l'unicité de $p$ à marcher, mais si $q\circ \phi=f$ alors $\forall e\in E: f(e)=q(\phi(e)) = p(\phi(e))$ et je te laisse conclure pour les éléments de $Y\setminus ImageDirecteDe(E, par, \phi)$
Et tu notes que je n'ai rien utilisé quasiment. Ici on parle d'objet libre, mais ça vaut pour à peu près n'importe quoi à qui on demande de vérifier $\exists \phi \in ok_1\forall f\in ok_1\exists ! g \in ok_2 : f = g\circ \phi$Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Je profite de ce que j'ai un peu de temps pour préciser l'idée de christophe concernant, par exemple le groupe libre. Aux lecteurs et lectrices de juger si c'est plus ou moins usine à gaz que ma construction (à noter qu'en termes d'idées, Christophe a tout dit; je m'occupe simplement de rendre la construction facilement traduisible en langage ordi - pour l'instant il y a quand même un passage où il faut de l'imagination pour que ZFC l'accepte). Je précise que l'avantage de la construction que j'avais présentée dans les fils référencés ne nécessite quasi aucune connaissance en théorie des ensembles alors qu'ici on utilise un peu d'arithmétique cardinale (uniquement les bases, certes, mais tout de même). Si tu veux christophe je te traduis "ma" construction comme tu as présenté la tienne, et tu verras qu'il n'y a pas d'usine à gaz :-D
Soit $X$ un ensemble. Un groupe $G$ muni d'une application $i:X\to G$ telle que $i(X)$ engendre $G$ est de cardinal $\leq \max (\aleph_0, |X|)$. Pour un groupe d'un tel cardinal, il y a un ensemble de $i$ possibles, et donc on peut trouver (hehe) un ensemble $K$ de couples $(G,i)$ tel que $i:X\to G$ est une application, $i(X)$ génère $G$, et tel que pour tout tel couple $(H,j)$, il existe un $(G,i)\in K$ et un isomorphisme $f: G\to H$ tel que le diagramme évident commute, i.e. $f\circ i = j$. Trouver un tel $K$ n'est pas compliqué, je détaillerai au besoin. À noter qu'un tel isomorphisme $f$ est unique, car $i$ engendre $G$.
$K$ étant trouvé, on considère $L=\displaystyle\prod_{(G,i)\in K} G$, $j: X\to L$ définie par $j(x) = (i(x))_{(G,i)\in K}$.
Finalement on prend $M$ le sous-groupe de $L$ engendré par $j(X)$: $(M,j^{\mid M})$ est un groupe libre sur $X$. Je note $\iota : M\to L$ l'inclusion.
La preuve n'est pas redoutablement compliquée. Déjà je ne traiterai pas la partie unicité de la définition, parce que $j(X)$ engendre $M$ par définition, je ne ferai que montrer qu"un morphisme existe. Mais c'est quasi-trivial : soit $Q$ un groupe, $s: X\to Q$ une application. Soit $T$ le sous-groupe de $Q$ engendré par $s(X)$, je note $r: T\to Q$ l'inclusion.
Alors par construction de $K$ il existe $(G,i)\in K$ et un isomorphisme $h: G\to T$ tel que $h\circ i= s^{\mid T}$.
Alors $\Omega := r \circ h\circ \pi_{(G,i)}\circ \iota : M\to Q$ est un morphisme de groupes (compositiok de morphismes de groupes) et on vérifie aisément que $\Omega\circ j= s$. On a donc notre morphisme; et à nouveau l'unicité est claire
(Cette preuve est plus simple à suivre en dessinant les diagrammes appropriés)
Est-ce plus ou moins usine à gaz ? Ça dépend, déjà de si vous acceptez le passage sous silence de la construction (sans difficulté mais ennuyante) de $K$
Edit : je n'avais pas vu que Christophe avait posté entre temps -
Ok, GG, pas de souci, et si tu veux, bin redemande-moi.
@max, je ré-insiste sur les avantages.
