Critique du livre de Dehornoy

Idem je rejoins Poirot. De mon téléphone.

À part ça le forcing est un truc très simple et le modèle booléen n'est la que pour se passer du générique en faisant les choses plus harmonieusement.

Mais pour reprendre ton expression TOUT LE MONDE EST UN P nom!!

Quand tu as un générique G le NOUVEL univers obtenu est juste l'image surjective de l'ancien par phi où

Pour tout x,y : phi(x) est dans phi(y) ssi il existe p DANS G tel que (x,p) est dans y

Le reste de la machinerie est un "simple exercice" pour montrer qu'on peut étendre ça à toutes les phrases et pas juste les atomiques.

Et cet exercice est à ta portée. Il est plus difficile de le lire dans un livre que de le fzire soi même.

Quand j'aurai un PC tout à l'heure en cours je t'enverrai la démonstration complète sans sauter tacitement d'étapes des théorèmes de Cohen. Peut être qu'alors tu identifieras un tacite du livre de PaDe

Du cyber à côté de mon cinéma après une journée un peu dure, je tien2 ma petite promesse, car demain, je ferai peut-être la grasse mat.

1/ Soit $N:=(E,R)$ un modèle de $ZF + AF$ avec $E$ ensemble dénombrable tel que $R$ est bien fondée. Alors (exercice de base), il existe un modèle isomorphe à $N$ et transitif de la forme $(M,\in_{|M^2})$.

2/ Dans la suite, on ne s'occupe plus que des modèles de cette forme.

3/ Il suit que si $P$ est un poset et $P\in M$, tu as $M\models (P$ est un poset)$ et plein de choses comme ça qui sont .. :-D .. absolues.

4/ Une partie $D$ d'un poset $P$ est dite dense quand $\forall p\in P\exists q\in q\leq p$.

5.1/ Soit $P\in M$ un poset. Soit $E:=\{X\subset P\mid X\in M$ et $X$ est dense$\}$. Alors évidemment $E$ est dénombrable (c'est une partie de $M$).

5.2/ Il existe alors $G\subset P$ (attention, il n'y a rien qui dit que $G\in M$) tel que

$$ \forall X\in E: G\cap X\neq \emptyset$$

6/ (5.2) est la remarque (pourtant évidente) qui donne la moitié de sa médaille Field à Paul Cohen.

7/ Soit $\phi$ (exercice routinier qu'est de prouver son existence) telle que $\forall a\in M: \phi(a) = \{\phi(b)\mid \exists p\in G: (b,p)\in a\}$

8/ Je note $M_2$ l'ensemble des $\phi(a)$, quand $a$ parcourt $M$.

9/ Théorème (deuxième moitié de la médaille Field de Cohen) : $(M_2,\in_{|M_2^2})$ est un modèle de $ZF + AF$. En outre, si $M\models AC$ alors $M_2\models AC$. Et encore mieux: $M$ est définissable dans $(M_2, G)$.

10/ Les vérifications de tout ça sont à peu près de la même nature que si on te donne une structure et qu'on te demande de prouver que c'est un corps: c'est lourdingue, long, bureaucratique, mais chaque item est routinier et ne demande que peu d'inspiration.

11/ Un lemme qui demande un poil plus d'inspiration est que:

11.1/ Si $M\models (P$ est le poset des bons ouverts de $\R^k$ et $k$ contient tout plein de cardinaux supérieurs à $\omega_1)$ alors $M_2\models non(HC)$, et plus précisément pour chaque ordinal $e$ tel que $M\models e$ est un cardinal, tu as aussi que $M_2\models e$ est un cardinal

Les historiens diraient que la MF de Cohen lui est venue de 11, mais essentiellement ce n'est pas tellement vrai, c'est bel et bien la découverte du forcing qui lui a valu (en quelques années, des nombreux petits matheux espiègles se sont amusés à trouver tant et plus de posets astucieux et prouvé plein de théorème de la forme "eeeehhh ouiii, ZF ne prouvera jamais truc, sauf si ZF prouve 0=1"

12/ L'inspiration que j 'évoque au point 11 est juste qu'il faut avoir l'idée de prouver une condition d'antichaine: en effet, si $M\models P$ n'a que des antichaines dénombrables alors pour chaque $f\in M_2$ fonction dont le domaine est un ordinal à valeurs dans M, il existe une fonction $g$ de même domaine DANS $M$ telle que $\forall e\in dom(g): f(e)\in g(e)$ et $M\models g(e)$ est dénombrable.

13/ Conseil: prouve tout ce qui est dit ci-dessus toi-même, tu gaspilleras à peine plus de temps qu'à le lire dans un livre.