Lorsqu'on aura notre objet universel $A$ venant avec sa flèche $j: X\to A$ et tel pour toute flèche $f$ de $X$ dans $B$, il existe une unique flèche $g$ telle $f = g\circ j$ au moment d'utiliser l'application, par exemple, on écrira:
$$ g_{(X,f)} \circ j = f$$
Autrement dit, si on dispose de la fonction "application", on écrira:
$$ g_{(X,f)} (j(t)) = f( t ) $$
Alors qu'en prenant*** le produit on écrit $$ j(t)(f,X) = f(t) $$
L'idée qu'il y a une définition "arbitre" venant des catégories comme je l'ai dit au premier post est "presque" un mensonge. En fait, ce n'est qu'un produit dès le départ, dès l'origine, qui ne dit pas son nom**. Cela provient juste du fait qu'un produit de "machins violets" n'est pas forcément violet, d'où le remplacement d'une définition qui donne le truc par un critère d'arbitrage qui dit juste si on l'a ou pas.
Je ne détaille pas, mais j'ai déjà signalé comment faire un produit de tout et n'importe quoi (et même une exponentielle de tout et n'importe quoi), mais c'est un paradigme différent et de toute façon $\R ^ \Q$ par exemple, n'est pas "dans la catégorie des corps".
Je peux redonner le procédé sur demande, mais ce n'est pas le sujet du fil.
** ou une limite projective, peu importe.
*** Autrement dit, juste en changeant la place de l'un par rapport à l'autre (ie en mettant $j(t)$ à gauche), on a ou bien une définition qui ne donne pas le truc, ou bien on a carrément le truc.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Ah une précision aussi. La complexité apparente du post de Max est parce qu'officiellement on ne peut pas (dans ZFC) prendre par exemple le produit de "tous les groupes".
Bien évidemment, cette "complication est une toute autre affaire qui ne doit pas gêner les gens qui se préoccupent de "comprendre" le produit construit.
La raison qui fait qu'on n'a jamais de problème est qu'une fois qu'on a pris le produit de tout le monde, et bé, on passe ensuite au machin engendré par les $j(x)$ pour $x$ parcourant notre petit truc de départ qu'on voulait "fermer" (c'est une fermeture en fait, mais peu importe).
Il peut arriver que ça ne marche pas, mais pas en algèbre ni en topologie "séparée"***. L'exemple archétypal à mon sens sont les algèbres de Boole. Vous avez un nombre dénombrable de lettres, vous voulez prendre l'algèbre de Boole libre ET complète, bin vous ne pouvez pas. En effet, ça ne s'arrête jamais de grossier quand vous prenez les sup et les négations et ça épuise l'univers sans saturer.
*** si T est séparée, $card(adh(X))\leq 2^{2^{(card(X))}}$Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Il est si repoussant que ça le quotient du monoïde des mots par la plus petite relation d'équivalence vérifiant les propriétés adéquates? Si on ne veut pas de résultat de structure un peu fins, la construction est pourtant rapide.Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
-
Non, non, c'est juste que ce n'est pas uniforme**, j'ai profité des "posts compliqués" de l'autre fil pour diffuser mon slogan uniforme ("tout les trucs universels sont des produits") à toutes fins utiles
** :-D par exemple, tu ne vas pas construire le compactifié de Stone Cech d'un espace topologique en quotientant un ensemble de mots. Et même en algèbre, il me semble que les étudiants pourraient, en théorie, légitimement se demander pourquoi on prend une procédure différentes à chaque truc universel, avec "sensation" que l'auteur "choisit capricieusement" par quoi il quotient (exemple les polynômes).Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Bonsoir,
cher Christophe, comment peux-tu sincèrement dire que tous les théorèmes mathématiques sont des permutations des lettres des axiomes???
autant j'apprécie tes éclairages en termes de logique, autant je suis dubitatif face à tes diatribes contre les slogans "politques" d'autres auteurs car tu ne m'en sembles pas avare?
si un modérateur trouve ce message agressif ou insultant, qu'il l'enlève, j'avoue que mon discernement est quelque peu atteint,
en tout cas, Christophe, tu as toujours tout mon respect :-)
bien amicalement,
F.D. -
De mon téléphone: malentendu ce n'était pas un slogan mais un simple fait. D'un PC je t'indiqierai où je détaille l'énoncé.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
-
Ok Christophe, j'accepte d'attendre pour plus d'éclaircissements
F.D. -
Je n'ai pas assez de temps pour chercher où tu as lu ce qui te chiffonait, ça ira plus vite pour moi de tout retaper.