14/ J'en viens au point qui semble être ton endroit de lecture de PaDe: il est probablement dans un chapitre ou un paragraphe où son objectif est le suivant:

$$[M_2\models R(\phi(a_1),..,\phi(a_n)) ]\iff [\exists p\in G: M\models (p\ force\ R(a_1,..,a_n))]$$

15/ Le livre (je ne critique pas PaDe je n'ai jamais vu ces passages puisque quand j'avais le livre, je suis surtout allé voir ce que je ne connaissais pas) de JL KRIVINE est peut-être plus formel et fait bien les choses, car une des erreurs à ne pas commettre dans l'appréhension de $<<p$ force Truc$>>$ est de croire que "force" est définie. Non: en fait, pour chaque $R$ ayant $n$ variables libres, il existe une relation $S$ ayant $n+1$ var libres telle que $S(p,a_1,..,a_n)$ veut dire (ou plutôt on la conjugue comme ça car c'est plus popétique) $p$ force $R(a_1,..,a_n)$

16/ Pour éviter (enfin ce n'est qu'une illusion) cette "étrange" relation "force", on peut travailler (ce qui ne change rien) avec des algèbres de Boole complètes. Dans ce cas $G$ est un objet "presque" familier, puisque c'est juste un ... ultrafiltre. Mais attention, il n'est pas dans $M$!

17/ Dans ce cas tu as juste une appartenance (ie au lieu de dire $p$ force Truc) tu vas dire $p\leqTruc$ et le théorème se réécrit en :

$$[M_2\models R(\phi(a_1),..,\phi(a_n)) ]\iff [M\models R(a_1,..,a_n)\in G]$$

18/ Voili voilou, tu sais tout et en espérant que ça t'aide à raccorder les phrases ou notations de PaDe à ton appréhension de synthèse ;-)

Pour les passants qui trouvent ça compliqué, et aiment les comérages, alesha est le grand savant qui passe de tps en tps sur le forum et qui un jour m'a fait remarquer l'immensissime théorème LINEAIRE suivant:

[size=x-large]$$ (a=b) \multimap ((a=b)\otimes (a = b)) $$[/size]

dont j'espère tirer un scoop dans un avenir pas trop lointain... :-D Donc j'ai grand plaisir à tenter de lui rendre service!!

De mon téléphone: oups à 5.2 il faut ajouter "et G filtre" ie pour tout p,q dans G il y a un minorant commun à p,q qui est dans G

De mon téléphone: c'est ce que je te disais à un post plus haut. C'est toute une difficulté à soi seul de réussir à définir u in v et pas juste un petit truc à cause de l'extensionnalite.

D'ailleurs on n'y arrive bien que parce qu'on le fait par récurrence ordinale (sur le rang). Du coup vue d'avion ça ressemble à une défini récursive.

Je précise bien qu'il y a un but: obtenir que pour tout générique G : phi(u) dans phi(v) ssi u in v dans G.

Donc il est probable qu'il ait précisé sa notation avant, regarde bien.

Toujours de mon téléphone: je viens de relire et je te confirme ce que je t'ai dit (tout).

u(v) est une valeur de vérité (un élément de ton algèbre de Boole).

On pourrait s'en contenter mais n'oublie pas qu'il s'agit de prouver le théorème de Cohen.

Donc besoin de "mettre aussi dans u" les v' tels que v=v'. Ce qui conduira à avoir v in u différent de u(v). C'est ce que fait sa définition.

Ha ha!!! Rendons déjà à alesha ce qui est à alesha, c'est lui qui a fait ça sous mes yeux éblouis il y a quelques années... Je n'y avais même pas pensé!

Je crois que tu es d'accord avec :-D :

$$ a=a \otimes a=a$$

donc avec le fait que $a$ peut dire sans mentir que

$$a=moi \otimes a=moi $$

Donc si $a=b$ alors $b$ peut aussi le dire sans mentir.

La mise en jaune est pour ne pas décider à ta place d'avoir tout d'un coup, je ne te donne pas un exercice, je ne veux juste pas t'imposer une solution que tu as peut-être envie de chercher encore.

Quand on est au premier ordre, les règles d'inférence concernant = ne sont pas trouvable sur le web ...

Ce n'est pas que scientifiquement scandaleux, ça l'est aussi éducativo-politiquement, mais c'est une autre question.