Tout théorème de maths $P$ est tel qu'il existe une EVIDENCE ABSOLUE ET FORMELLE $E$, et des énoncés $X_i$ de la forme:
1) $A\to (B\to A)$
2) $(A\to (A\to)\to (A\to $
3) Axiomes non logiques, RPA's, ou définitions (par exemple <<(A et A) = A>>, etc
tel que $P$ peut s'obtenir comme suit:
a) on remplace les lettres de $E$ par d'autres lettres (morphiquement, une même lettre, remplacée par une même lettre, mais possibilité de remplacer deux lettres différentes par deux même lettres)
b) Une fois que c'est fini, on répète en boucle l'opération suivante: si le truc obtenu est de la forme $X_i\to Q$, virer $X_i$, ie prendre $Q$ et retourner au label (b), ou s'arrêter.
Voilà, c'est tout
J'ai le vague souvenir que tu pourrais avoir extrait ma citation d'un moment où je dis "sauf pour les théorèmes profonds de TDE, etc"? Alors attention, rien à voir avec un slogan publicitaire en faveur de la TDE!! Je précise:
Z1/ Les sciences accouchent de théorèmes vérifiant ce que j'ai dit au dessus.
Z2/ La TDE aussi
La seule différence est que la TDE (mais en fait ça commence à l'infini des analystes Banachisant par exemple) ne démontre pas des théorèmes, mais des trucs du genre $H\to P$ où $H$ fait l'objet de discussions de fond et non de forme et dont on sait que, euphémisme, il n'est pas démontrable. C'est un axiome sur l'infini généralement très audacieux, "mais" intuitivement (et tout est là pour controverser) "vrai".
C'est une différence car le reste des maths, à peu de choses près, s'exprime certes dans ZFC pour éviter le codage et dire les choses comme elles sont et non de manière modélisée, mais pourraient se démontrer dans Peano à quelques petites exceptions près, ou avec les outils de même niveau de consistency-strength que Peano si l'énoncé (sa valeur) n'est pas définissable dans Peano: exemples, RH est une équation diophantienne, et je crois bien que tous les millenium problem sont (équivalents prouvablement à) des équations diophantiennes ou au pire de niveau $\forall\exists$ sur les entiers comme $P=NP$.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Si tu veux un slogan quasiment exact:
tout théorème de maths P s'obtient en particularisant une évidence absolue et formelle par des opérations du type :
$<<$ j'ai prouvé $\forall x,y: R(x,y)$, j'en déduis $\forall x: R(x,x)>>$
à une seule chose près:$<<$ il m'arrive d'utiliser l'axiome $a\to (a+a)$, ce qui m'empêche de borner a priori le nombre de signes au delà duquel j'ai une garantie que si preuve trouvée là, alors preuve plus courte existe$>>$Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Merci Paf pour ce document très intéressant ! Je trouve que cette façon de faire est très naturelle, j'espère qu'elle va être plus connue !
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Voir aussi ici pour ce qui est des objets libres : https://ncatlab.org/nlab/show/adjoint+functor+theorem Je ne sais pas exactement quels sont les recoupements avec ce que vous dites.
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Sans garantie, mais je crois que je l'avais déjà lu il y a quelques mois ou années. C'est juste une mise en catégories de ce que j'ai dit, mais comme les catégories n'ont pas dès le départ des ingrédients, il faut tout ajouter, donc ça fait une grosse inflation de vocabulaire et donne l'impression d'être savant.
Il y a un phénomène similaire avec l'énoncé du lemme de Yoneda, qui est très indigeste pour les béotiens en catégories. Il dit que $A$ est équivalent à l'énoncé $\forall X: [(A\to X)\to X]$ (il ajoute une toute petite hypothèse de naturalité et obtient une bijection, mais perd un peu en généralité). Si tu files l'énoncé officiel à quelqu'un qui n'est pas déjà bien familier avec les catégories, il est peu probable qu'il en vienne à bout.
Comme tout se code en tout, en plus, ce que je raconte peut être codé dans le paradigme ci-dessus (in some sense $\forall X:((A\to X)\to X)$ peut être ressenti comme l'adhérence ultrafine de $A$ et $(A\to Tout)\to Tout$ comme une sorte d'adhérence brutale), mais peut aussi tout à fait être codé en donnant l'impression d'appliquer juste Yoneda.
D'une manière générale, on flirte éternellement sans vraiment l'officialiser à chaque fois avec la non-non traduction: ie le fait que si un ensemble est ordonné et si $\forall x: x\leq \phi(\phi(x))$ avec $\phi$ décroissante alors $\forall x \phi(\phi(\phi(x)) = \phi(x)$. Dans le cas particulier de la logique intuitionniste par exemple, ça fait passer à la logique classique.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
J'avoue Christophe que j'ai du mal à comprendre ton problème avec les catégories : tu les dénigres sous prétexte que ce ne sont que des réécriture; bon déjà je ne suis pas d'accord, mais même si c'était le cas je ne vois pas le problème : la réécriture est souvent très pratique et quand elle permet une compréhension telle que celle offerte par les catégories, il ne faut pas la négliger : cela se voit même dans la TDE où beaucoup de réécritures rendent la vie plus simple (ça peut revenir même à ton théorème favori :-D ).
Donc même si les catégories ce n'était que de la réécriture, ça n'en ferait pas moins une activité intéressante (typiquement le lemme de Yoneda, pour reprendre ton exemple, donne des points de vue super intéressants sur les mathématiques) -
@max: je viens de relire mon post. Où trouves-tu que je dénigre les catégories ?Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
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Merci AD.
[À ton service. :-) AD]
@max, je précise et étends un peu ma réponse à l'éventualité où tu évoquerais non pas mon post, ni ce fil, mais les propos que j'ai tenus ces dernières années.
Je me suis depuis longtemps montré critique non pas envers les catégories (qui ne sont que des graphes orientés ou des monoïdes associatifs avec opération partielle qui n'ont rien demandé à personne), mais envers les publicistes de cette spécialité. C'est peut-être à ça que tu penses.
Mais c'est très différent : je critique des gens, pas une spécialité. De plus, dans ces gens, il n'y a quasiment aucune personne compétente vraiment en catégorie... Tu ne verras jamais GBZM, toi, etc, et hors forum, d'autres mathématiciens réels envoyer de gros tonneaux de publicité mensongère en faveur des catégories, car eux-mêmes savent que vrai comme faux, ce genre de démarche dessert souvent la spécialité.
Bon, il y a peut-être un peu Benabou qui exagère, mais ce qu'il raconte est tellement énorme (il mettait l'ANS dans les catégories :-D , et raconte constamment du grand n'importe quoi sur la TDE qu'il ne connaît pas et n'a visiblement pas envie de connaître) de toute façon que s'il n'y avait que lui, il n'y aurait pas une grosse désinformation des étudiants aspirants à se choisir une spécialité d'une part et d'autre part il a de par son âge et sa vie de larges légitimités à montrer un tempérament râleur, car il n'est pas jeune et si j'ai bien compris ce qu'il m'a dit, a dû affronter une époque où cette spécialité était vraiment durement ostracisée, et quand on a été guerrier, on en garde la trace.
Mes piques sont d'ailleurs toujours les mêmes: contrer les personnes qui évoquent des qualités fondatrices de cette spécialité (elles n'en ont pas, et ça se saurait si elles en avaient, les seuls gens qu'on voit s'y distraire sont des intellos déjà hyper compétents par ailleurs ou qui aspirent à l'être), et contrer les publicités du genre "tout devient simple et compris, tout prend sens". Je suis aussi assez critique envers les grands mathématiciens qui, quand vient l'âge difficile, villégiaturent, et à force de voyages reviennent en réinventant l'eau chaude et en lui donnant un nom moderne, l'exemple typique étant les diffuseurs/publicistes de HoTT, qui sont en train de vendre un tissu bien connu du moindre logicien de trivialités comme une élaboration récente de fondations nouvelles par exemple. D'une manière générale, je suis assez réfractaires aux campagnes publicitaires dans la science.
Mais je vais rarement beaucoup plus loin dans mes critiques, fais totalement confiance aux experts comme P.Cartier, etc, qui disent qu'elles servent grandement leurs recherches (pourquoi mentiraient-ils), et ai, j'espère pleinement confiance de leur aptitude à unifier le niveau zéro*** de la science.