En TDE, $u=v$ n'est pas une notion première, c'est $\forall x: (u\in x\to v\in x)$.

alesha a écrit:

Une différence avec la présentation donnée dans le livre est que, dans le livre, le domaine de $\phi$ est plus restreint,

Normal, à l'époque où ça a été découvert, comme toute découverte majeure, le recul n'était pas encore là pour voir que ça n'a strictement aucune importance. C'est un peu comme le suivisme qui a conduit, durant 100ans, à faire le perroquet en mettant dans des livres de première une usine à gaz qui tient sur une page entière parlant de forme canonique parce que la moutonnerie "naturelle" de la nature humaine (et je ne la critique pas, elle peut avoir des avantages) a "forcé" à oublier qu'on peut multiplier par $4a$ pour obtenir l'évidence

$$4a(ax^2+bx+c) = (2ax+b)^2 - (b^2-4ac)$$

De plus, j'imagine les auteurs ne réécrivent pas tout avec un démarrage page blanche, ils copient-collent d'anciens cours qu'ils nettoient, etc. Le JLKrivine Cassinyien est un nettoyage d'un polyp des années 68 par exemple.

Merci c'est fait.

De mon téléphone avec peu de batterie. Ne t'inquiète pas tout est bien "inside M". Cette expression est juste "pédagogique" :-D

Dans la hiérarchie cumulative au lieu de prendre V alpha+1 := 2^Valpha on prend Valpha+1 :=B^Valpha.

Ainsi les phrases o t une valeur qui n'est plus dans 2 mais dans B. Rien de plus.

Le générique est un "vilain génie" extérieur qui à la manière de la mécanique quantique va réduire le paquet d'onde à vrai ou à faux quand tu vas l'interroger.

De la sorte V^B passe "d'un coup de baguette magique" à l'etat "d'univers bien déterministe" et tes ensembles-onde dévié nent de vrais ensembles.

Et c'est CES VRAIS ENDEMBLES qui à eux tous forment un univers PLUS GRAND que le V de départ. MAIS cerise cohenienne sur le gâteau V ne sait pas où l'onde va atterir MAIS il peut parler de la "probabilité" (ça c'est "inside V").

Et attention d'ultrzfiltred qu'on prend est FORCÉMENT extérieur ce n'est pas une option ni un ultrafiltre habituel.

Il doit être "complètement additif". Dans V les seuls ainsi qui peuvent marcher sont les ultrafiltres dits principaux. La plupart du temps il n'en existe pas sauf pour les "mauvaises" algèbres de Boole (celles avec des atomes par exemple).

Détail qui humanise le diable:

Si $M$ est dénombrable, les génériques "existent" (bien que non dans $M$).

En effet, soit $n\mapsto D_n$ contenant tous les denses de $M$. tu construis alors aisément $n\mapsto p_n$ tel que $p_{n+1}\leq p_n$ et $p_n\in D_n$ pour tout $n$.

Après quoi, $G:=\{q\mid \exists n: q\geq p_n\}$ rencontre bien tous les denses de $M$.

si ton ordre est une algèbre de Boole $B$ (auquel on a retiré le minimum bien entendu), et si $i\in J\mapsto w_i$ est une famille d'éléments non nuls de $B$ alors l'ensemble des $p\in B$ non nuls, tels que $(p\leq non(\vee_i w_i))$ ou $\exists i\in J:p\leq w_i$ est dense. Il suit que l'objet diabolique dont j'ai parlé existe.

Cette propriété est importante car il est CAPITAL que quand $non(\forall xR(x)) \in G$, il y ait un $a$ tel que $non(R(a))\in G$.

Et avant d'aller au dodo, exercice (pour voir si tu as compris :-D )

Prends comme algèbre de Boole la complétée de celle des parties boréliennes de $\R$ et construis un ensemble qui soit "un peu $1$ et "un peu $\emptyset$" en précisant pour chaque les probas.

Tu auras ainsi construit ton premier "forcing-qubit" ;-)

Je suis à la bourre au taf, donc je te réponds rapidement, pardon s'il est resté des ambiguités, je te fais une métaphore.

Tu prends le groupe additif de $\Z$.

Puis le SOUS-GROUPE $10 \Z$.

Tu plonges "isomorphiquement" ainsi $\Z$ dans $10\Z$ par $f: x\mapsto 10x$.

Mais in fine, tu t'intéresses à $5\Z$.

Et bien là, c'est pareil:

1/ Tout se fait "inside $\Z$"

2/ Par mon $\sigma$ ci-dessus (dans la métaphore, c'est $f$), tu obtiens "une réplique" de $\Z$ qui est $10\Z$

3/ Mais in fine, tu t'intéresses à $5\Z$ (qui "élargit" $10\Z$, mais est appréhendable par les habitants de $\Z$)

4/ Et bien $V^B$, c'est $5\Z$, qui est donc un agrandissement de $10\Z$.