[small]*** l'algèbre. Attention, ces niveaux ne renvoient pas à un jugement, mais à une consistencystrength : le niveau zéro est le degré de certitudes le plus absolu avec des preuves du premier ordre sans alternance "complexe" de quantifications, et utilisant peu d'axiomes, ensuite, pour l'usuel, vient le niveau 1, celui de l'analyse, qui prend un peu plus de risques et a besoin d'un peu plus d'axiomes sur l'infini et la complétude, le choix, etc, etc. A l'intérieur du niveau zéro, on trouve même un sous-niveau $0^-$ qui n'accepte que l'intuitionnisme, etc.[/small]Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Je ne sais pas, c'était une impression générale du post, avec des expressions comme "l'impression d'être savant" et "très indigeste"; et aussi l'aspect "simple" que tu remets en cause dans ton deuxième message (et que tu remets en cause généralement);
Mais bon j'ai compris ton dégoût pour la publicité, et c'est peut-être ça que j’avais manqué :-D -
cc a écrit:Tout théorème de maths est un cas particulier d'évidence, dans le sens (aujourd'hui grinning smiley ) précis suivant:
1/ Vous prenez une parfaite évidence
2/ Vous appliquez un morphisme alphabétique
3/ Si vous obtenez un énoncé qui commence par "si X alors " où X est un des axiomes "(A et A)=A", "(A et=>A" + idem au 1er ordre, vous retirez ce préfixe et recommencez à 3
Cette procédure permet d'obtenir tous les théorèmes de toutes les sciences.
Hum, comment obtiens-tu par exemple le théorème $\forall y (\forall x x=x) \to y=y$? -
Je demande car je ne vois vraiment pas comment faire. À moins que ça ne soit déjà une parfaite évidence?
-
Je ne suis pas sûr d'avoir compris ce que tu demandes, mais en tout cas il semble que tu traites un des axiomes que j'ai explicitement mentionnés. Par contre, il faut clore pour parler sérieusement : $$
\forall y ([\forall xR(x)]\to R(y) )
$$ C'est le renommage des variables liées et l'axiome $$
[ A\to (\forall R(x))]\iff ([\forall x(A\to R(x))])
$$ quand $x$ n'est pas libre dans $A$.
Ton énoncé provient du cas particulier : $$
(\forall x: (x=x))\to (\forall y: (y=y))$$Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
Je suis entièrement d'accord, mais le renommage de variables liées, où apparaît-il dans ton processus
1/ Vous prenez une parfaite évidence
2/ Vous appliquez un morphisme alphabétique
3/ Si vous obtenez un énoncé qui commence par "si X alors " où X est un des axiomes "(A et A)=A", "(A et=>A" + idem au 1er ordre, vous retirez ce préfixe et recommencez à 3
? -
Je te ferai une liste formelle. Dans le présent fil j'ai mis des "etc" et évoqué la PROPOSITIONNELLE puisque le 1er ordre découle vite mais vue te demande autant être précis.
D'ores et déjà je peux te dire que si deux énoncés CLOS s'obtiennent par permutation des variables ils sont considérés comme EGAuX mais je formaliseraier tout d'un PC.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi -
J'ai un truc à faire, mais si je le termine à temps, tu seras servi avant ce soir.Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
-
Non mais le renommage de variables liées je sais comment ça fonctionne. Ce que je veux savoir, c'est si je veux implémenter effectivement ta procédure, à quelle étape doivent avoir lieu les renommages.
-
Je précise ma question: j'avais implémenté naïvement la procédure suivante:
1/entrée: une formule A à prouver
2/afficher "pourquoi A?"
3/si la réponse est "par axiome", terminé
4/sinon si la réponse est "parce que B" alors
4.1/ recommencer à l'étape 1/ en remplaçant A par B,
4.2/ recommencer à l'étape 2/ en remplaçant A par "B implique A".
Sauf qu'en pratique, si j'avais admis comme axiome $\forall x R(x)$ et que je voulais déduire par exemple $R(1)$, j'étais aussi obligé d'admettre comme axiome $(\forall x R(x)) \to R(1)$, et ça devenait assez vite inextricable.
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