5/ MAIS: ça c'est la présentation classique, en ce qui me concerne, je t'ai simplifié (sans perte) les choses en prenant $V$ tout entier à la place de $V^B$
(un peu comme si quelqu'un avait pris $\Z$ à la place de $5\Z$, mais envoie tout $p$ sur $5PartieEntiere(p/5)$).

Menfin OUI V^B est INCLUS DANS V!!!!!!

Mais comme tu plonges V dans V^B via le sigma que je t'ai indiqué il y a une légitimité à voir "V comme élargi par V^ B au sens où sigma(V) l'est lui totalement clairement :-X

Par ailleurs je t'ai donné une description plus simple où on n'a besoin de parler de V^B.

J'ai détaillé, surdétaillé, redétaillé... On ne peut pas capter ces notions (que j'ai eu quand-même, sans sauter d'étape essentielle, eu la générosité de présenter en 3 pages, sans typographie compliquée) en lisant ce que j'ai écrit en diagonale, à un moment, il faut "être modeste" (ou plus précisément "auto-modeste") dans sa lecture.

Cette technologie, a quand-même valu la médaille Field à un gars (Paul Cohen), après des exposés en 100 pages et non pas 3, MF qui en plus est une des seules importantes de l'histoire en ce sens qu'elle a modifié l'information scientifique et la nature des maths et de la science auprès de TOUS ou presque les professionnels:

en y incluant les enseignants, les chercheurs, les ingénieurs, etc, bref plus de 300 millions de personnes au total.

La plupart des autres MF, sont des résolutions de conjectures de 3 mots ouvertes depuis longtemps, mais sans impact ou des avancées totalement inconnues de 99% des pros et ne changeant rien à la choucroute. Sauf celles passées dans les programmes et assez anciennes.

Je redis une dernière fois que:

1/ En notant $B$ une algèbre de Boole complète, $a\in b$ l'élément de $B$ égal à la borne sup des $x\in B$ tels que $(a,x)\in b$ et en demandant au père Noel de nous rendre palpable un ensemble (appelé "générique") inclus dans $B$, non dans $V$, qui filtre et qui en plus intersecte tous les denses de $B$ (qui sont dans $V$), on obtient, via:

$$ \phi_G(x) := \{\phi_G(y) \mid y\in x \in G\} $$

et en prenant $\{\phi_G(x)\mid x\in V\}$, un surmodèle de $V$, souvent noté $V[G]$.

Voilà tout!!!! :-X

Souvent, par compréhension légèrement imparfaite ou maladresse (ou plus cyniquement simples copiés-collés d'anciens cours) de leurs auteurs, on voit la construction intermédiaire d'une "immeuble", appelé $V^B$, qui lui est inclus dans $V$ et qui est appelé "collection des noms".

Je l'ai retiré car il ne sert à rien et complique les choses, il n'est là que par pédagogie et typage. C'est un peu comme les gens qui voudraient absolument que $1/0$ reste non défini plutôt que d'assumer qu'il vaut quelque chose que l'on nomme par exemple "indéfini", et bien ce n'est pas parce que tous plein d'ensembles $x$ seront tels que $\phi_G(x)=\emptyset$ (ne serait-ce que ceux qui ne contiennent aucun couple, mais aussi bien d'autres) qu'il était vraiment utile de leur refuser le statut d'être des noms de futurs objets.

Le théorème de Cohen est une prise de conscience que pour chaque formule $A$, il existe une formule $B$ telle que pour tous $(x_1,..,x_n)$ et tout générique $H$ :

$$ [ V[H] \models A(\phi_H(x_1), .., \phi_H(x_n)) ] \iff (B(x_1,..,x_n)\in H) $$

En outre, la seule difficulté et exercice un peu longué est l'initialisation (ie le cas où $A$ est $u\in v$), le reste étant trivial.

Le mot forcing provient de ce que Cohen n'était pas parti d'algèbres de Boole complètes mais d'ordres quelconques. Avec les notations ci-dessus, on dirait juste:

$<<p$ force $A(x_1,..,x_n)>>$ à la place de $<<p\leq B(x_1,..,x_n)>>$

De mon téléphone t'inquiète c'est plus l'ingratitude de alesha qui m'a énervé.

En résumé les éléments de V servent de nom. Ils se transforment en fées quand l'anneau de green lantern venant de l'extérieur (le générique) les iradient. L'ensemble des fées contient strictement V

La littérature classique n'a pas besoin de tout V pour nommer les fées et utilise plutôt une SOUS COLLECTION de V comme collection de "noms privilégiés". Collection qu'elle appelle V^B